人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題17圓周角重難點(diǎn)題型專訓(xùn)(八大題型)(原卷版+解析)

第二十四章圓專題17圓周角重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（八大題型）【題型目錄】題型一圓周角的概念辨析題型二圓周角定理題型三同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等問題題型四半圓所對(duì)的圓周角是直角問題題型五90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑問題題型六已知圓內(nèi)接四邊形求角度題型七求四邊形外接圓的直徑題型八圓周角綜合問題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、圓周角1．頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。推論1：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑。（在同圓中，半弧所對(duì)的圓心角等于全弧所對(duì)的圓周角）2．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等．3．一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角。【經(jīng)典例題一圓周角的概念辨析】1．（2020秋·浙江寧波·九年級(jí)校考期中）下列說法：（1）三點(diǎn)確定一個(gè)圓；（2）直徑所對(duì)的圓周角是直角；（3）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的??；（4）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；（5）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在圓上，且邊CD與該圓交于點(diǎn)E，AC，BE交于點(diǎn)F.下列角中，弧AE所對(duì)的圓周角是(

)A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC3．（2023·湖南婁底·?？家荒＃┮阎c(diǎn)、、、在圓上，且切圓于點(diǎn)，于點(diǎn)，對(duì)于下列說法：①圓上是優(yōu)??；②圓上是優(yōu)??；③線段是弦；④和都是圓周角；⑤是圓心角，其中正確的說法是．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線經(jīng)過的圓心，且與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與圓心不重合)，直線與相交于另一點(diǎn)，如果，則.5．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）把下面的語句還原成圖形：作圖區(qū)域：(1)的半徑為1cm，是的一條弦（不經(jīng)過M），、分別是劣弧所對(duì)應(yīng)的圓心角和圓周角；(2)是中的一條弧，且．6．（2023秋·河南信陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）【學(xué)習(xí)心得】小明同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝°．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的數(shù)．（3）【問題拓展】如圖3，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為4，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是．【經(jīng)典例題二圓周角定理】1．（2023春·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A，B，C，D在上，，B是弧的中點(diǎn)，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．2．（2023春·陜西榆林·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的外接圓，且是的直徑，點(diǎn)D在上，連接、，且，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，是的一條弦，，垂足為點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在上，，，則弦的長(zhǎng)是．

4．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知是半圓上的三等分點(diǎn)，連接和相交于點(diǎn)，有下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形是菱形．其中正確的有（填序號(hào)）．

5．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知為的直徑，C為上一點(diǎn)，于E，D為弧的中點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)G．

(1)求證：；(2)如圖2，若，連接，求證：．6．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的一條弦，，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題三同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等問題】1．（2021春·福建南平·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是的內(nèi)接三角形，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)B，連接，若，則等于（）A． B． C． D．2．（2022·北京西城·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，若，則等于（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，，則°．

4．（2023·云南德宏·統(tǒng)考一模）已知：如圖，是的直徑，垂直弦于點(diǎn)，則在不添加輔助線的情況下，圖中與相等的角是（寫出一個(gè)即可）．

5．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，四邊形內(nèi)接于，．

求證：(1)；(2)是的直徑．6．（2022秋·甘肅定西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：的兩條弦，相交于點(diǎn)M，且．

(1)如圖1，連接.求證：．(2)如圖2.若．在上取一點(diǎn)E，使，交于點(diǎn)F，連接、．判斷與是否相等，并說明理由．【經(jīng)典例題四半圓所對(duì)的圓周角是直角問題】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)在上，連接交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．2．（2022·河北衡水·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，若，下列結(jié)論不正確的是（

）

A． B．直線垂直平分 C． D．3．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑．

4．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知的直徑，為上一點(diǎn)（不與、重合），連接、．弦平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為．

5．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為2的正方形中邊上一點(diǎn)（不與A、B重合），以為直徑的分別交和于點(diǎn)F、M，于點(diǎn)H．

(1)求證：(2)猜想與的大小關(guān)系，并說明理由．(3)當(dāng)時(shí)，求的面積．6．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B，C為上兩定點(diǎn)，點(diǎn)A為上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作，交于點(diǎn)E，點(diǎn)D為射線上一動(dòng)點(diǎn)，且平分，連接．(1)求證：；(2)連接，若，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【經(jīng)典例題五90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑問題】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是等邊三角形，，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形中，，點(diǎn)為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，在上截取點(diǎn)使，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．3．（2023·重慶·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，四邊形是矩形，，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，在運(yùn)動(dòng)的過程中，始終垂直于，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最大值為．

