4.2.1 整式的加法與減法人教版七年級2024-2025學年數學

第四章

整式的加減

4.2整式的加法與減法思考：有理數的加法有那些運算律？分配律：a(b+c)=ab+ac交換律：a+b=b+a結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

港珠澳大橋是集主橋、海底隧道和人工島于一體的世界上最長的跨海大橋，一輛汽車從香港口岸行駛到東人工島的平均速度為96km/h，在海底隧道和主橋上行駛的平均速度分別為72km/h和92km/h。汽車從香港口岸到西人工島包含兩段路程，一段為香港口岸到東人工島，另一段為海底隧道，如果汽車通過海底隧道需要ah，從香港口岸行駛到東人工島的時間是通過海底隧道時間的1.25倍，則香港口岸到西工島的全長(單位:km)是

即

.72a＋96×1.25a72a＋120a1.如何計算72a+120a呢？學生活動一

【一起探究】2.按要求進行下列運算：(1)運用運算律計算：72×2+120×2=

.72×(-2)+120×(-2)=

.

(2)根據(1)中的方法完成下面的運算，并說明其中的道理：72a+120a=

.

(72+120)×2＝192×2

(72+120)×（﹣2）＝192×（﹣2）

(72+120)a＝192a根據以上探究過程完成下列題目：(1)72a-120a=(

)a=

.(2)3m2+2m2=(

)m2=

.(3)3xy2-4xy2=(

)xy2=

.思考：上述運算有什么共同特點，你能從中得出什么規(guī)律？72-1203+23-4-xy25m2-48a（1）中的多項式的項72a和-120a，它們含有相同的字母a，并且a的指數都是1；（2）中的多項式的項3m2和2m2，含有相同的字母m，并且m的指數都是2；（3）中的多項式的項3xy2與-4xy2，都含有字母x，y，并且x的指數都是1，y的指數都是2。同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫作同類項。幾個常數項也是同類項。計算：4x2+2x+7+3x-8x2-2解：4x2+2x+7+3x-8x2-2=4x2-8x2+2x+3x+7-2=(4x2-8x2)+(2x+3x)+(7-2)（交換律）=-4x2+5x+5（結合律）=(4-8)x2+(2+3)x+(7-2)（分配律）學生活動二

【一起探究】合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫作合并同類項。合并同類項法則：合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，字母連同它的指數不變。規(guī)定：通常我們把一個多項式的各項按照某個字母的指數從大到?。ń祪纾┗蛘邚男〉酱螅ㄉ齼纾┑捻樞蚺帕?。例1

合并下列各式的同類項：（2）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2

(2)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2

=(4a2-4a2)+(3b2-4b2)+2ab

=(4-4)a2+(3-4)b2+2ab

=-b2+2ab

例2(1)求多項式2x2-5x+x2+4x-3x2-2的值，

其中(2)求多項式的值

其中解：(1)2x2-5x+x2+4x-3x2-2=2x2+x2-3x2-5x+4x-2=(2+1-3)x2+(-5+4)x-2=-x-2

例3（1）水庫水位第一天連續(xù)下降了ah，平均每小時下降2cm，第二天連續(xù)上升了ah，平均每小時上升0.5cm，這兩天水位總的變化情況如何？（2）某商店原有5袋大米，每袋大米為xkg，上午售出3袋，下午又購進同樣包裝的大米4袋，進貨后這個商店有大米多少千克？解：（1）把下降的水位變化量記為負，上升的水位變化量記為正，則第一天水位的變化量是-2acm,第二天水位的變化量是0.5acm，由可知,這兩天水位總的變化情況為下降了1.5acm。-2a＋

0.5a＝（-2＋0.5）a＝

-1.5（2）把進貨的數量記為正，售出的數量記為負，則上午大米質量的變化量是-3xkg，下午大米質量的變化量是4xkg,由5x－3x＋4x＝（5－3＋4）x＝6x可知，進貨后這個商店有大米6xkg

2.下列運算中正確的是（）

A．3a2-2a2=a2B．3a2-2a2=1

C．3x2-x2=3D．3x2-x=2xCA分配律：a(b+c)=ab+ac合并同類項法則：合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，字母連同它的指數不變。合并同類項用到了什么運算律？問題1.計算：解法1：解法2：問題2.

