高中數(shù)學(xué)多選題知識歸納總結(jié)含答案

一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題

x2-fcv+l,x<0

1.已知函數(shù)/(%)=(,下列關(guān)于函數(shù)y=/[/(x)]+l的零點個數(shù)的說

log2x,x>0

法中，正確的是()

A.當(dāng)z>1,有1個零點B.當(dāng)％=—2時，有3個零點

C.當(dāng)1>k>0,有4個零點D.當(dāng)左=Y時，有7個零點

【答案】ABD

【分析】

令y=0得/[〃切=-1，利用換元法將函數(shù)分解為〃力=，和以。=一1,作出函數(shù)

/(X)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

【詳解】

令y=0,得/[f(x)]=_l，設(shè)f(x)=f，則方程/[〃切=-1等價為〃。=一1，

函數(shù)y=d一區(qū)+i,開口向上，過點(0,1),對稱軸為x=5

P由=g可知，此時X只有一

解，即函數(shù)y=/[/(x)]+l有1個零點，故A正確；

v/(r)=-l,此時方程有一個根，=；,由，(力=；可知，此時x有3個

乙乙

解，即函數(shù)y=/[/(x)]+l有3個零點，故B正確；

對于C,當(dāng)1>攵>0時，圖像如A,故只有1個零點，故C錯誤；

Gw"L°)，4w(T，-3)由

/(x)=g可知，此時X有3個解，由，(x)=4w(T,O)，此時X有3個解，由

/(X)=G￡(Y,-3),此時x有1個解，即函數(shù)y=/[/(x)]+l有7個零點，故D正

確；

故選：ABD.

【點睛】

方法點睛：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查復(fù)合函數(shù)的零點的判斷，利用換無法和數(shù)形結(jié)

合是解決本題的關(guān)鍵，已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，屬于難題.

log2(x+l),x>-l

2.已知函數(shù)=川，若關(guān)于X的方程/(%)=m有四個不等實根M，

2(X+2),X<-1

%，看，<x,<xi<x4),則下列結(jié)論正確的是()

A.l<m<2B.sin*-cos%>0

C.4X3+X4>-1D.x；+考+]og”,后的最小值為IO

【答案】ACD

【分析】

畫出了（X）的圖象，結(jié)合圖象求得6,％,電，芻，匕的取值范圍，利用特殊值確定B選項錯

誤，利用基本不等式確定CD選項正確.

【詳解】

畫出了（X）的圖象如下圖所示，

由于關(guān)于％的方程/。）=根有四個不等實根再，與，與，兀*（不<%<毛<七），

由圖可知lvmW2,故A選項正確.

由圖可知百戶2關(guān)于直線1二一2對稱，故苫強(qiáng)=-2小+9=-4，

由2（X+2『=2（XWT）解得％=-3或1=一1,

所以—3V%<-2,-2<94—1,

-3<<-2,當(dāng)玉=--亳時，sin\=cos---—-cosx2=0?所以B選

項錯誤.

（X>2）

令2（-2）=<-1）>logm2=logwzn=b（x+2）~log,n2=l,

2（x+2）2log,?>/2=l,芭,馬是比方程的解，

所以電色不片,或嘀瓜玉、,

L2J

故X；+x；+log,”J2=X：+（-4-^）-+—---—7

2（%+2）

=2（2+2）2+——!~7+8222（%+2>----!--+8=10,

'）2（%+2『「）2（%+2）2

當(dāng)且僅當(dāng)2（%|2『=：,百=:時等號成立，故D選項正確.

由圖象可知10g2（W+l）=_bg2（X4+l），

log2（七+l）+】og2（Z+l）=0,（七+1）（甚+1）=1，x4+l=~-r^4=--r-h

人？?JL人？IJI

由|1叫（1+1）|=1（%>一1）,解得X=1或X=—g,

由|log2（x+l）|=2（x:>-l）,解得％=3或4=

一江匕<工4<3,

所以

%+/=%+不一1=4（七+1）+不-5

—5=7①.

令4（X+1）=-!~y,（X+［）2=；，上=~|或工=一^，

所以①的等號不成立，即4七+%>一1，故C選項正確.

【點睛】

求解有關(guān)方程的根、函數(shù)的零點問題，可考慮結(jié)合圖象來求解.求解不等式、最值有關(guān)的問

題，可考慮利用基本不等式來求解.