4．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在線段上，，則線段的最小值為．

5．（2022秋·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）正方形邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)，以為腰作等腰直角，其中，可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖1，連接，．①求證：；②判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)設(shè)直線，交于點(diǎn)P，連接，求的最大值．6．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，．

(1)求證平分，并求的大??；(2)過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，求此圓半徑的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題六已知圓內(nèi)接四邊形求角度】【例6】（2023·湖北黃岡·?？级＃┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，連接，若，則（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接OA，AD，BD，若，則的度數(shù)為（

）

A．110° B．140° C．120° D．130°2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，E為正方形的邊上一點(diǎn)（不與重合），將沿直線翻折到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，點(diǎn)O是過B、E、G三點(diǎn)的圓劣弧上一點(diǎn)，則．3．（2023·江蘇南京·?？既＃┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，它的3個(gè)外角的度數(shù)之比為1∶2∶4，則4．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，點(diǎn)D為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F．連接，若是的切線．(1)求證：；(2)若，求直徑的長(zhǎng)．5．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得，連結(jié)．

(1)求證：．(2)若，，，求的長(zhǎng)【經(jīng)典例題七求四邊形外接圓的直徑】【例7】．（2021·廣西賀州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)E，且，則的面積是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）如圖，半徑為，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，連接作，垂足為F，連接．則長(zhǎng)的最小值為（

）A． B．1 C． D．2．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？既＃┰诹庑沃?，，，的兩邊分別交邊、于點(diǎn)E、F，且，記的外心為點(diǎn)P，則P、C兩點(diǎn)間的最小距離為．3．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和直線l上滑動(dòng)（均不與原點(diǎn)O重合），，，作軸，，交點(diǎn)為P，設(shè)P的坐標(biāo)為，則．4．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考一模）已知菱形中，，點(diǎn)分別在，上，，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)？(3)當(dāng)時(shí)，求的最大值？5．（2023秋·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：能完全覆蓋平面圖形的最小的圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．(1)如圖①，線段，則線段的最小覆蓋圓的半徑為_________；(2)如圖②，中，，，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖，作出的最小覆蓋圓（保留作圖痕跡，不寫作法）．此最小覆蓋圓的半徑為_________；(3)如圖③，矩形中，，，則矩形的最小覆蓋圓的半徑為_________；若用兩個(gè)等圓完全覆蓋該矩形，那么這兩個(gè)等圓的最小半徑為_________．【經(jīng)典例題八圓周角綜合問題】【例8】（2023春·重慶開州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以直角三角形的斜邊為邊在三角形的同側(cè)作正方形，正方形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，連接，如果，，則正方形的面積為（

）

A．20 B．22 C．24 D．26【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形中，，點(diǎn)為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，在上截取點(diǎn)使，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．2．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A，直線與交于點(diǎn)D．與y軸交于點(diǎn)E．動(dòng)點(diǎn)M在線段上，動(dòng)點(diǎn)N在直線上，若是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

3．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和直線m的函數(shù)表達(dá)式為，動(dòng)點(diǎn)在A點(diǎn)的右邊，過點(diǎn)B作x軸的垂線交直線m于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作直線m的平行線交y軸于點(diǎn)D，當(dāng)時(shí)，則x的值為．

4．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，．

(1)求證平分，并求的大?。?2)過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，求此圓半徑的長(zhǎng)．5．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，連接，．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在上，連接，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，若，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，若，，，求的長(zhǎng)．

第二十四章圓專題17圓周角重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（八大題型）【題型目錄】題型一圓周角的概念辨析題型二圓周角定理題型三同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等問題題型四半圓所對(duì)的圓周角是直角問題題型五90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑問題題型六已知圓內(nèi)接四邊形求角度題型七求四邊形外接圓的直徑題型八圓周角綜合問題【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、圓周角1．頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。推論1：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑。（在同圓中，半弧所對(duì)的圓心角等于全弧所對(duì)的圓周角）2．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等．3．一個(gè)四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形定理：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角?！窘?jīng)典例題一圓周角的概念辨析】1．（2020秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谥校┫铝姓f法：（1）三點(diǎn)確定一個(gè)圓；（2）直徑所對(duì)的圓周角是直角；（3）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的??；（4）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；（5）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)確定圓的條件、直徑的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：（1）任意三點(diǎn)確定一個(gè)圓；錯(cuò)誤，應(yīng)該是不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓；（2）直徑所對(duì)的圓周角是直角；正確；（3）平分弦的直徑垂直于弦；并且平分弦所對(duì)的弧，錯(cuò)誤，直徑與直徑互相平分，但不一定互相垂直；（4）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；錯(cuò)誤，應(yīng)該是在同圓或等圓中；（5）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；正確；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查確定圓的條件、直徑的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的頂點(diǎn)A，B，C在圓上，且邊CD與該圓交于點(diǎn)E，AC，BE交于點(diǎn)F.下列角中，弧AE所對(duì)的圓周角是(