港珠澳大橋是集主橋、海底隧道和人工島于一體的世界上最長的跨海大橋，一輛汽車從香港口岸行駛到東人工島的平均速度為96km/h，在海底隧道和主橋上行駛的平均速度分別為72km/h和92km/h。如果汽車通過主橋需要bh，通過海底隧道所需時間比通過主橋的時間少0.15h，你能用含b的代數式表示主橋與海底隧道的長度的和嗎？主橋與海底隧道的長度的相差多少千米？

汽車通過主橋的行駛時間是bh，那么汽車在主橋上行駛的路程是

km，通過海底隧道所需時間比通過主橋的時間少0.15h，那么汽車在海底隧道行駛的時間是

h,行駛的路程是

km，因此，主橋與海底隧道的長度的和(單位:km)為

①主橋與海底隧道長度的差(單位:km)為

②92b+72(b-0.15)92b-72(b-0.15)92b(b-0.15)72(b-0.15)1.上面的代數式①②要進行加減運算需要先如何做？92b+72(b-0.15)①92b-72(b-0.15)②需要先去括號學生活動一

【一起探究】2.上面的代數式①②應如何去括號進行化簡？

92b+72(b-0.15)①92b-72(b-0.15)②可以利用分配律，將括號前的乘數與括號內的各項相乘，去掉括號，再合并同類項學生活動一

【一起探究】思考：請同學們根據以上探究過程總結一下去括號法則去括號法則：一般地，一個數與一個多項式相乘，需要去括號，去括號就是用括號外的數乘括號內的每一項，再把所得的積相加。特別地，+(x-3)與-(x-3)可以看作1與-1分別相乘，得：+(x-3)=x-3,-(x-3)=-x+3例1化簡：（1）8a+2b+(5a-b)（2）(4y-5)-3(1-2y)為什么-3×（-2y）＝6y?解：（1）8a+2b+(5a-b)=8a+2b+5a-b=13a+b（2）(4y-5)-3(1-2y)=4y-5-3+6y=10y-8.例2兩船從同一港口同時出發(fā)反向而行，甲船順水，乙船逆水，兩船在靜水中的速度是50km/h，水流速度是akm/h（1）2小時后兩船相距多遠？（2）2小時后甲船比乙船多航行多少千米？解：(1)由題意得：2(50+a)+2(50-a)=100+2a+100-2a=200(km).可知，2小時后兩船相距200km。(2)由題意得：2(50+a)-2(50-a)=100+2a-100+2a=4a(km)可知，2小時后甲船比乙船多航行4akm。1.下列去括號的式子中，正確的是（）A.a2–(2a–1)=a2–2a–1B.a2+(–2a–3)=a2–2a+3C.3a–[5b–(2c–1)]=3a–5b+2c–1D.–(a+b)+(c–d)=–a–b–c+dC2.不改變代數式的值，把代數式括號前的“–”號變成“＋”號，結果應是（）A.a+(b–3c)B.a+(–b–3c)C.a+(b+3c)D.a+(–b+3c)3.已知a–b=–3，c+d=2，則(b+c)–(a–d)的值為（）A.1B.5C.–5D.–1DB4.化簡下列各式：（1）8m＋2n＋(5m–n)；（2）(5p–3q)–3(

)．解：（1）（2）思考：合并同類項和去括號是進行整式加減運算的基礎，同學們還記的合并同類項法則與去括號法則嗎？合并同類項法則：合并同類項后，所得項的系數是合并前各同類項的系數的和，字母連同它的指數不變。去括號法則：一般地，一個數與一個多項式相乘，需要去括號，去括號就是用括號外的數乘括號內的每一項，再把所得的積相加。問題：用代數式表示百位上的數字是a，十位上的數字是b，個位上的數字是c的三位數，再把這個三位數的百位上的數字與個位上的數字交換位置，計算所得數與原數的差，這個差能被11整除嗎？解：設這個三位數是100a+10b+c，交換后的三位數是100c+10b+a則：100a+10b+c-(100c+10b+a)=100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99(a-c)思考：解決上述問題時涉及了整式的什么運算？說說你是如何運算的？思考：請同學們試著總結一下整式加減的法則。整式加減的法則：幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項。注意：去括號時，如果括號外邊是負號，去括號時，括號內的各項都要變號。例1計算（1）（2）解:(1)(2x-3y)+(5x+4y)=2x-3y+5x+4y=7x+y(2)(8a-7b)-(4a-5b)=8a-7b-4a+5b=4a-2b例2做大、小兩個長方形紙盒，尺寸如下表所示.（1）做這兩個紙盒共用紙多少平方厘米？（2）做大紙盒比做小紙盒多用紙多少平方厘米？類型長/cm寬/cm高/cm小紙盒abc大紙盒1.5a2b2c解：小紙盒的表面積是(2ab+2bc+2ca)cm2大紙盒的表面積是(6ab+8bc+6ca)cm2（1）由題意，得：(2ab+2bc+2ca)+(6ab+8bc+6ca)=2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca=8ab+10bc+8c