2024-2025學(xué)年上海市靜安區(qū)新中高級(jí)中學(xué)高一（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年上海市靜安區(qū)新中高級(jí)中學(xué)高一（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共2小題，每小題5分，共10分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同．已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x<y<z，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用(單位：元A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz2.設(shè)a1，b1，c1，a2，b2，c2均為非零實(shí)數(shù)，不等式a1x2+b1x+cA.充分非必要條件 B.必要非充分條件

C.充要條件 D.既非充分也非必要條件二、填空題：本題共8小題，每小題5分，共40分。3.若集合{2,x,y}=集合{1,2,3}，則滿足條件的x，y的解集為______．4.已知集合A滿足若n∈A且n∈Z，則1n∈A，小張同學(xué)迅速得出3個(gè)結(jié)論：(1)0?A；(2)集合A不可能是單元素集；(3)當(dāng)n取遍可以取的所有數(shù)時(shí)，集合元素的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù)，其中正確結(jié)論的序號(hào)為______．5.已知集合A={1,2}，B={x|2x5?4x36.某校有21個(gè)學(xué)生參加了數(shù)學(xué)小組，17個(gè)學(xué)生參加了物理小組，10個(gè)學(xué)生參加了化學(xué)小組，其中同時(shí)參加數(shù)學(xué)、物理小組的有12人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)、化學(xué)小組的有6人，同時(shí)參加物理、化學(xué)小組的有5人，同時(shí)參加3個(gè)小組的有2人，現(xiàn)在這3個(gè)小組的學(xué)生都要乘車去市里參加數(shù)理化競(jìng)賽，則需要預(yù)購(gòu)______張車票．7.如韋恩圖，設(shè)I為全集，則陰影部分所表示的集合是______.(請(qǐng)用各集合的交，并，補(bǔ)表示)8.若一元二次方程x2?4x+1=0的兩根分別為a，b，則a2?2a+a(b?2)?2025=9.集合M={x|x+ax2?1=1}有且僅有210.若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)a，b，c滿足1a+1b=2c，則稱a，b，c是調(diào)和的；若滿足a+c=2b，則稱a，b，c是等差的.已知集合M={x|?2024≤x≤2024,x∈Z}，集合P是M的三元子集，即P={a,b,c}?M.若集合P中元素a，b，c三、解答題：本題共5小題，共50分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。11.(本小題8分)

已知關(guān)于x的不等式ax?5x?a≤0的解集為M．

(1)當(dāng)a=4時(shí)，求集合M；

(2)若5?M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．12.(本小題8分)

網(wǎng)絡(luò)流行詞“新四大發(fā)明”是指移動(dòng)支付、高鐵、網(wǎng)購(gòu)與共享單車.某中學(xué)為了解本校學(xué)生中“新四大發(fā)明”的普及情況，從全校3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中使用過(guò)移動(dòng)支付的有60人，使用過(guò)共享單車的有43人，其中兩種都使用過(guò)的有8人．

(1)利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校學(xué)生中，移動(dòng)支付和共享單車兩種都沒(méi)使用過(guò)的學(xué)生人數(shù)；

(2)經(jīng)過(guò)進(jìn)一步調(diào)查，樣本中移動(dòng)支付和共享單車兩種都沒(méi)使用過(guò)的學(xué)生里，有3人坐過(guò)高鐵.現(xiàn)從樣本中兩種都沒(méi)使用過(guò)的學(xué)生里隨機(jī)選出2名學(xué)生，求這2名學(xué)生都坐過(guò)高鐵的概率．13.(本小題8分)

已知集合A={x|nx2?mx+5m2?6=0}≠?，集合B={x|1<x<4且x∈Z}，C={x|ax+3>0}，若A∩B=A，設(shè)m的取值集合為D，若C∩D=?14.(本小題13分)

利用反證法，是正面難以進(jìn)行對(duì)真命題進(jìn)行簡(jiǎn)單證明的迂回策略，請(qǐng)利用它證明我們初中所學(xué)的真命題．

(1)求證：3是無(wú)理數(shù)．

(2)

①求證：三角形的內(nèi)角和為180°

②求證：三角形至少有一個(gè)內(nèi)角大于等于60°15.(本小題13分)

已知集合A={x|x=m2?n2,m,n∈Z}，B={x|x=2k+1,k∈Z}，C={x|3x?123x?96≤0,x∈Z}.