,,,\f+辦x<0,

3.已知函數(shù)=<一，則（）

2—1,.V>0

A./（%）的值域為（-1,+8）

B.當(dāng)々《0時，/（X）>/（X2+1）

c.當(dāng)a>0時，存在非零實數(shù)%,滿足/（一?。?/（%）=0

D.函數(shù)8（力=〃力+?？赡苡腥齻€零點

【答案】BC

【分析】

A.考慮。=2時的情況，求解出各段函數(shù)值域再進(jìn)行判斷；B.先根據(jù)條件分析/(X)的單

調(diào)性，再根據(jù)V+1與X的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；C.作出

)，=V+”,丫=一/+",丫=一/+這的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的對稱性進(jìn)行分析判斷；

D.根據(jù)條件先分析出?！?0,1),再根據(jù)有三個零點確定出4滿足的不等式，由此判斷出

〃是否有解，并判斷結(jié)論是否正確.

【詳解】

A.當(dāng)x>0時，y=2-x-l>0-l=-l,當(dāng)x<0時，>=丁+雙=［一手，取

〃=2,此時y=(x+l)2—1之一1,

所以此時的值域為［-1,+8),故A錯誤；

B.當(dāng)時,尸產(chǎn)+公=卜+￡|〈的對稱軸為工=一_|20,所以"")在

(F,0］上單調(diào)遞減，

又因為/(%)在(0,+e)上單調(diào)遞減，且02+0xa=2"—1，所以〃力在R上單調(diào)遞

減，

又因為V+1一x=(x-g)+(>°，所以Y+l>x，所以/(力>/(^+1)，故B正

確；

由圖象可知：y=f+or,y=-丁+or關(guān)于原點對稱，且y=-/+必與》=2-"一1相

交于(工,%)?

因為點(X。，%)在函數(shù)y=-％2+以的圖象上，所以點(一七),一%)在函數(shù))，=爐+改的圖

象上，

所以/(%)+〃-為)=%+(-%)=°，

所以當(dāng)°>0時，存在X。使得/(-/)+/(%)=0,故c正確；

D.由題意知：〃力=一。有三個根，所以“X)不是單調(diào)函數(shù)，所以。>0,

又因為y=2-'-1?-1,0),所以一4￡(一1,0),所以。?0』)，

且y=k+o￥w——,+0°,若方程有三個根，則有—a>—幺，所以a>4或々<0,這

L4)4

與?！?0,1)矛盾，

所以函數(shù)g(x)=/(x)+a不可能有三個零點，故D錯誤，

故選：BC.

【點睹】

思路點睛：函數(shù)與方程的綜合問題，采用數(shù)形結(jié)合思想能高效解答問題，通過數(shù)與形的相

互轉(zhuǎn)化能使問題轉(zhuǎn)化為更簡單的問題，常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：

(1)確定方程根的個數(shù)；

(2)求參數(shù)范圍；

(3)求不等式解集；

(4)研究函數(shù)性質(zhì).

4.設(shè)函數(shù)f(X)=加力｛|x一2|，二|x+2|｝其中〃砌｛x,y,z｝表示X,y,Z中的最小者.下列說

法正確的有()

A.函數(shù)/(力為偶函數(shù)

B.當(dāng)xw[l,+oo)時,有/(九一2)4/(同

C.當(dāng)xwR時，/(/(x))</(x)

D.當(dāng)xw[Y,4]時，|/(為-2)|”(切

【答案】ABC

【分析】

畫出/(%)的圖象然后依據(jù)圖像逐個檢驗即可.

【詳解】

解：畫出/(力的圖象如圖所示：

對A,由圖象可知：/(X)的圖象關(guān)于y軸對稱，故/(力為偶函數(shù)，故A正確；

對B,當(dāng)1W2時,-l<x-2<0,/(x-2)=/(2-x)<2-x=/(x)；

當(dāng)2<xW3時，0<X一241,/(x-2)<x-2=/(x)；

當(dāng)3<xW4時，lvx-2W2,/(X-2)=2-(X-2)=4-X<X-2=/(A:);

當(dāng)x"時，x-2>2,此時有〃了-2)</(力，故B成立；

對C,從圖象上看，當(dāng)x?0,4<功時，有f(x)<比成立，令，=4/).則90,故

/[/(x)]-/(x)?故C正確；

對D,?X=|,則/信)=W=；，=\f(x-2)<f(x),故D不正

確.

故選：ABC.

【點睛】

方法點睛：一般地，若/(x)=min{S(x),T(x)}(其中min{x,y}表示中的較小

者)，則/(力的圖象是由S(x),T(x)這兩個函數(shù)的圖象的較低部分構(gòu)成的.

5.下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)y=/(x)的定義域為[1,3],則函數(shù)y=/(2x+l)的定義域為[0,1]

B.函數(shù)“X)的值域為[L2],則函數(shù)的值域為[2,3]

C.若函數(shù)、=-爐+”+4有兩個零點，一個大于2,另一個小于-L則。的取值范圍是

(。，3)

D.已知函數(shù)/(冗)=卜2+34%€上若方程〃同一〃,一1|=0恰有4個互異的實數(shù)

根，則實數(shù)。的取值范圍為(0,l)j(9,yo)

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)抽象函數(shù)定義域及代換的方法可求函數(shù)的定義域，判斷A,利用函數(shù)圖象的平移可判

斷函數(shù)值域的變換情況，判斷B,利用數(shù)形結(jié)合及零點的分布求解判斷C,作出函數(shù)

/(力=卜2+3^|與y=4x-l|的圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷D.