)A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC【答案】C【分析】直接運(yùn)用圓周角的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：弧AE所對(duì)的圓周角是：∠ABE或∠ACE故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角的定義，掌握?qǐng)A周角的定義是解題的關(guān)鍵.3．（2023·湖南婁底·?？家荒＃┮阎c(diǎn)、、、在圓上，且切圓于點(diǎn)，于點(diǎn)，對(duì)于下列說法：①圓上是優(yōu)?。虎趫A上是優(yōu)??；③線段是弦；④和都是圓周角；⑤是圓心角，其中正確的說法是．【答案】①②③⑤【分析】根據(jù)優(yōu)弧的定義，弦的定義，圓周角的定義，圓心角的定義逐項(xiàng)分析判斷即可【詳解】解：，都是大于半圓的弧，故①②正確，在圓上，則線段是弦；故③正確；都在圓上，是圓周角而點(diǎn)不在圓上，則不是圓周角故④不正確；是圓心，在圓上是圓心角故⑤正確故正確的有：①②③⑤故答案為：①②③⑤【點(diǎn)睛】本題考查了優(yōu)弧的定義，弦的定義，圓周角的定義，圓心角的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．優(yōu)弧是大于半圓的弧，任意圓上兩點(diǎn)的連線是弦，頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，頂點(diǎn)在圓心，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓心角．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線經(jīng)過的圓心，且與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與圓心不重合)，直線與相交于另一點(diǎn)，如果，則.【答案】40°、20°、100°【分析】點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，因而點(diǎn)P與線段AO有三種位置關(guān)系，在線段上，點(diǎn)P在延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上．分這三種情況進(jìn)行討論即可．【詳解】解：①根據(jù)題意，畫出圖1，在中，，∴，在中，∴又∵∴在中，即整理得，∴．②當(dāng)P在線段的延長(zhǎng)線上，如圖2在中，把①②代入③得則∴③當(dāng)P在線段的反向延長(zhǎng)線上，如圖3，①②③④聯(lián)立得故答案為：40°、20°、100°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的認(rèn)識(shí)及等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，畫出圖形，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．5．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）把下面的語句還原成圖形：作圖區(qū)域：(1)的半徑為1cm，是的一條弦（不經(jīng)過M），、分別是劣弧所對(duì)應(yīng)的圓心角和圓周角；(2)是中的一條弧，且．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）畫非直徑的弦，在優(yōu)弧上取點(diǎn)C，連接，，即可解答；（2）在上取一點(diǎn)D，以為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，即可．【詳解】（1）解：如圖，和為所作；作圖區(qū)域：

（2）解：如圖，在上取一點(diǎn)D，以為半徑畫弧，交于點(diǎn)E，根據(jù)等弦對(duì)等弧，可得，即為所作，作圖區(qū)域：

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解乘基本作圖，逐步操作即可．6．（2023秋·河南信陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）【學(xué)習(xí)心得】小明同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問題變得非常容易．例如：如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一點(diǎn)，且AD＝AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點(diǎn)C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC＝°．（2）【問題解決】如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝27°，求∠BAC的數(shù)．（3）【問題拓展】如圖3，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE＝DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H．若正方形的邊長(zhǎng)為4，則線段DH長(zhǎng)度的最小值是．【答案】（1）45；（2）27°；（3）2﹣2【分析】（1）利用同弦所對(duì)的圓周角是所對(duì)圓心角的一半求解．（2）由A、B、C、D共圓，得出∠BDC=∠BAC，（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”證明△ADG和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=AB=2，利用勾股定理列式求出OD，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最?。驹斀狻拷猓海?）如圖1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助⊙A，則點(diǎn)B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，故答案是：45；（2）如圖2，取BD的中點(diǎn)O，連接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴點(diǎn)A、B、C、D共圓，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝27°，∴∠BAC＝27°，（3）如圖3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中點(diǎn)O，連接OH、OD，則OH＝AO＝AB＝2，在Rt△AOD中，OD＝＝＝2，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH＞OD，∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH的長(zhǎng)度最小，最小值＝OD﹣OH＝2﹣2．故答案為：2﹣2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合題，需要掌握?qǐng)A周角定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二圓周角定理】1．（2023春·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A，B，C，D在上，，B是弧的中點(diǎn)，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，如圖，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系，然后根據(jù)圓周角定理求解．【詳解】解：連接，如圖所示，

