蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍專題2.12二次函數(shù)與幾何壓軸問題大題專練(培優(yōu)強(qiáng)化30題)特訓(xùn)(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題2.12二次函數(shù)與幾何壓軸問題大題專練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）一、解答題1．（2022·江蘇·蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=?14x(1)求證：∠ACB=90°；(2)點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．①求DE+2②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與2．（2022·江蘇·蘇州市平江中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知拋物線與x軸交于A?1，0和B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線頂點(diǎn)M坐標(biāo)及四邊形ABMC的面積；(3)若點(diǎn)P是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，求當(dāng)△APC周長最短時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．（2022·江蘇宿遷·二模）如圖1，二次函數(shù)y=ax2?3ax+b（a、b為參數(shù)，其中a<0的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(1)若b=?10a，求tan∠CBA的值（結(jié)果用含a的式子表示）；(2)若△ABC是等腰三角形，直線AD與y軸交于點(diǎn)P，且AP:DP=2:3．求拋物線的解析式；(3)如圖2，已知b=?4a，E、F分別是CA和CB上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=35AB，若以EF為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，并交x軸于M、N4．（2022·江蘇鹽城·九年級(jí)期末）如圖，拋物線y=?x2+ax+b與直線y=?12x+1交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣4，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC垂直于AB，垂足為C，作PF垂直于x軸，垂足為F，交AB于(1)求拋物線的解析式；(2)①求cos∠CPE②若點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，用含t的代數(shù)式表示線段PC的長，并求線段PC取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，且滿足0°<∠PAB≤∠CPE，請(qǐng)直接寫出：①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)/的取值范圍______；②縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P為“玉點(diǎn)”，“玉點(diǎn)”的個(gè)數(shù)是______．5．（2021·江蘇淮安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AC的垂線與拋物線的對(duì)稱軸和y軸分別交于點(diǎn)F、G，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①求PE+2EG的最大值；②連接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．6．（2021·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為3,0頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,?4，以AB為直徑作圓，圓心為D，過P向右側(cè)作⊙D的切線，切點(diǎn)為C．(1)求拋物線的解析式；(2)請(qǐng)通過計(jì)算判斷拋物線是否經(jīng)過點(diǎn)C；(3)設(shè)M，N分別為x軸，y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形PNMC的周長最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)．7．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期末）已知拋物線y＝﹣x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C(0，3)，其對(duì)稱軸是直線x＝1，點(diǎn)P是拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，交BC于點(diǎn)D，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．(1)求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，PE⊥BC，垂足為E，當(dāng)DE＝BD時(shí)，求m的值；(3)如圖2，連接AP，交BC于點(diǎn)H，則PHAH的最大值是8．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成的矩形的周長與面積相等，則稱這個(gè)點(diǎn)為“美好點(diǎn)”，如圖，過點(diǎn)P分別作x軸，y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形OAPB的周長與面積相等，則P為“美好點(diǎn)”．（1）在點(diǎn)M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好點(diǎn)”的有；（2）若“美好點(diǎn)”P（a，﹣3）在直線y＝x+b（b為常數(shù)）上，求a和b的值；（3）若“美好點(diǎn)”P恰好在拋物線y=112x2第一象限的圖象上，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q使得△9．（2020·江蘇鹽城·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，拋物線y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜4），過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若C1C2（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E′A＋23E′B10．（2022·江蘇淮安·九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2?2x?3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，D為拋物線頂點(diǎn)(1)A點(diǎn)坐標(biāo)：；頂點(diǎn)D的坐標(biāo)：；(2)如圖1，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)T，使得線段TA繞點(diǎn)T順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上?若存在，求出點(diǎn)T(3)如圖2，連接AD，交y軸于點(diǎn)E，P是拋物線上第四象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BE交于點(diǎn)G，設(shè)w=S△BGPS△ABG，(4)點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接OQ、AQ，設(shè)△AOQ外接圓圓心為H，當(dāng)sin∠OQA的值最大時(shí)，變直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)11．（2022·江蘇連云港·二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M，連接MA，MC，AC，過點(diǎn)C作y(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)直線l上是否存在點(diǎn)N，使得S△MBN=2S(3)如圖2，若將原拋物線繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，求新拋物線與y軸交點(diǎn)P12．（2022·江蘇淮安·一模）如圖1，直線y=?2x?4與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B,二次函數(shù)y=ax2+3x+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A，交x軸于C、D兩點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?(1)a=，c=，頂點(diǎn)E坐標(biāo)是；(2)過點(diǎn)C作直線CK∥AB交y軸于點(diǎn)K，點(diǎn)P是直線CK上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是第三象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形APBQ面積的最大值與此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的結(jié)論下，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)6，直線EQ交x軸于點(diǎn)E，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得∠MFQ+∠CAO=45°，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．13．（2022·江蘇·蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校九年級(jí)期中）拋物線y=ax2+2x+c過點(diǎn)A?1,0，點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)P在第一象限拋物線上，連接CP并延長交x軸于點(diǎn)D，連接AC，AP．若S△ACP:S(3)如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E，點(diǎn)F，使得四邊形ADFE為菱形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．14．（2022·江蘇蘇州·一模）圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，M是拋物線的頂點(diǎn)且橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），P(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．若PD=m，ΔPCD的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m(3)是否存在點(diǎn)P滿足DC=PC，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．15．（2022·江蘇·徐州市樹人初級(jí)中學(xué)二模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2?4x+3與x軸相交于點(diǎn)A，B（A在B的左邊），與y軸相交于點(diǎn)C．M0,m是y軸上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線l垂直于y軸，與拋物線相交于兩點(diǎn)P、Q（P在Q的左邊），與直線(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，四邊形PMGH是正方形，連接CP．