【詳解】

對于A,)，=/(力的定義域為[1,3],則由1K2X+1K3可得y=/(2x+l)定義域為

[0,1],故正確；

對于B,將函數(shù)7(%)的圖象向左平移一個單位可得函數(shù)/(x+1)的圖象，故其值域相

同，故錯誤；

對于C,函數(shù)＞=8。)=一%2+依+4有兩個零點，一個大于2,另一個小于-1只需

fg(2)＞0

4:八八，解得0＜。＜3,故正確；

[g(T)＞0

對于D,作出函數(shù)f(x)=|f+3乂與y=《工一1|的圖象，如圖，

由圖可以看出，時，不可能有4個交點，找到直線與拋物線相切的特殊位置。=1或

。=9,觀察圖象可知，當(dāng)0＜。＜1有4個交點，當(dāng)9＜。時，兩條射線分別有2個交點，

綜上知方程/(力一〃,一1|=0恰有4個互異的實數(shù)根時，〃E(0,1)11(9,+8)正確.

故選：ACD

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：對于方程實根問題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題，本題中，/(X)=|X2+3X|

圖象確定，而y=是過(1,0)關(guān)于％=1對稱的兩條射線，參數(shù)。確定兩射線張角的

大小，首先結(jié)合圖形找到關(guān)鍵位置，即々=1時左邊射線與拋物線部分相切，。=9時右邊

射線與拋物線相切，然后觀察圖象即可得出結(jié)論.

4

6.已知函數(shù)/(幻二亡+七(。為正整數(shù))，則下列判斷正確的是()

X

A.函數(shù)/(x)始終為奇函數(shù)

B.當(dāng)77為偶數(shù)時，函數(shù)/(X)的最小值為4

C.當(dāng)，為奇數(shù)時，函數(shù)/(X)的極小值為4

D.當(dāng)〃=1時，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線y=2x對稱

【答案】BC

【分析】

4

由已知得/(一)=(一)”

+-----，分，為偶數(shù)和，為奇數(shù)得出函數(shù)/a)的奇偶性，可判

(用"

斷A和；當(dāng)〃為偶數(shù)時，爐>0,運用基本不等式可判斷B；當(dāng)。為奇數(shù)時，令，=“"，則

4

x>0">0;xv0"<0,構(gòu)造函數(shù)g“)=z+—,利用其單調(diào)性可判斷C；當(dāng)〃=1時，取函

t

數(shù)/⑶=x+：上點P(l,5),求出點P關(guān)于直線y=2x對稱的對稱點，代入可判斷D.

【詳解】

因為函數(shù)f(外=X"+之S為正整數(shù))，所以/(一幻=(一)”+7%,

X(T)

當(dāng)〃為偶數(shù)時，f(-x)=(-x)"+L"=x"+7=f"),函數(shù)/(X)是偶函數(shù);

(一)X

4

當(dāng)〃為奇數(shù)時，/(-x)=-xn+-=-/(%),函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，故A不正確；

.X

4I4-4

當(dāng)，為偶數(shù)時，x”>0,所以〃勸二爐+F〃?下=4,當(dāng)且僅當(dāng)冗”=-7時，

即父=2>0取等號，所以函數(shù)/⑴的最小值為4,故B正確；

當(dāng)〃為奇數(shù)時，令/=%",則心<0,函數(shù)/(力化為g(r)=r+；,

而8?)=/+；在(f,_2),(2,+8)上單調(diào)遞增，在(-2,0),(0,2)上單調(diào)遞遞減，

44

所以g?)=，+7在，=2時，取得極小值g(2)=2+m=4,故C正確；

4

當(dāng)〃=1時，函數(shù)/(x)=x+—上點尸(1,5),設(shè)點P關(guān)于直線y=2x對稱的對稱點為

.X

1(如為)，

%-5_1

則2，解得

4

/(x)=x+一不滿足,

x

所以函數(shù)y=/*)的圖象不關(guān)于直線y=2x對稱，故D不正確,

故選：BC.

【點睛】

本題考查綜合考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，對稱性，以及函數(shù)的最值，屬于較難題.