∵B是弧的中點(diǎn)，即，∴，∵和都對(duì)，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦的關(guān)系和圓周角定理是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023春·陜西榆林·九年級(jí)校考期中）如圖，是的外接圓，且是的直徑，點(diǎn)D在上，連接、，且，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)得出，根據(jù)是的直徑，得出，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余，即可解答．【詳解】解：∵，，∴，∵是的直徑，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，直徑所對(duì)的圓周角是直角．3．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，是的一條弦，，垂足為點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在上，，，則弦的長(zhǎng)是．

【答案】【分析】根據(jù)垂徑定理得到，結(jié)合得到，結(jié)合三角函數(shù)直接求解即可得到答案；【詳解】解：∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓周角定理及勾股定理，解題的關(guān)鍵是得到．4．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知是半圓上的三等分點(diǎn)，連接和相交于點(diǎn)，有下列結(jié)論：①；②；③；④四邊形是菱形．其中正確的有（填序號(hào)）．

【答案】①②③④【分析】①首先根據(jù)點(diǎn)C，D是半圓上的三等分，求出的度數(shù)；然后根據(jù)圓周角定理，求出的度數(shù)即可；②根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出，即可判斷出；③根據(jù)垂徑定理判斷出E是的中點(diǎn)，然后得到是的中位線，即可判斷出，④先證明，再證明是等邊三角形，得到，根據(jù)菱形的判定方法可判斷四邊形是菱形.【詳解】解：連接，

∵已知是半圓上的三等分點(diǎn)，∴，∴，故①正確；∴，∴，故②正確；∴，，∴是的中位線，∴，故③正確；∵是半圓O的直徑，∴，又，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴四邊形是平行四邊形，又，∴四邊形是菱形．故④正確，故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦三者的關(guān)系，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定義及中位線性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．5．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知為的直徑，C為上一點(diǎn)，于E，D為弧的中點(diǎn)，連接，分別交于點(diǎn)F和點(diǎn)G．

(1)求證：；(2)如圖2，若，連接，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，從而可得∠CAG+∠AGC＝90°，根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后根據(jù)已知可得，從而可得，進(jìn)而可得，最后根據(jù)對(duì)頂角相等可得，從而可得進(jìn)而根據(jù)等角對(duì)等邊即可解答；（2）連接，利用（1）的結(jié)論，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得，然后根據(jù)證明，從而可得，進(jìn)而可得，最后根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得，從而可得，進(jìn)而利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）證明：連接，

∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵D為弧的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：連接，

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的一條弦，，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上．

(1)若，求的度數(shù)；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)的長(zhǎng)為【分析】（1）根據(jù)垂徑定理的推論可得，再根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半求解即可；（2）利用勾股定理列式求出，根據(jù)垂徑定理的推論可得，即可求解．【詳解】（1）解：∵是的一條弦，，∴，又∵，∴．（2）解：∵，∴，在中，，∵是的一條弦，，∴，則．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理的推論，解題的關(guān)鍵是明確在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．【經(jīng)典例題三同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等問題】1．（2021春·福建南平·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，是的內(nèi)接三角形，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)B，連接，若，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明，可得，證明，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：∵為的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，熟記圓周角定理是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·北京西城·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，若，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等得到，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得到．【詳解】∵，∴，∵是的直徑，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理及推論．熟練掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，直角三角形兩銳角互余，是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，，則°．

【答案】35【分析】根據(jù)圓周角定理和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：是的直徑，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了考查了圓周角定理、三角形的外接圓與外心，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題關(guān)鍵．4．（2023·云南德宏·統(tǒng)考一模）已知：如圖，是的直徑，垂直弦于點(diǎn)，則在不添加輔助線的情況下，圖中與相等的角是（寫出一個(gè)即可）．

【答案】或或【分析】利用垂徑定理和圓周角定理即可求解．【詳解】∵，是直徑，∴，∴，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理和圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上定理的應(yīng)用．5．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，四邊形內(nèi)接于，．

求證：(1)；(2)是的直徑．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得，再由可計(jì)算出，則，然后根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系即可得到；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出，則根據(jù)圓周角的推理即可得到為的直徑．【詳解】（1）證明：連接，如圖，，而，，，，；

（2），，，為的直徑．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．6．（2022秋·甘肅定西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：的兩條弦，相交于點(diǎn)M，且．