△PNC的面積為S1，正方形PMGH的面積為S2．若m<3，求16．（2022·江蘇連云港·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A0,?2，B4,0兩點(diǎn)，直線BC:y=?2x+8交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D為直線AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為G，DG分別交直線BC(1)求b和c的值；(2)當(dāng)GF=12時(shí)，連接BD，求△(3)H是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BEHF是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．17．（2022·江蘇常州·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知A(?3,0)，B(1,0)，C(0,3)．連接OM，作CD∥OM交(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)直線AM上是否存在點(diǎn)P，使得△POA的面積與四邊形POCM面積之比為1∶2？如果存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在請(qǐng)說明理由．18．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，直線BM:y=2x+m交y軸于點(diǎn)M.P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交直線BC、BM(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求△PBC的面積；(3)①若點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形BENF為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；②在①的條件下，第四象限內(nèi)有一點(diǎn)Q，滿足QN=QM，當(dāng)△QNB的周長最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．19．（2021·江蘇鹽城·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過A（﹣4，0），B（﹣3，3）兩點(diǎn)，連接AB，BO．（1）求拋物線表達(dá)式和直線OB解析式；（2）點(diǎn)C是第二象限內(nèi)直線OB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)C使△COB面積最大？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)C坐標(biāo)及最大面積，若不存在請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，同時(shí)線段OA上另一個(gè)點(diǎn)H從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AO向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長度（當(dāng)點(diǎn)H到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)D也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）．過點(diǎn)D作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E，延長DE到點(diǎn)F，使得EF＝DE，以DF為邊，在DF左側(cè)作等邊△DGF（當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)G、點(diǎn)F也隨之運(yùn)動(dòng)）．過點(diǎn)H作x軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)L，延長HL到點(diǎn)M，使得LM＝HL，以HM為邊，在HM的右側(cè)作等邊△HMN（當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M、點(diǎn)N也隨之運(yùn)動(dòng)）．當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△DGF有一條邊所在直線恰好過△HMN的重心，直接寫出此刻t的值．20．（2021·江蘇·海安市紫石中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）x、y是一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)變量，若當(dāng)a≤x≤b時(shí)，有a≤y≤b（a＜b），則稱此函數(shù)為a≤x≤b上的閉函數(shù)．如y＝﹣x+3，當(dāng)x＝1時(shí)y＝2；當(dāng)x＝2時(shí)y＝1，即當(dāng)1≤x≤2時(shí)，1≤y≤2，所以y＝﹣x+3是1≤x≤2上的閉函數(shù)．（1）請(qǐng)說明y=x2?2（2）已知二次函數(shù)y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的閉函數(shù)，求k和t的值；（3）在（2）的情況下，設(shè)A為拋物線頂點(diǎn)，B為直線x＝t上一點(diǎn)，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若△ABC為等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出它的腰長為________________．21．（2022·江蘇·無錫市金橋雙語實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線y＝mx2﹣4mx＋n（m＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，拋物線與y軸正半軸交于點(diǎn)C，連接CA、CB，已知tan∠CAO＝3，sin∠CBO＝22（1）求拋物線的對(duì)稱軸與拋物線的解析式；（2）設(shè)D為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)．①當(dāng)△BCD的外接圓的圓心在△BCD的邊上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；②若△BCD是銳角三角形，直接寫出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)n的取值范圍．22．（2022·江蘇宿遷·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過A?4,?0，B(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，△AMB的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=?x上的動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)P、Q、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．23．（2022·江蘇南京·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，拋物線y=?14x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(4，3)，對(duì)稱軸是直線x=2，頂點(diǎn)為B．拋物線與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，過點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與(1)求拋物線的函數(shù)解析式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)若直線BE將四邊形ACOD分成面積比為1:3的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接DE，作矩形DEFG，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)G落在y軸上的同時(shí)點(diǎn)F也恰好落在拋物線上?若存在，求出此時(shí)AE的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．24．（2021·江蘇·炎黃外國語學(xué)校一模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2?6ax+ca>0與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），頂點(diǎn)為C，直線AC交y軸于點(diǎn)D，連接BD，且（1）頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為__________；（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（3）連接CO，將△BCO繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后，點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，此時(shí)點(diǎn)O恰好也在y軸上，求拋物線的表達(dá)式．25．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax??2+k與x軸相交于O，A兩點(diǎn)，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為2,?1．點(diǎn)B為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,AB，過點(diǎn)B（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，∠ABC=∠OAP，且點(diǎn)C位于x軸上方，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t，∠ABC=90°，請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，并求出當(dāng)t<0時(shí)，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)的取值范圍．26．（2021·江蘇常州·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=?x2+bx+3的圖像與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（1）填空：b=_______；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)是D，連接BC，BD，將∠ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線BC經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，射線BA與拋物線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)E是x軸上位于點(diǎn)B右側(cè)的一點(diǎn)，F(xiàn)是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，EF⊥x軸且EF=3，點(diǎn)H是線段AE上一點(diǎn)，以EH、EF為鄰邊作矩形EFGH，F(xiàn)T⊥AC，垂足為T，連接TG，TH．若△TGF與△TGH相似，求OE的長．27．