7T

7.設(shè)函數(shù)g(x)=5/力3X(3>0)向左平移—個單位長度得到函數(shù)/(x),已知f(x)在[0,2用上有

且只有5個零點，則下列結(jié)論正確的是()

A./W的圖象關(guān)于直線x對稱

B./(x)ffi(O,2九)上有且只有3個極大值點，/(x)在(0,2足上有且只有2個極小值點

7T

c./(X)在(0,m)上單調(diào)遞增

1229

D.3的取值范圍是[三,而)

【答案】CD

【分析】

利用正弦函數(shù)的對稱軸可知，A不正確；由圖可知/*)在(。,2乃)上還可能有3個極小值

點，8不正確；由2萬解得的結(jié)果可知，。正確；根據(jù)，。)在(0,魯)上遞

10。

增，且一,可知C正確.

1()10。

【詳解】

依題意得/(x)=g(x+二)=sin["x+Z)]=sin(0x+^),T=—,如圖：

5(o5co5co

對于A,令5+工=%"+工，kwZ,得工=竺+至，keZ,所以的圖象關(guān)于

52co10G

1(JT3乃

直線x=—+k(^￡Z)對稱，故A不正確：

(01069

對于B,根據(jù)圖象可知，xA<2^<xBf/(%)在(0,2外有3個極大值點，f(x)在(0,24)

有2個或3個極小值點，故8不正確，

4TE“45T萬524244

對于。，因為工人=一丁+—T=一7+—x—=——,

5(02569269569

71__"2"29%行?,24%,-29%1229

xR=----+3/=-------+3x——=-------,所以——<2^<——,解得—^co<—,

5co5coco5co5(05(0510

所以。正確；

對于C,因為一f+17=一三+,x2x=孚，由圖可知/(X)在(0,學(xué))上遞增，

5CD45。4。1()691()。

因為。＜之＜3,所以二一孚二二(1-3)＜0,所以“X)在(0,三)上單調(diào)遞增，故

1010106910co10

C正確；

故選：CD.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的相位變換，考查了正弦函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性和周期性，考查了極

值點的概念，考查了函數(shù)的零點，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

8.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷(Dk/c初et,1805~1859)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著.19世紀(jì)，狄利克雷定

義了一個“奇怪的函數(shù)"y=f(x)=〈八》八其中月為實數(shù)集,。為有理數(shù)集.則關(guān)于函

[0,XGQ2

數(shù)f(另有如下四個命題，正確的為()

A.函數(shù)/(力是偶函數(shù)

B.￡02，/(玉+%)=/(5)+/(%)恒成立

C.任取一個不為零的有理數(shù)L/(X+T)=/(x)對任意的XGR恒成立

D.不存在三個點A(玉,/(%)),8(々,7(&)),7(七)),使得AA8C為等腰直角三

角形

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)函數(shù)的定義以及解析式，逐項判斷即可.

【詳解】

對于A,若xwQ,則一xwQ,滿足f(x)=/(-x)；若XECRQ,則一XECRQ,滿足

/(x)-/(-x)；故函數(shù)了。)為偶函數(shù)，選項A正確；

對于B,?。?萬￡。。,/=一不￡CRQ，則/(玉+/)=/(0)=1，

/(%)+/(々)=0,故選項B錯誤；

對于C,若xwQ,則R+TEQ,滿足/(力=/(%+7)；若XE/Q,則

x+TeCRQ,滿足/(力=/(/+7)，故選項C正確；

對于D,要為等腰直角三角形，只可能如下四種情況：

①直角頂點A在y=l上，斜邊在工軸上，此時點B,點。的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則8c中

點的橫坐標(biāo)仍然為無理數(shù)，那么點A的橫坐標(biāo)也為無理數(shù)，這與點A的縱坐標(biāo)為1矛盾，

故不成立；

②直角頂點A在y=l上，斜邊不在X軸上，此時點8的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點A的橫坐

標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點A的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立；

③直角頂點A在x軸上，斜邊在y=l上，此時點3,點C的橫坐標(biāo)為有理數(shù)，則3C中

點的橫坐標(biāo)仍然為有理數(shù)，那么點A的橫坐標(biāo)也應(yīng)為有理數(shù)，這與點A的縱坐標(biāo)為。矛

盾，故不成立；

B

x

④直角頂點A在X軸上，斜邊不在y=l上，此時點A的橫坐標(biāo)為無理數(shù)，則點3的橫坐

標(biāo)也應(yīng)為無理數(shù)，這與點8的縱坐標(biāo)為1矛盾，故不成立.

綜上，不存在三個點A(x，/(%)),B(X2,/(^)),C(玉，/(七))，使得AABC為等腰

直角三角形，故選項D正確.

故選：ACD.

【點睛】

本題以新定義為載體，考查對函數(shù)性質(zhì)等知識的運用能力，意在考查學(xué)生運用分類討論思

想，數(shù)形結(jié)合思想的能力以及邏輯推理能力，屬于難題.