(1)如圖1，連接.求證：．(2)如圖2.若．在上取一點(diǎn)E，使，交于點(diǎn)F，連接、．判斷與是否相等，并說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)與相等．理由見解析【分析】（1）根據(jù)得，即，，得，即可得；（2）連接，根據(jù)得，根據(jù)得，即，根據(jù)，即可得．【詳解】（1）證明：，即，，，．（2）與相等．理由如下：解：連接，如圖，

，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，垂經(jīng)定理，角、弧、弦的關(guān)系．【經(jīng)典例題四半圓所對(duì)的圓周角是直角問題】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)在上，連接交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平角的定義得到，根據(jù)圓周角定理得到，求得，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，，，，，是的直徑，，，，，，，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．（2022·河北衡水·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)A，B，C在上，，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，若，下列結(jié)論不正確的是（

）

A． B．直線垂直平分 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓周角定理可得，從而根據(jù)三角形內(nèi)角和求出，A選項(xiàng)即可判斷；根據(jù)平行的性質(zhì)及圓周角定理設(shè)，則，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出的值，從而求出，，，從而可判斷C、D選項(xiàng)；延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)頂角相等可得到，從而求出，再結(jié)合垂徑定理可判斷出與的關(guān)系，即可判斷出選項(xiàng)B．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

是的直徑，，，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；，設(shè)，則，，，故D選項(xiàng)不正確，符合題意；，；故C選項(xiàng)正確，不符合題意；根據(jù)對(duì)頂角相等可得：，，，是圓心，，直線垂直平分；故B選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及垂徑定理，涉及到垂直平分線的定義、三角形內(nèi)角和等，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用圓周角定理和垂徑定理．3．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑．

【答案】【分析】連接，，根據(jù)在同圓中直徑所對(duì)的圓周角是可得，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)圓心角，弦，弧之間的關(guān)系可得，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，，如圖：

∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓中直徑所對(duì)的圓周角是，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·江蘇泰州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知的直徑，為上一點(diǎn)（不與、重合），連接、．弦平分，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為．

【答案】67.5【分析】交于，如圖，根據(jù)圓周角定理得到，則，再證明，，則可判斷，所以，接著證明，則根據(jù)垂徑定理得到，然后根據(jù)圓周角定理得到，最后利用互余可計(jì)算出的度數(shù)．【詳解】解：交于，如圖，

的直徑，，弦平分，，，，，，在和中，，，，，，，，，．故答案為：67.5．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了垂徑定理．5．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)E是邊長(zhǎng)為2的正方形中邊上一點(diǎn)（不與A、B重合），以為直徑的分別交和于點(diǎn)F、M，于點(diǎn)H．

(1)求證：(2)猜想與的大小關(guān)系，并說明理由．(3)當(dāng)時(shí)，求的面積．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）連接，根據(jù)正方形性質(zhì)得出，根據(jù)直徑所對(duì)圓周角為直角得出，證明四邊形為矩形，即可求證；（2）根據(jù)題意可得，，在中，，則，根據(jù)勾股定理得出，，得出，則；（3）連接，證明，得出，則，根據(jù)三線合一得出，即可用勾股定理求出，根據(jù)，求出，在中，用勾股定理求出，最后根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：連接，∵四邊形為正方形，，∴，∵為直徑，∴，∴四邊形為矩形，∴；

（2）解：，理由如下，∵四邊形是正方形，，∴，，∵在中，，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，在中，根據(jù)勾股定理可得：，∴，即；（3）解：連接，∵為直徑，∴，在和中，，∴，∴，則，由（1）可得，∴，∵四邊形為矩形，∴，在中，根據(jù)勾股定理可得：，則，∵，∴，即，解得：，在中，，∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，并熟練運(yùn)用，正確作出輔助線，構(gòu)造矩形和全等三角形．6．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B，C為上兩定點(diǎn)，點(diǎn)A為上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)B作，交于點(diǎn)E，點(diǎn)D為射線上一動(dòng)點(diǎn)，且平分，連接．(1)求證：；(2)連接，若，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)四邊形是矩形，理由見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，可得，再根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，最后再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，即可證明結(jié)論；（2）由角平分線的定義，可得，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得，即，進(jìn)而得到，再根據(jù)矩形的判定定理，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：四邊形是矩形，理由如下：∵平分，∴，又∵，∴，∴為的直徑．∴，又∵，∴，∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的判定定理，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑問題】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是等邊三角形，，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，連接，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，繼而推出，可得點(diǎn)P在以為直徑的圓上，得知當(dāng)C，D，P三點(diǎn)共線時(shí)，最小，再利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，整理得：，則，∴點(diǎn)P在以為直徑的圓上，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為D，連接，即長(zhǎng)度不變，