（2021·江蘇·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx?4a經(jīng)過A(?1,0),C(0,4)兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B（1）頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為__________；（2）將該拋物線向下平移154個(gè)單位長度，再向左平移m(m>0)個(gè)單位長度，得到新拋物線．若新拋物線的頂點(diǎn)D′在△ABC內(nèi)，求（3）若點(diǎn)P、點(diǎn)Q(n,n+1)為該拋物線上兩點(diǎn)，連接BQ，且tan∠QBP=2，求點(diǎn)P28．（2021·江蘇省天一中學(xué)三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2?2ax+a2?4與x軸正半軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（1）求此拋物線的解析式；（2）求∠BCD的正弦值；（3）將此拋物線沿y軸上下平移，所得新拋物線的頂點(diǎn)為P，且△PBD與△BCD相似，求平移后的新拋物線的解析式．29．（2021·江蘇揚(yáng)州·三模）如圖所示，已知拋物線y=x2?1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積；（3）在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG⊥x軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△PCA相似？若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說明理由．30．（2021·江蘇鹽城·一模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx?3與x軸交于A?2,0、B6,0兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．過點(diǎn)D作DE⊥x軸，垂足為E．P為線段DE上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)（1）求拋物線的解析式：（2）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，求m的值；②在①的條件下，將△COF繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°并平移，得到△C1O1F1，點(diǎn)C，O，F(xiàn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C1，O（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求m的變化范圍．2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題2.12二次函數(shù)與幾何壓軸問題大題專練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）一、解答題1．（2022·江蘇·蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=?14x(1)求證：∠ACB=90°；(2)點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．①求DE+2②點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，若以點(diǎn)C，D，E為頂點(diǎn)的三角形與【答案】(1)見解析(2)①9；②D(4,6)或D(3,25【分析】（1）分別計(jì)算A，B，（2）①先解出直線BC的解析式，設(shè)D(x,?14x2+32②根據(jù)直角三角形斜邊的中線性質(zhì)，解得AG的長，再證明∠CAO=∠DEC，再分兩種情況討論以點(diǎn)C，D，【詳解】（1）解：令x=0，得y=4，∴C(0,4)，令y=0得?1∴x(x?8)(x+2)=0，∴A(?2,0)，B(8,0)，AB=10,AC=(0+2)∵10∴AB∴∠ACB=90°，（2）①設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b(k≠0)，代入B(8,0)，C(0,4)得8k+b=0b=4∴k=?∴y=?1設(shè)D(x,?1∴BF=8?x，∵OC∥∴BEBF∴25∴DE+2=?=?=?1∵?1∴?1∴?1∴DE+即DE+BF的最大值為9；②∵點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，在Rt△AOC中，OG=即△AOG為等腰三角形，∵∠CAO+∠ACO=∠ACO+∠OCB=90°，∴∠CAO=∠OCB，∵OC∥∴∠OCB=∠DEC，∴∠CAO=∠DEC，若以點(diǎn)C，D，則①AGAO?1又∵OC∥∵CE∴CE=BC?OF∴?1∴x∴x1=0∴D(0,4)或D(3,25經(jīng)檢驗(yàn)：D0,4②AGAO又∵OC∥∵CE∴CE=BC?OF5x整理得，x2∴x1=0∴D(0,4)或D(4,6)，同理：D0,4綜上所述，D(4,6)或D(3,25【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理及其逆定理、二次函數(shù)的最值、解一元二次方程等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·蘇州市平江中學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知拋物線與x軸交于A?1，0和B（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線的解析式；(2)求拋物線頂點(diǎn)M坐標(biāo)及四邊形ABMC的面積；(3)若點(diǎn)P是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，求當(dāng)△APC周長最短時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y(2)9(3)（1，2）【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)S四邊形（3）連接BC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，連接AP，當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC有最小值，此時(shí)△APC周長最短，直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P．（1）解：設(shè)拋物線解析式為y=把點(diǎn)C（0，3）代入得：a0+10?3=3∴拋物線解析式為y=?（2）解：y=?∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4），如圖，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，0），∵B（3，0），∴BN=2，MN=4，ON=1，∵點(diǎn)A?1，0，C∴OC=3，OA=1，∴SΔACO=12∴S四邊形（3）解：連接BC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)P，連接AP，∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴AP=BP，∴PA+PC=PB+PC≥BC，即當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC有最小值，最小值為BC的長，此時(shí)△APC周長最短設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n，∴3k+n∴直線BC的解析式為y=?當(dāng)x=1時(shí)，y=2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對(duì)稱求最短距離是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇宿遷·二模）如圖1，二次函數(shù)y=ax2?3ax+b（a、b為參數(shù)，其中a<0的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(1)若b=?10a，求tan∠CBA的值（結(jié)果用含a的式子表示）；(2)若△ABC是等腰三角形，直線AD與y軸交于點(diǎn)P，且AP:DP=2:3．求拋物線的解析式；(3)如圖2，已知b=?4a，E、F分別是CA和CB上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=35AB，若以EF為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，并交x軸于M、N【答案】(1)tan∠CBA=?2a(2)拋物線的解析式為y=?34x(3)MN的最大值為2【分析】（1）將b=-10a代入y=ax2-3ax+b，求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，用a表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用正切函數(shù)的定義即可得出tan∠CBA的值；（2）由二次函數(shù)y=ax2-3ax+b的頂點(diǎn)為D，可得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，過D作DH⊥x軸，交軸于點(diǎn)H，判定△AOP∽△AHD，從而得比例式，根據(jù)AP∶DP=2∶3，可得出點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入解析式可得y=ax2-3ax-4a，從而可用a表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再分三種情況計(jì)算：①若AB=BC，②若AB=AC，③顯然不存在BC=AC．前兩種情況分別根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可解得a的值，則可求得拋物線的解析式；（3）由點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)求得直線AC和直線BC的k值；由圓周角定理可得∠ECF=90°，則可得kAC×kBC=?1，從而解得a的值，求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，取EF的中點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，則Q在以C為圓心，32為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，在Rt△QHN中，QN=32，求HN(1)解：∵b=?10a，∴y=a=a=a令y=0，得ax+2∵a<0，∴x=?2，x2∴A（－2，0），B（5，0），C（0，－10a），∴tan∠CBA=(2)解：∵二次函數(shù)y=ax2?3ax+b∴xD過D作DH⊥x軸，交x軸于點(diǎn)H，如圖：∵OP//DH，∴ΔAOP～∵AP:DP=2:3，OH=3∴OA:OH=AP:DP=2:3，∴OA=1，∴A?1∴B（4，0），∴y=ax?4∴C（0，－4a），①若AB=BC，則AB∴16+16a解得a=?34或∴y=?3②若AB=AC，則AB∴1+16a解得a=?62或∴y=?6③顯然不存在BC=AC．