9.高斯是德國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測量學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一.

高斯被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有"數(shù)學(xué)王子"之稱.有這樣一個函數(shù)就是以

他名字命名的：設(shè)xwR,用[目表示不超過I的最大整數(shù)，則/(x)=[x]稱為高斯函

數(shù)，又稱為取整函數(shù).如：/(2.3)=2,/(-3.3)=Y.則下列正確的是()

A.函數(shù)/(#是R上單調(diào)遞增函數(shù)

B.對于任意實數(shù)a，b,都有+

C.函數(shù)g(x)=/(x)-雙(xwO)有3個零點，則實數(shù)。的取值范圍是

(34]「43、

一,一u

U5」|_32)

D.對于任意實數(shù)x,力則jf(x)=/(y)是次一3<1成立的充分不必要條件

【答案】BCD

【分析】

取反例可分析A選項，設(shè)出a,b的小數(shù)部分，根據(jù)其取值范圍可分析B選項，數(shù)形結(jié)合

可分析C選項，取特殊值可分析D選項.

【詳解】

解：對于A選項，/(1)=/(1.2)=1,故A錯誤；

對于8選項，令。=[。]+匕匕=回+式八q分別為a,b的小數(shù)部分)，

可知Q,「=〃-同vl,(X,q=b-[b]<lt[r+q]>0,

則jf(a+b)=[[a]+回+r+g[=同+回+卜+旬..同+回=/(a)+/(b)，故8錯

誤；

對于C選項，可知當(dāng)&W/V&+1,AeZ時，則〃力=國=%，

可得/(x)的圖象，如圖所示：

??.函數(shù)g(x)=f(x)—ar(xwO)有3個零點，

二?函數(shù)〃力的圖象和直線有3個交點，且(o,o)為“力和直線y="必過的

點9

(34143、

由圖可知，實數(shù)Q的取值范圍是[1，r,故C正確；

對于D選項，當(dāng)〃x)=/(y)時，即r，q分別為x，y的小數(shù)部分，可得0WY1，

|x_y|T[x]+-[y]r|T-4v|i_q=i；

當(dāng)上一乂<1時，取x=-o.9,y=0.09,可得[月=-1,3=0,此時不滿足

/(力=/(江

故/(力=/(、)是人一vV1成立的充分不必要條件，故D正確；

故選：BCD.

【點睛】

本題考查函數(shù)新定義問題，解答的關(guān)鍵是理解題意，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合

思想；

10.下列說法中，正確的有()

A.若a>b>0,則

ab

B.若。＞0,匕＞0,a+b=l,則的最小值為4

ab

C.己知/（X）=h\一；，且/（1一。）+/（1-/）＜0,則實數(shù)。的取值范圍為（一2,1）

LI1L

D.已知函數(shù)/（力=陛2（3/-"+8）在［T+oo）上是增函數(shù)，則實數(shù)〃的取值范圍是

【答案】BCD

【分析】

利用不等式的基本性質(zhì)可判斷A選項的正誤；將。+力與L+,相乘，展開后利用基本不

ab

等式可判斷B選項的正誤；判斷函數(shù)/（X）的單調(diào)性與奇偶性，解不等式

/（I一。）+/（1-/）＜0可判斷c選項的正誤；利用復(fù)合函數(shù)法可得出關(guān)于實數(shù)。的不等

式組，解出。的取值范圍，可判斷D選項的正誤.

【詳解】

對于A選項，則A選項錯誤；

ba

對于B選項，b＞0,a-\-b=\?

11/.b_lba.

—l—=（ci+b）\—l—=2H1—＞2+2./----=4＞

abv\ab）abNab

當(dāng)且僅當(dāng)。=〃=!時，等號成立，所以，！的最小值為4,B選項正確；

2ab

對于C選項，函數(shù)/（x）的定義域為R,

任取用、9￡氏且凡＜七，則2巧＞2司＞0，

所以，

八"\2/（2*+12）UV2+12）2X'+12"1（2r'+l）（2X2+l）

即工2），所以,函數(shù)f（x）為K上的減函數(shù),

.?八、-11_2-（2'1）t

."“一2、+1耳―2（2、1）—2（1+2、）'

…/、1-2-2、（1-2一）21，/、

則f（-X）=—7------r=-----7-----\~-7----\=~f（X）,

八72（1+2-）22（1+27）2（2X+1）'＞

所以，函數(shù)/（力為R上的奇函數(shù)，且為減函數(shù)，

由+可得/（1_可〈―/0_儲）=/（/一］）,

所以，6/2-1<?即42+々一2<0，解得一2<avl,C選項正確；

對于D選項，對于函數(shù)f（x）=log2（3%2一以+8）,令"=3/一QC+8，

由于外層函數(shù)y=log2〃為增函數(shù)，則內(nèi)層函數(shù)〃=3f一心+8在11,長。）上為增函數(shù)，

所以JJ6,解得-U<aK-6,D選項正確.