∴，∴當(dāng)C，D，P三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，∵，∴，，∴的最小值為，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件推出，得到點(diǎn)P在以為直徑的圓上．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形中，，點(diǎn)為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，在上截取點(diǎn)使，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，過點(diǎn)作于，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在以為直徑的半圓上，即點(diǎn)在圓心為的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到連線上時(shí)，的值最小，根據(jù)題意可證，由此可證是直角三角形，可得點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，可求出半圓的半徑，在中，可求出的長(zhǎng)，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于，連接，如圖所示：

∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴四邊形是矩形，則，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即是直角三角形，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓心為，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到連線上時(shí)，的值最小，∵，∴，則半圓的半徑，在中，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到連線上時(shí)，的值最小，∴的最小值為，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形與圓的結(jié)合求最值，理解動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·重慶·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）如圖，四邊形是矩形，，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，在運(yùn)動(dòng)的過程中，始終垂直于，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則的最大值為．

【答案】【分析】先通過，則可判斷點(diǎn)在為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)在為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，最后利用勾股定理即可求解．【詳解】如圖，

∵，∴，∴點(diǎn)在為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，設(shè)的中點(diǎn)為，又∵，∴由題意可知點(diǎn)在為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，∵四邊形是矩形，∴，，，∵，為中點(diǎn)，∴，，在中，由勾股定理得：，∴的最大值為：．【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)變換和圓有關(guān)的概念，解題的關(guān)鍵是正確理解點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)路徑是圓．4．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在線段上，，則線段的最小值為．

【答案】/【分析】設(shè)的中點(diǎn)為O，以為直徑畫圓，連接，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，證明，可知點(diǎn)F在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到與的交點(diǎn)時(shí)，線段有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為O，以為直徑畫圓，連接，設(shè)與的交點(diǎn)為點(diǎn)，

∵，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)F在以為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到與的交點(diǎn)時(shí)，線段有最小值，∵，∴，，∴，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，圓周角定理的推論，勾股定理等知識(shí)，根據(jù)題意分析得到點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）正方形邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)，以為腰作等腰直角，其中，可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖1，連接，．①求證：；②判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)設(shè)直線，交于點(diǎn)P，連接，求的最大值．【答案】(1)①證明見解析，②，理由見解析(2)【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得出，，證出，可證明；②延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（2）連接，由勾股定理求出，取中點(diǎn)，連接，由直角三角形的性質(zhì)得出，則點(diǎn)在以為直徑的上，可得出．【詳解】（1）①證明：四邊形為正方形，，，為等腰直角三角形，，，，即，在和中，，；②解：，理由如下：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

，，在中，，在中，，又，，，；（2）解：連接，在中，，由（1）得，取中點(diǎn)，連接，

則有，點(diǎn)在以為直徑的上，，∵正方形，∴，∴點(diǎn)A在以為直徑的上，點(diǎn)在以為直徑的上，∴當(dāng)在同一直線上時(shí)，有最大值，的最大值為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，靈活應(yīng)用這些性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．6．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線，交于點(diǎn)，平分，．

(1)求證平分，并求的大?。?2)過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，求此圓半徑的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)已知得出，則，即可證明平分，進(jìn)而根據(jù)平分，得出，推出，得出是直徑，進(jìn)而可得；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合已知條件得出，，是等邊三角形，進(jìn)而得出，由是直徑，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)可得，在中，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：∵∴，∴，即平分．∵平分，∴，∴，∴，即，∴是直徑，∴；（2）解：∵，，∴，則．∵，∴．∵，∴，∴是等邊三角形，則．∵平分，∴．∵是直徑，∴，則．∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，則，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵是直徑，∴此圓半徑的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了弧與圓周角的關(guān)系，等弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，含度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六已知圓內(nèi)接四邊形求角度】【例6】（2023·湖北黃岡·?？级＃┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，連接，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，由圓周角定理得到，再利用等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，，∴，∴，∵，∴是等腰三角形，∴，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西榆林·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接OA，AD，BD，若，則的度數(shù)為（

）

A．110° B．140° C．120° D．130°【答案】A【分析】延長(zhǎng)OA交于點(diǎn)，由，OA過圓心得，從而得到，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到的度數(shù)．【詳解】解：延長(zhǎng)OA交于點(diǎn)，