∴拋物線的解析式為y=?34x(3)解：∵A（－1，0），B（4，0），C（0，－4a）∴kAC=?4a，∵以EF為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，∴∠ECF=90∴kAC×k解得a=?12或∴C（0，2），∵AB=5，∴EF=3取EF的中點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QH⊥x軸于點(diǎn)H，則Q在以C為圓心，32由垂徑定理得：MN=2HN，在Rt△QHN中，QN=32，求HN的最大值等價(jià)于求QH的最小值，求得HN的最大值即可求出∵QH的最小值為：2?3∴HN的最大值為：32∴MN的最大值為22【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、一元二次方程的應(yīng)用、圓的基本性質(zhì)及相關(guān)計(jì)算、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及兩點(diǎn)距離公式等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合、分類討論、熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇鹽城·九年級(jí)期末）如圖，拋物線y=?x2+ax+b與直線y=?12x+1交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣4，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC垂直于AB，垂足為C，作PF垂直于x軸，垂足為F，交AB于(1)求拋物線的解析式；(2)①求cos∠CPE②若點(diǎn)P在直線上方的拋物線上，用含t的代數(shù)式表示線段PC的長，并求線段PC取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)P是拋物線上任意一點(diǎn)，且滿足0°<∠PAB≤∠CPE，請(qǐng)直接寫出：①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)/的取值范圍______；②縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P為“玉點(diǎn)”，“玉點(diǎn)”的個(gè)數(shù)是______．【答案】(1)y=?(2)①255，②PC=?2(3)①?92≤t≤?【分析】（1）把A（0，1），B（?4，3）代入y＝?x2＋ax＋b，即可求解析式；（2）①設(shè)AB與x軸交于G，由∠CPE＝∠OGA，即可求cos∠CPE=②由Pt，?t2?92t+1，則E（3）①當(dāng)∠PAB≤∠CPE時(shí)，由PCPA=15，可求t=?92或t=?19②當(dāng)t=?92時(shí)，當(dāng)t=?196時(shí)，分別求得P的坐標(biāo)為?92，1，（1）∵點(diǎn)A、B在直線y=?12x+1上，點(diǎn)A在y∴A（0，1），B（?4，3），把A（0，1），B（?4，3）代入y＝?x2＋ax＋b，得b=1?16?4a+b=3解得a=?∴拋物線的解析式為y=?（2）①設(shè)AB與x軸交于G，∴G（2，0），∴AG＝12由PC⊥AB，∠PFO＝90°，∴∠CPE＝∠OGA，∴cos∠CPE＝cos∠OGA＝OGAG②設(shè)Pt，?∴PE=?∵cos∠CPE＝PCPE∴PC?∴PC=2∵?4＜t＜0，∴PC的最大值為85此時(shí)P（?2，6）；（3）①∵AO＝1，OG＝2，∴tan∠AGO＝12∵∠CPE＝∠AGO，∴tan∠PAB＝12當(dāng)∠PAB≤∠CPE時(shí)，tan∠PAB＝12∴PCPA∴?2∴t=?92或∵∠PAB＞0°，∴t≠?4，∴?92≤t≤?故答案為：?92≤t≤?②當(dāng)t=?92時(shí)，當(dāng)t=?196時(shí)，P∵在1與479當(dāng)t＝?4時(shí)，P（?4，3），∴“玉點(diǎn)”的個(gè)數(shù)是4個(gè)，故答案為：4個(gè)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用直角三角形的三角函數(shù)值求解是解題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇淮安·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作AC的垂線與拋物線的對(duì)稱軸和y軸分別交于點(diǎn)F、G，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．①求PE+2EG的最大值；②連接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．【答案】(1)y＝x2+2x﹣3；(2)①254；②-1或【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程組求出b、c即可；（2）①利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，過點(diǎn)E作EK⊥y軸于點(diǎn)K，設(shè)P（m，m2+2m﹣3），則E（m，﹣m﹣3），從而得出PE+2EG=?②作EK⊥y軸于K，F(xiàn)M⊥y軸于M，直線EG與x軸交于點(diǎn)N．先證明△DGF∽△EGD，可得出DG2＝FG?EG＝2×2（﹣m）＝﹣2m，再運(yùn)用勾股定理建立方程求解即可．(1)∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B（1，0），C（0，﹣3），∴1+b+c=0c=?3解得：b=2c=?3∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2+2x﹣3；(2)①當(dāng)y＝0時(shí)，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+n，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得：?3k+n=0n=?3，解得：k=?1∴直線AC的解析式為：y＝﹣x﹣3，∵OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，過點(diǎn)E作EK⊥y軸于點(diǎn)K，∵EG⊥AC，∴∠KEG＝∠KGE＝45°，∴EG＝EKsin45°＝2EK＝設(shè)P（m，m2+2m﹣3），則E（m，﹣m﹣3），∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，∴PE+2EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+52）2+25由題意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣52當(dāng)m＝﹣52時(shí)，PE+2EG取最大值，PE+2EG的最大值為25②作EK⊥y軸于K，F(xiàn)M⊥y軸于M，記直線EG與x軸交于點(diǎn)N，∵EK⊥y軸，PD⊥x軸，∠KEG＝45°，∴∠DEG＝∠DNE＝45°，∴DE＝DN．∵∠KGE＝∠ONG＝45°，∴OG＝ON，∵y＝x2+2x﹣3的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴MF＝1，∵∠KGF＝45°，∴GF＝MFsin45°＝2MF∵∠FDG＝45°，∴∠FDN＝∠DEG．又∵∠DGF＝∠EGD，∴△DGF∽△EGD，∴DGFG＝EG∴DG2＝FG?EG＝2×2（﹣m）＝﹣2m，在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|，OD＝﹣m，在Rt△ODG中，∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9，∴5m2+12m+9＝﹣2m，解得m1＝﹣1，m2＝?9【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)解析式、線段和最短問題、相似三角形，能夠靈活使用方程思想解決問題是解題的關(guān)鍵，常用勾股定理、相似比列方程．6．（2021·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為3,0頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,?4，以AB為直徑作圓，圓心為D，過P向右側(cè)作⊙D的切線，切點(diǎn)為C．(1)求拋物線的解析式；(2)請(qǐng)通過計(jì)算判斷拋物線是否經(jīng)過點(diǎn)C；(3)設(shè)M，N分別為x軸，y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形PNMC的周長最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)y=x(2)見解析；(3)M點(diǎn)坐標(biāo)為：3+435,0，【分析】（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，將頂點(diǎn)為A1,?4，點(diǎn)B（2）首先求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再利用CD等于圓O半徑為12AB=2，由cos∠PDC=CDPD（3）作C關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)C′，P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′C′，與x軸，y軸交于M、N(1)解:設(shè)拋物線的解析式為y=ax??2+k把?=1，k=?4把x=3，y=0代入y=ax?12?4∴拋物線的解析式為：y=x?12?4(2)解:如圖,作拋物線的對(duì)稱軸，把y=0代入y=x2?2x?3解得x∴A點(diǎn)坐標(biāo)為?1,0，∴AB=3?∴OD=2?1=1，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，而拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，∴點(diǎn)D在直線x=1上，過點(diǎn)C作CE⊥PD，CF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DC，∵PC是⊙D的切線，∴PC⊥DC，在Rt△PCD中∵cos∠PDC=∴∠PDC=60°，解直角三角形CDE，可得DE=1，CE=3∴C點(diǎn)坐標(biāo)為3+1,?1把x=3+1代入y=x∴點(diǎn)C在拋物線上；(3)解：如圖2，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′C′，分別交x軸，y此時(shí)四邊形PNMC的周長最小，∵C點(diǎn)坐標(biāo)為3+1,?1∴C′點(diǎn)坐標(biāo)為3∵P的坐標(biāo)為1,?4，∴P′的坐標(biāo)為?1,?4代入y=kx+b中，3+1解得：k=?53則直線P′C′當(dāng)x=0，y=?53故N點(diǎn)坐標(biāo)為：0,?53當(dāng)y=0，則0=?5解得：x=3+4故M點(diǎn)坐標(biāo)為：3+43【點(diǎn)睛】本題考查了用頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式以及利用對(duì)稱性求四邊形的最小值,利用軸對(duì)稱找到M,N的位置是解題的關(guān)鍵.7．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·九年級(jí)期末）已知拋物線y＝﹣x2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C(0，3)，其對(duì)稱軸是直線x＝1，點(diǎn)P是拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，交BC于點(diǎn)D，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．(1)求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖1，PE⊥BC，垂足為E，當(dāng)DE＝BD時(shí)，求m的值；(3)如圖2，連接AP，交BC于點(diǎn)H，則PHAH的最大值是【答案】(1)y=?