〃min=3+4+8>0

故選：BCD.

【點睛】

方法點睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，要設(shè)法將隱性劃歸為顯性的

不等式來求解，方法是：

（1）把不等式轉(zhuǎn)化為/［g（x）］>/［Mx）］：

（2）判斷函數(shù)/（力的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號"/〃脫掉，得到

具體的不等式（組），但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.

二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題

11.在湖邊，我們常看到成排的石柱子之間兩兩連以鐵鏈，這就是懸鏈線（Catenary）,

其形狀因與懸在兩端的繩子因均勻引力作用下掉下來之形相似而名.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后,

XX

0e一二其中。為非零常

懸鏈線的方程是一個雙曲余弦函數(shù)〃力=a-cosh-

2

數(shù)，在此坐標(biāo)平面上，過原點的直線與懸鏈線相切于點?。?/（毛）），則的值可能

為（）（注：［司表示不大于X的最大整數(shù)）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】AC

【分析】

求出導(dǎo)數(shù)，表示出切線，令，=至，可得（1一。4+（1+。/'=0,構(gòu)造函數(shù)

〃（?二（1-力-+。+工）-',可得力（力是偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性，結(jié)合零點存在

性定理可得一2〈包<一1或1<土<2,即可求出.

aa

【詳解】

X_xXX

松_血.$―

???切線斜率加=空9，.??/㈤二分41，

/」/―

則切線方程為),_Q-a+ea/。_e〃(X/)'

工」i丸3

???直線過原點，.一.匕尸二三二.J)

令f=包，則可得(］一。/+(1+。6-'=0,

令力(x)=(l—x)/+(l+x)eT,則，是〃(x)的零點，

,.,/i(-x)=(l+x)e-r+(l-x)^=/2(x),./(x)是偶函數(shù)，

?.?“(x)=r(e?T),

當(dāng)x>0時，〃(力<0,〃(可單調(diào)遞減，

?.?耳1)=2/>0,〃⑵=-/+31<0,

.?.〃(同在(1,2)存在零點八由于偶函數(shù)的對稱性/z(x)在(-2,-1)也存在零點,

且根據(jù)單調(diào)性可得〃(x)僅有這兩個零點，

.?.-2<2〈-1或1<幺<2,

aa

—=-2或1.

_a

故選：AC.

【點睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，解題的關(guān)鍵是將題目轉(zhuǎn)化為令

,=十，(lT)/+(l+r”T=O,求/?(x)=(l-x)e、+(l+x)eT的零點問題.

12.己知/a)=/］nx,g(%)=42,f(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是

x

()

A./(x)在1-5,+oo］上單調(diào)遞增.

B.g(X)在(0,+8)上兩個零點

3

C.當(dāng)0Vx〈々ve時，-xj)</(為)一/(電)恒成立，則加之耳

D.若函數(shù)〃。)=/(冗)一依只有一個極值點，則實數(shù)。之0

【答案】ACD

【分析】

求出導(dǎo)函數(shù)f(X),由((x)>o確定增區(qū)間，判斷A,然后可得g(?,再利用導(dǎo)數(shù)確定

g(X)的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點存在定理得零點個數(shù)，判斷B,構(gòu)造函數(shù)

(p(x)=f(x)-mx2,由儀x)在(0,e)上遞減，求得加范圍，判斷C,利用導(dǎo)數(shù)研究力(幻

的單調(diào)性與極值點，得。的范圍，判斷D.

【詳解】

?，/'(%)=x(2In%+l)(x>0),令f\x)>0,

1-1-

得21n%+l>Onlnx>—二>>>62,故A正確

2

/、21nx+1

g")"------------，

x

vg'M=12]nA,令g'a)>0得Inxc'nxce"g'(x)<。得0<丫,

2u、入、匕

1

ae一2

故g(x)在上為減函數(shù)，在e2+co上為增函數(shù).

當(dāng)Xf時，g(X)TYO;當(dāng)Xf+oo時，g(x)f0且g(x)>。

「?以幻的大致圖象為

..?ga)只有一個零點,故B錯.

記(p(x)=f(x)-nvc,則3(冗)在(0,e)上為減函數(shù),

e'(x)=x(2lnx+1)-2mx00對x￡(0,e)恒成立

.?.2mN21nx+1對x￡(0,e)恒成立

3

.\2/H>3../n>—.

2

故C正確.

/1(x)=f(x)-ax=x2Inx-ar,

,/hXx)=x(2Inx+1)-a,設(shè)H(x)=x(21nx+l),

爪外只有一個極值點，力'。)=0只有一個解，即直線丁=。與丁="(工)的圖象只有一個

交點.