∵，OA過圓心∴∵∴∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，E為正方形的邊上一點(diǎn)（不與重合），將沿直線翻折到，延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，點(diǎn)O是過B、E、G三點(diǎn)的圓劣弧上一點(diǎn)，則．【答案】135【分析】連接，由折疊的性質(zhì)得出，，，由正方形的性質(zhì)得出，，證明，證出，求出，則可得出答案．【詳解】解：連接，∵將沿直線翻折到，∴，∵四邊形為正方形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇南京·?？既＃┤鐖D，四邊形內(nèi)接于，它的3個(gè)外角的度數(shù)之比為1∶2∶4，則【答案】/度【分析】設(shè)的度數(shù)為，根據(jù)多邊形外角和為可得的外角為，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，得到，求得，即可得到答案．【詳解】解：∵3個(gè)外角的度數(shù)之比為1∶2∶4，∴可設(shè)的度數(shù)為，則的外角為，∵四邊形內(nèi)接于，∴∵，∴，∴，解得，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、多邊形的外角和定理、解一元一次方程等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，點(diǎn)D為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直徑的交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作，交于點(diǎn)F．連接，若是的切線．(1)求證：；(2)若，求直徑的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)、直徑所對(duì)圓周角等于直角即可證明結(jié)論；（2）如圖：連接，并延長(zhǎng)和相交于G，由全等三角形的性質(zhì)及勾股定理即可解答．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，又∵，∵是的直徑，∴，∴，∴．（2）解：如圖：連接，并延長(zhǎng)和相交于G，∵，∴，∵四邊形為圓內(nèi)接四邊形，∴，又∵，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在中，設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使得，連結(jié)．

(1)求證：．(2)若，，，求的長(zhǎng)【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到；（2）過點(diǎn)C作，根據(jù)已知條件得到，求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，四邊形內(nèi)接于，，，，在和中，，，；（2）解：過點(diǎn)C作，