(1)試判斷：0，1234是否屬于集合A，并說(shuō)明理由；

(2)試判斷：A與參考答案1.B

2.D

3.{(x=1,y=3)，(x=3,y=1)}

4.(1)(3)

5.?

6.27

7.(M∩P)∩(?8.?2025

9.{?510.1012

11.解：(1)當(dāng)a=4時(shí)，4x?5x?4≤0，則，解得54≤x<4，

故集合M=[54,4)．

(2)當(dāng)5?M，

若分母5?a=0，a=5，

若分母不為0，則將x=5代入不等式左邊得5a?55?a>0，

即(5a?5)(5?a)>0，解得12.解：(1)從全校3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中使用過(guò)移動(dòng)支付的有60人，使用過(guò)共享單車的有43人，其中兩種都使用過(guò)的有8人．

∴樣本中移動(dòng)支付和共享單車兩種都沒(méi)使用過(guò)的學(xué)生人數(shù)為100?60?43+8=5，

利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校學(xué)生中，

移動(dòng)支付和共享單車兩種都沒(méi)使用過(guò)的學(xué)生人數(shù)為5×3000100=150人．

(2)樣本中移動(dòng)支付和共享單車兩種都沒(méi)使用過(guò)的學(xué)生里，有3人坐過(guò)高鐵，

現(xiàn)從樣本中兩種都沒(méi)使用過(guò)的學(xué)生里隨機(jī)選出2名學(xué)生，

基本事件總數(shù)n=C52=10，

這2名學(xué)生都坐過(guò)高鐵包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C313.解：由題可知，B={2,3}，

當(dāng)a=0時(shí)，C=R，

此時(shí)C∩D=D≠?，不合題意，故a≠0，

由于由A∩B=A得，A?B，

①若n=0，若m=0，則A=?，不合題意，

所以m≠0，則x=5m?122m，

當(dāng)5m?122m=2時(shí)，解得m=12，

此時(shí)D={12}，

又因?yàn)镃∩D=?，所以a?12+3≤0，

解得a≤?14；

當(dāng)5m?122m=3時(shí)，解得m=?12，

此時(shí)D={?12}，

又因?yàn)镃∩D=?，所以a?(?12)+3≤0，

解得a≥14；

②若n≠0，Δ=0時(shí)，m2?4n(5m2?6)=0，

當(dāng)2∈A時(shí)，4n?2m+5m2?6=0，聯(lián)立解得n=1m=4，

此時(shí)D={4}，

又因?yàn)镃∩D=?，則4a+3≤0，

解得a≤?34；

當(dāng)3∈A時(shí)，9n?3m+5m2?6=0，聯(lián)立解得n=1m=6，

此時(shí)D={6}，

又因?yàn)镃∩D=?，所以6a+3≤0，

解得a≤?12；

③若n≠0，Δ>0時(shí)，即m2?4n(5m2?6)>0，

由A∩B=A得，A=B，

由根與系數(shù)關(guān)系得，mn=552m?6n=6，解得n=1213m=6013，14.證明：(1)假設(shè)3是有理數(shù)，那么它可以表示成qp(p,q是互質(zhì)的兩個(gè)正整數(shù))，

所以(qp)2=3，所以q2=3p2，即q2是3的倍數(shù)，所以q是3的倍數(shù)，

所以可設(shè)q=3m，所以(3m)2=3p2，所以p2=3m2，

所以p2是3的倍數(shù)，所以p是3的倍數(shù)，

這與“p，q是互質(zhì)的兩個(gè)正整數(shù)”相矛盾，所以假設(shè)不成立，故3是無(wú)理數(shù)．

(2)①：假設(shè)三角形的內(nèi)角和不等于180°，即∠A+∠B+∠C≠180°，

過(guò)點(diǎn)A作DE/?/BC，則∠B=∠DAB，∠C=∠EAC，

因?yàn)椤螦+∠B+∠C≠180°，所以∠A+∠DAB+∠EAC≠180°，

即∠DAE≠180°，這與∠DAE15.解：(1)根據(jù)題意，對(duì)于集合A，x=m2?n2=(m+n)(m?n)，

又由m，n∈Z，

若m、n一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)，則m+n、m?n都是奇數(shù)，則x為奇數(shù)，

若m、n都是奇數(shù)或都是偶數(shù)，則x為4的倍數(shù)，

故集合A中的元素要么為奇數(shù)，要么為4的倍數(shù)，

對(duì)于0，是4的倍數(shù)，則0∈A，

對(duì)于123