H'(%)=2(lnx+l)+l=21nx+3,

3

???”'(幻在(0,內(nèi))上為增函數(shù)，令"")=0,得X=-2,

人09

當(dāng)xw(0,/)時，H'(x)v0；當(dāng)xeCro，+00)時，

??.”(幻在(0,%)上為減函數(shù)，在(X”+8)上為增函數(shù)，

〃(%)=”2xf-11+l=-2e^<0,

xG(O,xo)B'J',2Inx+1<2Ine+1=-2<0,即"")<°，且x—>0時，

H(x)>0,又x>18時，H(x)>+oo,因此H(x)的大致圖象如下(不含原點)：

直線）=4與它只有一個交點，則〃20.故D正確.

故選：ACD.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，得

出函數(shù)的極值，對于零點問題，需要結(jié)合零點存在定理才能確定零點個數(shù).注意數(shù)形結(jié)合

思想的應(yīng)用.

13.設(shè)函數(shù)/(力=優(yōu)-/(。>1)的定義域為(0,+力)，已知了(另有且只有一個零點，下

列結(jié)論正確的有()

A.a=eB./(x)在區(qū)間(l,e)單調(diào)遞增

C.彳=1是/(力的極大值點D.是“力的最小值

【答案】ACD

【分析】

Ax)只有一個零點，轉(zhuǎn)化為方程/—/=()在(0,+8)上只有一個根，即止=也只有

xa

InX

一個正根.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)〃")=下的性質(zhì)，可得判斷A,然后用導(dǎo)數(shù)研究

函數(shù)/(制=--9的性質(zhì)，求出了*),令ra)=o,利用新函數(shù)確定r(x)只有兩個零

點1和%并證明出/'")的正負(fù)，得/(%)的單調(diào)性，極值最值.判斷BCD.

【詳解】

“X)只有一個零點，即方程優(yōu)一犬二0在(。,+8)上只有一個根，,取對數(shù)得

x\na=a\nx,即處=吆只有一個正根.

xa

設(shè)/?*)=*,則“(幻=匕學(xué)，當(dāng)0cxee時，”(x)>0,力(x)遞增，％―0時，

XX

〃(x)>oo,時，h\x)<0,〃(%)遞減，此時人(x)>0,

〃(X)max=h(e)=-.

e

.??要使方程止=則只有一個正根.則"@二2或皿<0,解得a=e或。<0,又

xaaea

?>1,/.a=e,A正確;

f(x)=F-y,f\x)=ex-e^~',

xei

fXx)=e-ex~=0,取對數(shù)得x-l=Q-l)lnx,

易知x=1和1=e是此方程的解.

設(shè)〃(x)=(e-l)lnx-x+l,p(x)=^—!--1,當(dāng)0cx<?-1時，p\x)>0,p(x)遞

x

增，x>e—1時，p'")vO,P。)遞減，P(e-l)是極大值，

又p(l)=p(e)=O,

所以PQ)有且只有兩個零點，

Ovxvl或時,p(x)<0,即(e.Dlnxvx.l,尸〈尸,勿”|<產(chǎn)，

/V)>0,同理Ivxve時,/Xx)<0,

所以/㈤在(0,1)和?+8)上遞增，在(l,e)上遞減，所以極小值為f(e)=o,極大值為

/⑴，

又f(0)=1,所以f(e)是最小值.B錯，CD正確.

故選：ACD.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，極值，單調(diào)性.解題關(guān)鍵是確定了'(X)的零

點時，利用零點定義解方程，fM=ex-exe-l=O,ei=9T,取對數(shù)得

x-\=(e-})\nxt

易知x=1和x=e是此方程的解.然后證明方程只有這兩個解即可.

14.已知函數(shù)/(,=(--I)Msii?”，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=〃x)是偶函數(shù)，且在(YO,+oo)上不單調(diào)

B.函數(shù)y=/'(x)是奇函數(shù)，且在(YO,X)上不單調(diào)遞增

C.函數(shù)y=/(x)在(一、,0)上單調(diào)遞增

D.對任意TMER,都有/(同)=/(機(jī))，且“加)20

【答案】AD

【分析】

由函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A、B、C、D.