由（1）得，由（1）得∴為等腰三角形∵∴∴∵，∴有勾股定理可得：解得：在中∴【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確地找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七求四邊形外接圓的直徑】【例7】．（2021·廣西賀州·統(tǒng)考二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)E，且，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于其內(nèi)對(duì)角可得∠D＝∠CBE＝60°，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，進(jìn)而得出∠ABD=90°，AD為直徑，可得出AD=2AB=4，再根據(jù)面積公式計(jì)算得出結(jié)論；【詳解】解：連接BD，∵ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A∵∴∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°∵∴△CBE為等邊三角形∴∠BCE＝∠A=60°，∵點(diǎn)C為的中點(diǎn)，∴∠CDB＝∠DBC=30°∴∠ABD=90°，∠ADB=30°∴AD為直徑∵AB=2∴AD=2AB=4∴的面積是=故答案選：D【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握相關(guān)性質(zhì)及公式是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川德陽·統(tǒng)考一模）如圖，半徑為，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，連接作，垂足為F，連接．則長(zhǎng)的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】取的中點(diǎn)K，連接，根據(jù)即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，取的中點(diǎn)K，連接，∵，∴，∵，∴，∵正方形的外接圓的半徑為，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴CF的最小值為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定的最小值是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？既＃┰诹庑沃?，，，的兩邊分別交邊、于點(diǎn)E、F，且，記的外心為點(diǎn)P，則P、C兩點(diǎn)間的最小距離為．【答案】1【分析】連接，則：，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，P、C兩點(diǎn)間的距離最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)，求出長(zhǎng)，證明四點(diǎn)共圓，得到為的直徑，即可得解．【詳解】解：連接，則：，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，P、C兩點(diǎn)間的距離最小，∵菱形中，，，∴，，∴為等邊三角形，∴，∵，∴，∴四點(diǎn)共圓，∵的外心為點(diǎn)P，三點(diǎn)共線，∴為的直徑，∴，∴P、C兩點(diǎn)間的最小距離為1；故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓．解題的關(guān)鍵是證明為的直徑．3．（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)校考期末）如圖，線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在x軸和直線l上滑動(dòng)（均不與原點(diǎn)O重合），，，作軸，，交點(diǎn)為P，設(shè)P的坐標(biāo)為，則．【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到四點(diǎn)共圓，且為直徑，然后設(shè)圓心為D，分別連接，，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，，然后根據(jù)勾股定理列方程求出，進(jìn)而可得出的值．【詳解】∵∴∴四點(diǎn)共圓，且為直徑，如圖所示，設(shè)圓心為D，分別連接，，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，則∵∵，∴在中，由勾股定理得，，即，解得∴，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，圓內(nèi)接四邊形，垂徑定理，30°角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確作出輔助線．4．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考一模）已知菱形中，，點(diǎn)分別在，上，，與交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)？(3)當(dāng)時(shí)，求的最大值？【答案】(1)證明見解析(2)6(3)4【分析】（1）如圖所示，連接，先證明是等邊三角形，得到，再證明得到，由此即可證明結(jié)論；（2）延長(zhǎng)到M使得，證明，得到，進(jìn)而證明是等邊三角形，則；（3）先證明四點(diǎn)共圓，則當(dāng)為直徑時(shí)，最大，設(shè)圓心為O，連接，過點(diǎn)O作于M，在中求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，∵，∴；（2）解：延長(zhǎng)到M使得，由（1）可得，∵，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，同理可得，∴，∴是等邊三角形，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴四點(diǎn)共圓，∴當(dāng)為直徑時(shí)，最大，設(shè)圓心為O，連接，過點(diǎn)O作于M，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，四點(diǎn)共圓，圓周角定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·江蘇連云港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：能完全覆蓋平面圖形的最小的圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．(1)如圖①，線段，則線段的最小覆蓋圓的半徑為_________；(2)如圖②，中，，，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖，作出的最小覆蓋圓（保留作圖痕跡，不寫作法）．此最小覆蓋圓的半徑為_________；(3)如圖③，矩形中，，，則矩形的最小覆蓋圓的半徑為_________；若用兩個(gè)等圓完全覆蓋該矩形，那么這兩個(gè)等圓的最小半徑為_________．【答案】(1)(2)作圖見解析，(3)，【分析】（1）根據(jù)最小覆蓋圓的定義可知，當(dāng)為圓的直徑時(shí)，此圓即為最小覆蓋圓；（2）根據(jù)最小覆蓋圓的定義可知，直角三角形的最小覆蓋圓即為該直角三角形的外接圓，據(jù)此求解即可；（3）根據(jù)最小覆蓋圓的定義可知，矩形的外接圓即為最小覆蓋圓，如圖③所示，連接交于O，則點(diǎn)O即為矩形的外接圓圓心，利用勾股定理求出的長(zhǎng)即可得到答案；如圖④所示，分別取的中點(diǎn)G，H，連接交于E，連接交于F，連接，則四邊形，四邊形都是矩形，同理可得圓E和圓F分別是四邊形，四邊形的最小覆蓋圓，同理求出即可．【詳解】（1）解：如圖所示，∵，∴（O為AB中點(diǎn)，），∴，當(dāng)為圓的直徑時(shí)，此圓即為最小覆蓋圓，∴線段的最小覆蓋圓的半徑為，故答案為：；（2）解：由題意可知的最小覆蓋圓即為的外接圓，作線段的垂直平分線交于D，點(diǎn)D即為最小覆蓋圓圓心，∵在中，，，，∴，∴，∴最小覆蓋圓的半徑為，故答案為：；（3）解：由題意得，矩形的外接圓即為最小覆蓋圓，如圖③所示，連接交于O，∵四邊形是矩形，∴，∴點(diǎn)O即為矩形的外接圓圓心，∵，∴，∴，∴矩形的最小覆蓋圓半徑為；如圖④所示，分別取的中點(diǎn)G，H，連接交于E，連接交于F，連接，則四邊形，四邊形都是矩形，同理可得圓E和圓F分別是四邊形，四邊形的最小覆蓋圓，在中，，∴，∴，∴這兩個(gè)等圓的最小半徑為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外接圓以及四邊形的外接圓的相關(guān)知識(shí)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解最小覆蓋圓的定義是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八圓周角綜合問題】【例8】（2023春·重慶開州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，以直角三角形的斜邊為邊在三角形的同側(cè)作正方形，正方形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，連接，如果，，則正方形的面積為（

）

A．20 B．22 C．24 D．26【答案】D【分析】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，證明是等腰直角三角形，求出，，證明點(diǎn)A、C、O、B四點(diǎn)共圓，得出，證明，得出點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出正方形的邊長(zhǎng)為，最后求出正方形的面積即可．【詳解】解：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，如圖所示：

∴，，，∴是等腰直角三角形，∴，，∵正方形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，∴，∵，∴點(diǎn)A、C、O、B四點(diǎn)共圓，∴，∴，∵，∴點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，∵，是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴正方形的邊長(zhǎng)為，∴正方形的面積為，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，四點(diǎn)共圓，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握正方形的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形中，，點(diǎn)為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，