(2)m=2(3)9【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱軸是直線x=1，利用二次函數(shù)對(duì)稱軸方程x=?b2a可求出b，再根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)C（0，3）可求出（2）先求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得OB=OC，繼而得出△OBC是等腰直角三角形，由PQ⊥OB，PE⊥BC，可得△DQB和△PED是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得BQ=DQ，BD=2BQ，DE=22PD，由P的橫坐標(biāo)是m，用含m表示出DE、BD的長，再根據(jù)DE=（3）過點(diǎn)A作垂直x軸直線交BC與點(diǎn)G，先直線BC解析式，再求AG，由PQ⊥OB，AG⊥OB，可得PQ∥AG，繼而可得△PDH∽△AHG，由相似三角形的性質(zhì)可得PHAH(1)將C（0，3）代入y=-x2+bx+c可得c=3，∵對(duì)稱軸是直線x=1，∴x=?b2a=1，即-b?2∴二次函數(shù)解析式為y=-x2+2x+3；(2)令?x2+2x+3=0∴A(-1，0)，B（3，0），∴OB=3，∵OC=3，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，BC=32∵PQ⊥OB，PE⊥BC，∴∠PQB=∠PED=90°，∴∠QDB=∠PDE=∠OBC=45°，∴△DQB和△PED是等腰直角三角形，∴BQ=DQ，BD=2BQ，DE=2∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)是m，且在拋物線上，∴PQ=?m2+2m+3，OQ∴BQ=DQ=3-m，BD=2BQ=∴PD=PQ-DQ=?m2+3m，DE∵DE＝BD，∴22解得：m1∴m=2(3)過點(diǎn)A作x軸的垂線交BC于點(diǎn)G，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）代入，可得：3k+b＝解得k＝∴直線BC的解析式為：y=-x+3，∵A（-1，0），∴G（-1，4），∴AG=4，∴PQ⊥OB，AG⊥OB，∴PQ∥AG，∴△PDH∽△AHG，∴PHAH∴當(dāng)a=32時(shí)，PHAH有最大值，最大值是故答案為：9【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)最值問題，相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，第（3）問將比例轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．8．（2021·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成的矩形的周長與面積相等，則稱這個(gè)點(diǎn)為“美好點(diǎn)”，如圖，過點(diǎn)P分別作x軸，y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形OAPB的周長與面積相等，則P為“美好點(diǎn)”．（1）在點(diǎn)M（2，2），N（4，4），Q（﹣6，3）中，是“美好點(diǎn)”的有；（2）若“美好點(diǎn)”P（a，﹣3）在直線y＝x+b（b為常數(shù)）上，求a和b的值；（3）若“美好點(diǎn)”P恰好在拋物線y=112x2第一象限的圖象上，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q使得△【答案】（1）N、Q；（2）a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；（3）存在，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，0）或（152【分析】（1）根據(jù)“美好點(diǎn)”的定義逐個(gè)驗(yàn)證即可；（2）對(duì)于P點(diǎn)，對(duì)應(yīng)圖形的周長為：2×（|a|+3）=2|a|+6，面積為3|a|，因?yàn)辄c(diǎn)P是“美好點(diǎn)”，故2|a|+6=3|a|，即可求解；（3）根據(jù)點(diǎn)P是“美好點(diǎn)”確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，0），再分以下三種情況：當(dāng)∠POQ=90°時(shí)，此種情況不存在；當(dāng)∠PQO=90°時(shí)，則PO2=PQ2+OQ2；當(dāng)∠OPQ=90°時(shí)，則OQ2=PQ2+OP2，分別列出關(guān)于x的方程，解得x即可．【詳解】解：（1）對(duì)于M點(diǎn)，對(duì)應(yīng)圖形的周長為：2×（2+2）＝8，面積為2×2＝4≠8，故點(diǎn)M不是“美好點(diǎn)”；對(duì)于點(diǎn)N，對(duì)應(yīng)圖形的周長為：2×（4+4）＝16，面積為4×4＝16，故點(diǎn)N是“美好點(diǎn)”；對(duì)于點(diǎn)Q，對(duì)應(yīng)圖形的周長為：2×（6+3）＝18，面積為6×3＝18，故點(diǎn)Q是“美好點(diǎn)”；故答案為：N、Q；（2）對(duì)于P點(diǎn)，對(duì)應(yīng)圖形的周長為2×（|a|+3）＝2|a|+6，面積為3|a|，∵點(diǎn)P是“美好點(diǎn)”，∴2|a|+6＝3|a|，解得：a＝±6，將P（a，﹣3）代入y＝x+b得：﹣3＝a+b，則b＝﹣3﹣a，∴當(dāng)a=6時(shí)，b=-9；當(dāng)a=-6時(shí)，b=3，故a＝6，b＝﹣9或a＝﹣6，b＝3；（3）存在，理由如下：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則n＝112m2（m＞0，n由題意得：2m+2n＝mn，∴2m+16m2＝112m解得：m＝6或﹣4（舍去）或0（舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，3）；設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，0），則PQ2＝（x﹣6）2+32＝（x﹣6）2+9，PO2＝36+9＝45，OQ2＝x2，當(dāng)∠POQ=90°時(shí)，∵點(diǎn)Q在x軸上，則∠POQ≠90°，此種情況不存在；當(dāng)∠PQO=90°時(shí)，則PO2=PQ2+OQ2，∴45=（x﹣6）2+9+x2，解得x＝6或x=0（舍去）；當(dāng)∠OPQ=90°時(shí)，則OQ2=PQ2+OP2，∴x2=（x﹣6）2+9+45，解得x＝152綜上所述，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（6，0）或（152【點(diǎn)睛】本題考查了新定義問題，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，勾股定理，一次函數(shù)的圖象上的點(diǎn)以及解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，理解新定義是解題的關(guān)鍵，第（3）小問注意分類討論思想的運(yùn)用，避免漏解．9．（2020·江蘇鹽城·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，拋物線y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)E（m，0）（0＜m＜4），過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．（1）求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)△PMN的周長為C1，△AEN的周長為C2，若C1C2（3）如圖2，在（2）條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE′，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接E′A、E′B，求E′A＋23E′B【答案】（1）a＝﹣34；y＝﹣34x【分析】（1）將點(diǎn)A(4,0)代入拋物線解析式，可求得a，設(shè)設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，求解即可；（2）通過相似三角形可得PNAN=6（3）在y軸上取一點(diǎn)M′使得OM′=43，連接AM′，在AM′上取一點(diǎn)E′使得OE′=OE，通過相似三角形的判定，可得【詳解】解：（1）將點(diǎn)A(4,0)代入拋物線y=ax16a+4(a+3)+3=0，解得a=?34∴B(0,3)∵A（4，0），B（0，3），設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，則b=34k+b=0，解得k=?∴直線AB解析式為y=?3（2）由題意可得：OA=4，OB=3，OE=m，則AB=5，AE=4?m如圖1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴PNAN∵NE∥OB，∴△ANE∽△ABO∴ANAB=AE∵拋物線解析式為y=?3∴PN=?3∴?34m（3）如圖2中，在y軸上取一點(diǎn)M′使得OM′＝43，連接AM′，在AM′上取一點(diǎn)E′使得OE′＝OE∵OE′＝2，OM′?OB=4∴OE′∴OE′OM′∵∠BOE′=∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴M′E′BE′∴M′E′=2∴AE′+23BE′=AE′+E′M′≥AM′，當(dāng)A、M′、E′共線時(shí)，AE′+由勾股定理可得A即最小值為4【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，作輔助線，構(gòu)造出相似三角形．10．（2022·江蘇淮安·九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x2?2x?3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，D為拋物線頂點(diǎn)(1)A點(diǎn)坐標(biāo)：；頂點(diǎn)D的坐標(biāo)：；(2)如圖1，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)T，使得線段TA繞點(diǎn)T順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′恰好也落在此拋物線上?若存在，求出點(diǎn)T(3)如圖2，連接AD，交y軸于點(diǎn)E，P是拋物線上第四象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BE交于點(diǎn)G，設(shè)w=S△BGPS△ABG，(4)點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接OQ、AQ，設(shè)△AOQ外接圓圓心為H，當(dāng)sin∠OQA的值最大時(shí)，變直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)【答案】(1)（-1，0），（1，-4）(2)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(1，3)或(1，-2)；(3)w有最小值，最小值為2425(4)（-12，2）或（-12，-【分析】（1）令y=0，解方程可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用配方法配成頂點(diǎn)式，即可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）作出解圖的輔助線，利用AAS證明△A′TU≌（3）根據(jù)已知條件設(shè)P（m，m2-2m-3），其中0＜m＜3，求得直線AP的解析式，直線BE的解析式，聯(lián)立即可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求得w=8?3m2+8m+3，令z=-3m2（4）作△AOQ的外心H，作HG⊥x軸，則AG=12AO=12，進(jìn)而可得H在AO的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題意當(dāng)sin∠OQA最大轉(zhuǎn)化為求當(dāng)AH取得最小值時(shí)，sin∠OQA最大，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，即可求得AH=32，運(yùn)用勾股定理求得HG（1）解：∵拋物線y=x2-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，D∴令x=0，得：y=-3，則C（0，-3），令y=0，得：x2-2x解得：x1=-1，x則A（-1，0），B（3，0），∵y=x2-2x-3=（x-1）2∴D（1，-4）；故答案為：（-1，0），（1，-4）；（2）解：由（1）知對(duì)稱軸為直線x=1，設(shè)對(duì)稱軸直線與x軸交于點(diǎn)V，過點(diǎn)A′作A′U⊥TV∵∠A′TA∴∠A′TU+∠ATV=90°，∠ATV∴∠A′TU=∴△A′TU≌∴A′U=TV，TU=設(shè)TV=a，則A′U=a，點(diǎn)T的坐標(biāo)為(1，∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(1-a，a由題意得a+2=(1?a)2-2(1?a整理得a2-a解得a=3或-2，∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為(1，3)或(1，-2)；（3）解：∵點(diǎn)P在第四象限的拋物線上，AP、BE交于點(diǎn)G，如圖，設(shè)P（m，m2-2m-3），其中0＜m設(shè)直線AP的解析式為y=cx+d，∵A（-1，0），P（m，m2-2m∴?c+d=0mc+d=解得：c=m?3d=m?3∴直線AP的解析式為y=（m-3）x+m-3，設(shè)直線BE的解析式為y=ex+f，∵B（3，0），E（0，-2），∴3e+f=0f=?2解得：e=2∴直線BE的解析式為y=23x聯(lián)立方程組，得：y=(m?3)x+m?3y=解得：x=3?3m∴yG∵0＜m＜3，∴24-8m＞0，3m-11＜0，∴24?8m3m?11∴w===8令z=?3m∵-3＜0，∴當(dāng)m=43時(shí)，z取得最大值253，w取得最小值為825∴w有最小值，最小值為2425（4）解：如圖，作△AOQ的外心H，作HG⊥x軸，則AG=GO=12∵AH=HO，∴H在AO的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，依題意，當(dāng)sin∠OQA最大時(shí)，即∠OQA最大時(shí)，∵H是△AOQ的外心，∴∠AHO=2∠AHG=2∠OQA，即當(dāng)sin∠AHG最大時(shí)，sin∠OQA最大，∵AG=12AO=1∴sin∠OQA=sin∠AHG=AGAH則當(dāng)AH取得最小值時(shí)，sin∠OQA最大，∵AH=HQ，即當(dāng)HQ⊥直線x=1時(shí)，AH取得最小值，此時(shí)HQ=1-（-12）=3∴AH=32在Rt△AHG中，HG=AH∴H（-12，2根據(jù)對(duì)稱性，則存在H（-12，-2綜上所述，H（-12，2）或H（-12，-故答案為：（-12，2）或（-12，-【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，三角形的外心，垂徑定理，三角函數(shù)定義，拋物線與三角形面積計(jì)算，二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題，拋物線與圓綜合等，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇連云港·二模）如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為M，連接MA，MC，AC，過點(diǎn)C作y(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)直線l上是否存在點(diǎn)N，使得S△MBN=2S(3)如圖2，若將原拋物線繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，求新拋物線與y軸交點(diǎn)P【答案】(1)y=(2)N(2,3)或N(10,3)(3)P(0,3+5【分析】（1）直接代入A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求解．（2）如圖１所示，先求出SΔMAC的面積為１，然后設(shè)出直線MN與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)E，表示出SΔMBN=（3）將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°交原拋物線于點(diǎn)P′，即可得出直線CP′的表達(dá)式，從而求出P′的坐標(biāo)，進(jìn)而算出(1)將A(1,0)，B(3,0)代入拋物線y=axa+b+3=09a+3b+3=0，解得：a=1，b=?4故拋物線解析式為：y=x(2)假設(shè)存在這樣的點(diǎn)N，設(shè)直線MC與x軸交于點(diǎn)D，直線MN與x軸交于點(diǎn)E(x∵y=x∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,?1)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3)，∴l(xiāng)MC令y=0，?2x+3=0，得x=3∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3∴SΔSΔ∵SΔ∴2xE?3=2×1，解得：∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,0)或(2,0)．①當(dāng)M為(2,?1)，E為(2,0)時(shí)，直線MN的表達(dá)式為：x=2，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,3)．②當(dāng)M為(2,?1)，E為(4,0)時(shí)，直線MN的表達(dá)式為：y=1聯(lián)立y=12x?2∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,3)或(10,3)．(3)如圖所示，將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°交原拋物線于點(diǎn)P′則lC聯(lián)立y=x+3y=x2∴CP∴CP=52，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,5【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與幾何綜合題，涉及面積求法，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是合理表示出面積，根據(jù)等量關(guān)系式求解；同時(shí)利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出線段的長度，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)．12．（2022·江蘇淮安·一模）如圖1，直線y=?2x?4與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B,二次函數(shù)y=ax2+3x+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A，交x軸于C、D兩點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸為直線x=?(1)a=，c=，頂點(diǎn)E坐標(biāo)是；(2)過點(diǎn)C作直線CK∥AB交y軸于點(diǎn)K，點(diǎn)P是直線CK上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是第三象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形APBQ面積的最大值與此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的結(jié)論下，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)6，直線EQ交x軸于點(diǎn)E，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得∠MFQ+∠CAO=45°，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)1，-4，?3(2)494，Q(3)?32【分析】（1）先由直線y=-2x+4求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由點(diǎn)A在拋物線上和拋物線的對(duì)稱軸為直線x=3（2）根據(jù)直線y=-2x+4求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，根據(jù)（1）中求得的拋物線的解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，△ABO的面積等于△ABC的面積且為定值，設(shè)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為x，過點(diǎn)Q分別作x軸、y軸的垂線，用含x的代數(shù)表示△ABO的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)△ABO的面積最大時(shí)的x值，進(jìn)而求出四邊形APBQ面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）通過計(jì)算，得出GE=GF，可得∠GFQ=45°．當(dāng)點(diǎn)M在直線EF下方，則只要作出∠GFM=∠CAO，則∠MFQ=∠CAO．可通過求EQ的解析式的方法求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，再求MG的長，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)M在直線EF的上方，作點(diǎn)M關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)J，求直線J的解析式，再求出另一點(diǎn)M的坐標(biāo)．（1）解：∵直線y=-2x+4與y軸交于點(diǎn)A，∴A（0，4），∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A且對(duì)稱軸為直線x=3∴c=4，?3∴a=-1，∴二次函數(shù)的解析式為y=?x（2）如圖，作QH⊥AB于點(diǎn)H，QN∥y軸交直線AB于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)Q（x，-x2+3x+4），則F（x，-2x+4），當(dāng)y=0時(shí)，-x2+3x+4=0，解得，x1=-1，x2=4，∴C（-1，0），D（4，0），由-2x+4=0，得x=2，∴B（2，0），∴AB=2∵∠EFQ=∠OAB，∴HQQN∴HQ=5∵CE∥AB，∴SΔ∴S==?=(x?∴當(dāng)x=52時(shí)，四邊形APBQ面積的最大，最大值為494（3）解：存在，理由如下：∵y=?x∴點(diǎn)E3∴GE=25設(shè)直線EF的解析式為y=kx+bk≠0把點(diǎn)Q(52,32k+b=25∴直線EF的解析式為y=?x+31當(dāng)y=0時(shí)，x=31∴點(diǎn)F(31∴GF=31∴△EGF是等腰直角三角形，若點(diǎn)M在直線EF的下方，當(dāng)MGFG=COAO=∴∠MFQ+∠CAO=45°，∴此時(shí)MG=1∴點(diǎn)M(3若點(diǎn)M在直線EF的上方，作點(diǎn)M關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)J，連接EJ，則△MEJ是等腰直角三角形，∵EJ∥x軸，EJ=EM=25∴點(diǎn)J(99設(shè)直線FJ的解析式為y=mx+nm≠0把點(diǎn)J(9916,9916解得：m=?4n=31∴直線FJ的解析式為y=?4x+31，當(dāng)x=32時(shí)，此時(shí)M(3綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(32,【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、利用函數(shù)的關(guān)系式表示點(diǎn)的坐標(biāo)和線段長度的方法以及轉(zhuǎn)化等．13．（2022·江蘇·蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校九年級(jí)期中）拋物線y=ax2+2x+c過點(diǎn)A?1,0，點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)P在第一象限拋物線上，連接CP并延長交x軸于點(diǎn)D，連接AC，AP．