【詳解】

解：對A,.../(%)=(---—^-+4sin2-=-——-2cosx,

ex2ex

定義域為R，關(guān)于原點對稱，

/、e~2x+le'x+\

=---2cos(-x)=-----2cos(x)=/(x),

「.y=/(x)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于)'軸對稱，

???/(%)在(r0,X0)上不單調(diào)，故A正確；

對B,f\x)=ex-—+2sinx,

=e~x—i-+2sin(-x)=-(ex--+2sinx)=，

e~xex

..?r(x)是奇函數(shù),

令g(x)=e*--v+2sinx,

則g'(x)=eA+—+2cosx>2+2cosx>0,

ex

??./'")在(f，e)上單調(diào)遞增，故B錯誤；

x

對C,vf\x)=e-+2sinxf且/(x)在(口,一)上單調(diào)遞增，

e

又??"'(0)=0，

??.xe(￡,0)時，f\x)<0,

.?.y-f(x)在(一上單調(diào)遞減，故C錯誤；

對D,???y=/(x)是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增，

丁./(同)=/(〃?)，且/(加)之/(0)=0,故D正確.

故選：AD.

【點睛】

用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：

(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；

⑵不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間寫成并集形式；

⑶利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，?般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程

中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

15.己知函數(shù)八力=蓼，XE(0,幻，則下列結(jié)論正確的有()

A./(可在區(qū)間(0,句上單調(diào)遞減

B.若0v玉v占《乃，則百?sin/>W,sin玉

c.“X)在區(qū)間(0,句上的值域為［0,1)

D.若函數(shù)g(%)=Xg‘a(chǎn))+8SX,且g(4)=-1,g(x)在(0,句上單調(diào)遞減

【答案】ACD

【分析】

先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后對四個選項進(jìn)行逐一分析解答即可，

對于選項A當(dāng)微卜寸，可得r(x)v0,可得/(%)在區(qū)間(0弓)上單調(diào)遞減;

jrjr

當(dāng)不，1,可得r(x)<0,可得/(力在區(qū)間-,n上單調(diào)遞減，最后作出判斷；

對于選項B：由“力在區(qū)間(0,司上單調(diào)遞減可得〃xj>/(w)，可得

膽,蟲，進(jìn)而作出判斷；

劉巧

sinxxsinTT

對于選項C：由三角函數(shù)線可知sinxvx,所以——<-=1,f⑺=——=0,進(jìn)而

XX兀

作出判斷；

對于選項D：g'(x)=g'(x)+xg〃(x)—sinx,可得g"(x)="±二/(x),然后利用導(dǎo)

x1

數(shù)研究函數(shù)g'(x)在區(qū)間(0,句上的單調(diào)性，可得g'(x)<g'S)=0,進(jìn)而可得出函數(shù)

g(x)在(0,句上的單調(diào)性，最后作出判斷.

【詳解】

、xcosx-sinx/八1

f(%)=----------------，xw(。川，

當(dāng)不￡0,—時，cosx>0,由三角函數(shù)線可知xvtanx,

sinx

所以xc2-----，Bpxcosx<sinx?所以xcosx-sinxvO,

cosx

所以r(x)vo,所以〃力在區(qū)間(o仁)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xw彳,1,cosx<0,sinx>0,所以冗cosx—sinx<0,/z(x)<0,

jr

所以f(x)在區(qū)間不，%上單調(diào)遞減，

所以〃力在區(qū)間(0,可上單調(diào)遞減，故選項4正確；

當(dāng)。<占<工2?萬時，/(%)>/(42)，

sinx.sinx,..

所以----L>----二,即xsnzv^sinxi，故選項8錯誤；

x\x2

?_ri,.「Lr、tsinxx、sinTT八

由二角函數(shù)線可知sinxcx,所以----<—=1t,f(乃)=-----=0,

xxn

所以當(dāng)x?0,句時,/(x)e[0,l),故選項c正確；

對g(x)=xg'(x)+cosx進(jìn)行求導(dǎo)可得：

所以有g(shù)'(x)=g'(x)+xg"(x)-Sinx,

所以g〃(x)=*=/(x)，所以g〃(x)在區(qū)間(o,可上的值域為[0,1)，

X

所以g”(x)N0,g'(x)在區(qū)間(0,句上單調(diào)遞增,因為g'(%)=0,

從而g'(x)Kg'(4)=0,所以函數(shù)g(x)在(0,句上單調(diào)遞減，故選項D正確.

故選：ACD.

【點睛】

方法點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，對于函數(shù)/")=詈的性質(zhì)，可先求出其導(dǎo)數(shù)，然

后結(jié)合三角函數(shù)線的知識確定導(dǎo)數(shù)的符號，進(jìn)而確定函數(shù)的單調(diào)性和極值，最后作出判

斷，考查邏輯思維能力和運算求解能力，屬于中檔題.

16.對于定義在。上的函數(shù)/(4)和定義在&上的函數(shù)g(x)，若直線

y="+Z?(匕〃ER)同時滿足：?VXGDJ,f^x)<kx+h.@Vx€O2,

g(%)2"+匕，則稱直線y=京+b為/(x)與g(x)的“隔離直線".若,

xl

g(x)=e-f則下列為/(犬)與g(x)的隔離直線的是()

、―