若S△ACP:S(3)如圖2，在（2）的條件下，點(diǎn)E是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E，點(diǎn)F，使得四邊形ADFE為菱形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=-x(2)P(3)存在，6,21或【分析】（1）用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)關(guān)系式即可；（2）過點(diǎn)C作CM⊥x軸于M，PN⊥x軸于N，根據(jù)面積法求得PNCM=59，設(shè)（3）先求出直線CD的函數(shù)關(guān)系式，再求出點(diǎn)D坐標(biāo)，設(shè)E1,?，根據(jù)菱形的性質(zhì)列出關(guān)于h的方程并求解，最后求出點(diǎn)F【詳解】（1）把A?1,0、B3,0代入得到a?2+c=09a+6+c=0，解得a=?1∴拋物線的解析式為y=∴頂點(diǎn)C坐標(biāo)1,4（2）如圖1，過點(diǎn)C作CM⊥x軸于M，PN⊥x軸于N，∵S△ACP∴S△ADP∴12∴PN設(shè)Pt,?t2則?解得：t1=?1∴P（3）設(shè)直線CD的函數(shù)關(guān)系式為：y=mx+n，∵直線CD過C1,4，P∴m+n=47解得：m=?可求得直線CD:y=?4將y=0代入y=?43x+∴D4,0由題知拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，A?1,0設(shè)E1,?若四邊形ADFE是菱形，則AD=AE∴4??1∴?=±∴點(diǎn)E坐標(biāo)為1,21或1,?由平移性質(zhì)可得點(diǎn)F坐標(biāo)分別為6,21或6,?【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，理解二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022·江蘇蘇州·一模）圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，M是拋物線的頂點(diǎn)且橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），P(1)求拋物線的解析式；(2)過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．若PD=m，ΔPCD的面積為S．求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m(3)是否存在點(diǎn)P滿足DC=PC，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=?(2)S=?(3)不存在，理由見解析．【分析】（1）先根據(jù)對(duì)稱軸求出b的值，再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式可求c的值，即可求解；（2）先求出點(diǎn)M，點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求BM解析式，由三角形的面積公式可求解；（3）假設(shè)DC=PC，用兩點(diǎn)間距離公式列出關(guān)于m的方程，再求解即可．（1）由題意知拋物線y=?x2+bx+c∴b=2．又∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為C(0,3)，∴c=3，∴拋物線的解析式為y=?x（2）∵y=?x∴頂點(diǎn)M(1,4)．令y=0，則有0=?x解得x1=-1，x2=3，∴A（-1，0），B（3，0），設(shè)直線BM的解析式為y=kx+n，將B(3,0),M(1,4)代入，得3k+n=0,解得k=?2,∴直線BM的解析式為y=?2x+6．∵PD⊥x軸且PD=m，∴P3?∴△PCD的面積S=1∵點(diǎn)P在線段BM上，且M(1,4),B(3,0)，∴0<m≤4，故S與m之間的函數(shù)關(guān)系式為S=?1（3）當(dāng)DC=PC時(shí)，由勾股定理可得3?m解得m=0或m=6，均不符合題意，舍去．綜上所訴，不存在滿足DC=PC的點(diǎn)P【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．15．（2022·江蘇·徐州市樹人初級(jí)中學(xué)二模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2?4x+3與x軸相交于點(diǎn)A，B（A在B的左邊），與y軸相交于點(diǎn)C．M0,m是y軸上動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M的直線l垂直于y軸，與拋物線相交于兩點(diǎn)P、Q（P在Q的左邊），與直線(1)求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；(2)如圖2，四邊形PMGH是正方形，連接CP．△PNC的面積為S1，正方形PMGH的面積為S2．若m<3，求【答案】(1)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=?x+3(2)1<【分析】（1）直接根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式求出點(diǎn)B、C坐標(biāo)，然后待定系數(shù)法即可求出表達(dá)式．（2）由題意得出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,m)和(3?m,m)，然后設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)為(t,t2?4t+3)，得出m=t2?4t+3，進(jìn)而表示出PN=3t?t2，CM=4t?t2，PM=t，根據(jù)SΔ(1)令y=0，得x2?4x+3=0，解得x1即A的坐標(biāo)為(1,0)，B的坐標(biāo)為(3,0)，令x=0，得y=3，即C的坐標(biāo)為(0,3)，設(shè)lBC:y=kx+b，代入B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得出：解得k=?1b=3∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=?x+3．(2)由題意可知，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,m)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3?m,m)，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(t,t2?4t+3)∴PN=3?m?t=3t?t2，CM=3?m=4t?t即SΔS正方形∴∵y=x∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,?1)，∵直線l與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，∴?1<m<3，即0<t<2，令y=12(t?72)2∴當(dāng)t=0時(shí)，ymax=6；當(dāng)t=2時(shí)，∴1<S【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)表達(dá)式求法，二次函數(shù)面積綜合，解題的關(guān)鍵是理解題意，合理設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出所求圖形的面積，最后根據(jù)所給條件求取值范圍．16．（2022·江蘇連云港·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=12x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A0,?2，B4,0兩點(diǎn)，直線BC:y=?2x+8交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D為直線AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為G，DG分別交直線BC(1)求b和c的值；(2)當(dāng)GF=12時(shí)，連接BD，求△(3)H是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BEHF是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．【答案】(1)b=-32，(2)△BDF的面積為3(3)H(0，3)【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；(2)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，可得結(jié)論；(3)過點(diǎn)H作HM⊥EF于M，證明△EMH≌△FGB(AAS)，推出MH=GB，EM=FG，由HM=OG可得OG=GB=12OB=2，由題意直線AB的解析式為y=12x-2，設(shè)E(a，-2a+8)，F(xiàn)(a，12a-2)，根據(jù)MH（1）∵拋物線y=-x2+bx+c過A(0，-2)，B(4，0)兩點(diǎn)，∴{c=?2解得{b=?∴y=故答案為：b=-32，（2）∵B(4，0)，A(0，2)∴OB=4，OA=2，∵GF⊥x軸，OA⊥x軸，在Rt△BOA和和Rt△BGF中，∴tan∠ABO=OAOB即24∴GB=1∴OG=OB-GB=4-1=3當(dāng)x=3時(shí)，yD∴D(3，-2)，即GD=2∴FD=GD-GF=2-12=3∴S（3）①如圖1中，過點(diǎn)H作HM⊥EF于M，∵四邊形BEHF是矩形，∴EH//BF，EH=BF，∴∠HEF=∠BFE，∵∠EMH=∠FGB=90°∴△EMH≌△FGB(AAS)，∴MH=GB，EM=FG，∴HM=OG，∴OG=GB=12OB∵A(0，-2)，B(4，0)，∴直線AB的解析式為y=12x設(shè)E(a，-2a+8)，F(xiàn)(a，12a由MH=BG得到，a-0=4-a，∴a=2，∴E(2，4)，F(xiàn)(2，-1)，∴FG=1，∵EM=FG，∴4-yH∴yH=3，∴H(0，3)．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．17．（2022·江蘇常州·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知A(?3,0)，B(1,0)，C(0,3)．連接OM，作CD∥OM交(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)直線AM上是否存在點(diǎn)P，使得△POA的面積與四邊形POCM面積之比為1∶2？如果存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=?(2)(?(3)存在，(?136【分析】（1）用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）利用CD∥OM求出直線CD的解析式，再求出直線AM的解析式，聯(lián)立兩解析式即可求出點(diǎn)（3）設(shè)△POA的面積為S，根據(jù)“△POA的面積與四邊形POCM面積之比為1∶2”求出△POA的面積，得到P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而代入直線AM的解析式求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可．（1）解：設(shè)拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為y=ax把A(?3,0)，B(1,0)，C(0,3)代入解析式可得9a?3b+c=0a+b+c=0解得a=?1b=?2所以拋物線對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為y=?x（2）由y=?x2?2x+3=?(x+1)2設(shè)直線OM的解析式為：y=k將M(?1,4)代入得4=?k∴k∵CD∴k設(shè)直線CD的解析式為y=?4x+b，將C(0,3)代入得b=3，∴y=?4x+3，設(shè)直線AM的解析式為y=k將A(?3,0)、M(?1,4)代入得?3k解得k2∴y=2x+6，聯(lián)立AM、CD兩直線解析式得y=2x+6y=?4x+3解得x=?1∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(?1（3）由題意可知：OC=3，OA=3，S△OCM=1設(shè)△POA的面積為S，當(dāng)P點(diǎn)位于x軸上方時(shí)，如圖：S△P1OM=6?S∵△POA的面積與四邊形POCM面積之比為1∶2，即S15∴S=5∴P1H=2SAO代入y=2x+6得x=?13當(dāng)x=?136時(shí)，∴P當(dāng)P點(diǎn)位于x軸下方時(shí)，如圖：S△P2OM=6+S∵△POA的面積與四邊形POCM面積之比為1∶2，即S15∴S=15∴P2I=2SAO代入y=2x+6得x=?11∴P綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為(?136,【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)與面積等知識(shí)點(diǎn)，將面積問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．18．（2022·江蘇鹽城·一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(?1,0)、B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，直線BM:y=2x+m交y軸于點(diǎn)M.P為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交直線BC、BM(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)P落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求△PBC的面積；(3)①若點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形BENF為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；②在①的條件下，第四象限內(nèi)有一點(diǎn)Q，滿足QN=QM，當(dāng)△QNB的周長最小時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)y=?(2)15(3)①N(0,?3)；②Q(【分析】（1）根據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)，寫出函數(shù)的交點(diǎn)式即可得出結(jié)果；（2）求出直線BC的表達(dá)式為：y=?12x+2（3）①過點(diǎn)N作NG⊥EF于點(diǎn)G，求出直線BM的表達(dá)式為：y=2x?8，得到M(0,?8)，設(shè)E(a,?12a+2)，F(xiàn)(a,2a?8)，再根據(jù)矩形性質(zhì)求出他們的坐標(biāo)，進(jìn)而得到N(0,?3)；②根據(jù)①中的相關(guān)信息，得出當(dāng)點(diǎn)B、Q、M共線時(shí)，△QNB的周長最小，此時(shí)，點(diǎn)Q即為MN（1）解：∵拋物線y=?12x2+bx+c與x∴拋物線的表達(dá)式為：y=?1∴y=?1（2）解：∵y=?1∴y=?1∴P(3∵B(4,0)，C(0,2)，∴直線BC的表達(dá)式為：y=?1把x=32代入y=?1∴SΔ（3）解：①過點(diǎn)N作NG⊥EF于點(diǎn)G，∵y=2x+m過點(diǎn)B(4,0)，∴0=2×4+m，∴m=?8，∴直線BM的表達(dá)式為：y=2x?8，∴M(0,?8)，設(shè)E(a,?12a+2)∵四邊形BENF為矩形，∴ΔBEH?∴NG=BH，EH=FG，∴a=4?a，∴a=2，∴F(2,?4)、E(2,1)，∴EH=FG=1，GH=4?1=3，∴N(0,?3)；②∵QN=QM，∴點(diǎn)Q在MN的垂直平分線上，又∵B(4,0)，N(0,?3)，∴BN=5，∴CΔ∴當(dāng)點(diǎn)B、Q、M共線時(shí)，△QNB的周長最小，此時(shí)，點(diǎn)Q即為MN的垂直平分線與直線BM的交點(diǎn)，∵N(0,?3)；M(0,?8)，∴D(0,?11把y=?112代入y=2x?8得：∴Q(5【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合，涉及到待定系數(shù)法求表達(dá)式、平面直角坐標(biāo)系三角形面積求解、特殊平行四邊形問題和動(dòng)點(diǎn)最值問題，綜合性強(qiáng)、難度較大，熟練掌握相關(guān)題型的解題方法是解決問題的關(guān)鍵．19．（2021·江蘇鹽城·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過A（﹣4，0），B（﹣3，3）兩點(diǎn)，連接AB，BO．（1）求拋物線表達(dá)式和直線OB解析式；（2）點(diǎn)C是第二象限內(nèi)直線OB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)C使△COB面積最大？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)C坐標(biāo)及最大面積，若不存在請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，同時(shí)線段OA上另一個(gè)點(diǎn)H從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AO向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長度（當(dāng)點(diǎn)H到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)D也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）．過點(diǎn)D作x軸的垂線，與直線OB交于點(diǎn)E，延長DE到點(diǎn)F，使得EF＝DE，以DF為邊，在DF左側(cè)作等邊△DGF（當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)G、點(diǎn)F也隨之運(yùn)動(dòng)）．過點(diǎn)H作x軸的垂線，與直線AB交于點(diǎn)L，延長HL到點(diǎn)M，使得LM＝HL，以HM為邊，在HM的右側(cè)作等邊△HMN（當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M、點(diǎn)N也隨之運(yùn)動(dòng)）．當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，△DGF有一條邊所在直線恰好過△HMN的重心，直接寫出此刻t的值．【答案】（1）拋物線解析式y(tǒng)=?33x2?433x，直線OB解析式y(tǒng)=?33x；（2）存在，點(diǎn)C?【分析】（1）利用待定系數(shù)法分別把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，設(shè)直線OB解析式為y=kx，進(jìn)而代點(diǎn)求解即可；（2）過點(diǎn)C作CQ∥y軸，交OB于點(diǎn)Q，由（1）可設(shè)點(diǎn)Cm,?33（3）由題意可分兩種情況：①當(dāng)直線DF經(jīng)過△HMN的重心P時(shí)，②當(dāng)直線DG經(jīng)過△HMN的重心P時(shí)，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)可進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）由題意得：把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)＝ax2+bx得：16a?4b=09a?3b=3，解得：∴拋物線解析式為y=?3設(shè)直線OB解析式為y=kx，∴?3k=3，解得：k=?∴直線OB解析式為y=?3（2）過點(diǎn)C作CQ∥y軸，交OB于點(diǎn)Q，如圖所示：由（1）可設(shè)點(diǎn)Cm,?∴CQ=?3∵點(diǎn)B（﹣3，3），∴△COB的水平寬為3，∴S△COB∵?3∴當(dāng)m=?32時(shí)，△COB的面積為最大，最大值為把m=?32代入拋物線解析式得：∴點(diǎn)C?（3）由題意可分兩種情況：①當(dāng)直線DF經(jīng)過△HMN的重心P時(shí)，如圖2，連接NL，∵LM=LH，且△HMN是等邊三角形，∴點(diǎn)P在NL上，由題意得：OD=t,AH=2t，AB=?4+3∴AB2+O∴∠AOB=30°,∠BAO=60°，∵M(jìn)H⊥x軸，∴∠ALH=30°，∴LH=23∴HN=HM=2HL=43∵∠LHN=60°，∴LN=HN?sin∵FD⊥x軸，MH⊥x軸，∴∠LHD=∠PDH=∠PLH=90°，∴四邊形PLHD是矩形，∵點(diǎn)P是重心，∴PL=DH=1∵OA=AH+HD+OD=4，∴2t+2t+t=4，解得：t=4②當(dāng)直線DG經(jīng)過△HMN的重心P時(shí)，如圖3，連接NL，∵DP//∴LPPN∵LH=LM，∴KLKH∵LP//∴KLKH=LP解得：t=4綜上所述：t的值為45s或411s時(shí)，△【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．20．（2021·江蘇·海安市紫石中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）x、y是一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)變量，若當(dāng)a≤x≤b時(shí)，有a≤y≤b（a＜b），則稱此函數(shù)為a≤x≤b上的閉函數(shù)．如y＝﹣x+3，當(dāng)x＝1時(shí)y＝2；當(dāng)x＝2時(shí)y＝1，即當(dāng)1≤x≤2時(shí)，1≤y≤2，所以y＝﹣x+3是1≤x≤2上的閉函數(shù)．（1）請(qǐng)說明y=x2?2（2）已知二次函數(shù)y＝x2+4x+k是t≤x≤﹣2上的閉函數(shù)，求k和t的值；（3）在（2）的情況下，設(shè)A為拋物線頂點(diǎn)，B為直線x＝t上一點(diǎn)，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若△ABC為等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出它的腰長為________________．【答案】（1）理由見解析；（2）k,t的值分別為1,?3；（3）10【分析】（1）根據(jù)題意的閉函數(shù)的定義求解即可；（2）根據(jù)閉函數(shù)的定義以及二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求得x=t,x=?2時(shí)的函數(shù)值為?2，（3）根據(jù)題意以及（2）的結(jié)論，分別求得A,B,C的坐標(biāo)，分類討論，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求得其腰長．【詳解】（1）由y=x∵a=1>0，對(duì)稱軸為x=0，∴當(dāng)x≥0時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=?2時(shí)，y=2；當(dāng)x=0時(shí)，y=?2當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=2時(shí)，y=2；綜上可得，當(dāng)?2≤x≤2，?2≤y≤2∴y=x2?2（2）∵y=∴拋物線的對(duì)稱軸為x=?2，a=1>0，則拋物線的開口向上，∵t≤x≤?2∴y隨x的增大而減小∵函數(shù)y=x2+4x+k∴當(dāng)x=t時(shí)，y=當(dāng)x=?2時(shí)，y=k?4∴解得k∵t<?2∴k=1故k,t的值分別為1,?3（3）由（2）可知，拋物線的解析式為：y=x即y=(x+2)A為拋物線頂點(diǎn)，∴A(?2,?3)，C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，∴C(0,1)，∵t=?3，B為直線x=?3上一點(diǎn)，設(shè)B(?3,n)，由勾股定理可得ACAB2=BC①當(dāng)∠BAC=90°時(shí)，AB=AC，則AB∴n2+6n+10解得n=?3±19當(dāng)n=?3±19又AB∴n2+6n+10+20=解得n=?5∴此情況不存在；②當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，AB=BC，則ABn2+6n+10=解得n=0，當(dāng)n=0時(shí)，AB∴AB∴此時(shí)是以B點(diǎn)為直