人教版九年級數(shù)學(xué)上冊重難點(diǎn)專題提升精講精練第二十二章二次函數(shù)基礎(chǔ)?？?0題(20個(gè)考點(diǎn))專練(原卷版+解析)

第二十二章二次函數(shù)基礎(chǔ)?？?0題（20個(gè)考點(diǎn)）專練【精選2023年最新題型訓(xùn)練】基礎(chǔ)常考題一、列二次函數(shù)關(guān)系式1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）正方體的六個(gè)面是全等的正方形，設(shè)正方體的棱長為x，表面積為y，則y是x的函數(shù)，它們的關(guān)系式為（）A． B．C． D．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，，，，四邊形是的內(nèi)接矩形，如果的長為，矩形的面積為，則與的函數(shù)關(guān)系式為．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）某市化工材料經(jīng)銷公司購進(jìn)一種化工原料若干千克，價(jià)格為每千克30元．物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每千克70元，不低于每千克30元．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：日銷售量（千克）是銷售單價(jià)（元）的一次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，時(shí)，．在銷售過程中，每天還要支付其它費(fèi)用450元．(1)求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．(2)求該公司銷售該原料日獲利潤（元）與銷售單價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式．基礎(chǔ)?？碱}二、二次函數(shù)的識別1．（2023秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）有下列函數(shù)：①；②；③；④．其中y是x的二次函數(shù)有．（填序號）3．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）下列函數(shù)中（x，t為自變量），哪些是二次函數(shù)？如果是二次函數(shù)，請指出二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．(1)；(2)；(3)；(4)．基礎(chǔ)?？碱}三、根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)1．（2023春·黑龍江綏化·八年級校聯(lián)考期末）若是二次函數(shù)，則的值是（

）A． B．3 C．9 D．2．（2023秋·河南開封·九年級統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是二次函數(shù)，則．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）若．(1)m取什么值時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)？(2)m取什么值時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)？基礎(chǔ)?？碱}四、y=ax2的圖象與性質(zhì)1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）拋物線與直線，，，圍成的正方形有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．求：(1)該函數(shù)解析式及對稱軸；(2)試判斷點(diǎn)是否在此函數(shù)的圖象上．基礎(chǔ)?？碱}五、y=ax2+k的圖象與性質(zhì)1．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）拋物線，，共有的性質(zhì)是（

）A．開口向上 B．對稱軸都是y軸 C．都有最高點(diǎn) D．頂點(diǎn)相同2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知點(diǎn)，是拋物線上的兩點(diǎn)，若，則（填“”“”或“”）．3．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)．(1)求m的值；(2)函數(shù)圖象的兩點(diǎn)，，若滿足，則此時(shí)m的值是多少？基礎(chǔ)常考題六、y=a(x+h)2的圖象與性質(zhì)1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（

）A．開口向上 B．對稱軸是直線C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 D．頂點(diǎn)坐標(biāo)為2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）寫出下列二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(1)(2)(3)．基礎(chǔ)常考題七、y=a(x+h)2+k的圖象與性質(zhì)1．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．對稱軸為 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 C．函數(shù)的最大值是－3 D．函數(shù)的最小值是－32．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）與拋物線形狀相同，頂點(diǎn)為（3，）的拋物線解析式為．3．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知二次函數(shù)(1)將化成的形式；并寫出其對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)取何值時(shí)，隨的增大而減?。A(chǔ)?？碱}八、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)1．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的圖像上有兩點(diǎn)和，則當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值是（

）A．?1 B．0 C．1 D．22．（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶市南渝中學(xué)校?？计谥校┮阎魏瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．3．（2023春·福建福州·八年級福建省福州第一中學(xué)?？计谀┮阎魏瘮?shù)．

(1)請?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象；(2)若點(diǎn)在該函數(shù)圖象上①當(dāng)時(shí)，則x的取值范圍為___________；②當(dāng)（t為常數(shù)）時(shí)，y隨x的增大而減小，則t的取值范圍是__________．基礎(chǔ)?？碱}九、二次函數(shù)圖象的平移1．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）將二次函數(shù)的圖象先向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移8個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級統(tǒng)考期末）點(diǎn)是拋物線：上一點(diǎn)，將拋物線平移，得到拋物線：，點(diǎn)P平移后的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為．3．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；(2)將該拋物線向下平移n個(gè)單位，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求n的值．基礎(chǔ)常考題十、一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷1．（2023春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D是一次函數(shù)的圖象，則二次函數(shù)的圖象可能為（）A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）觀察函數(shù)與的圖像，寫出一條它們的共同特征：．3．（2022秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）拋物線經(jīng)過A(6，0)，頂點(diǎn)M在直線y=2x-7上，求拋物線的解析式．基礎(chǔ)常考題十一、簡單的二次函數(shù)圖象與各系數(shù)的關(guān)系1．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列各式正確的是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)，其中自變量與函數(shù)值之間滿足下面的對應(yīng)關(guān)系：……237………………下列判斷中，正確的是（填序號）．①頂點(diǎn)是；②；③；④當(dāng)時(shí)，；⑤當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小．3．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線y＝﹣x2+(m﹣1)x+m與y軸交于點(diǎn)(0，3)．（1）m的值為________；（2）當(dāng)x滿足________時(shí)，y的值隨x值的增大而減??；（3）當(dāng)x滿足________時(shí)，拋物線在x軸上方；（4）當(dāng)x滿足0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是________．基礎(chǔ)?？碱}十二、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式1．（2023春·廣東河源·九年級?？奸_學(xué)考試）若二次函數(shù)（a，b為常數(shù)）的圖象如圖，則a的值為（）

A． B． C． D．2．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，某建筑物的屋頂設(shè)計(jì)成橫截面為拋物線形（曲線）的薄殼屋頂，已知它的拱寬為4米，拱高為0.8米，為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求表達(dá)式，如圖2是以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立的平面直角坐標(biāo)系，則圖2中的拋物線的解析式為．

3．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，其對稱軸為直線，函數(shù)的最大值為.(1)求此函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)隨的增大而減小時(shí)，的取值范圍為____________（請直接寫出答案）.基礎(chǔ)常考題十三、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，則關(guān)于x的方程的解為（）A．， B．，C．， D．，2．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·九年級校考期中）已知二次函數(shù)（均為常數(shù)，且），若與的部分對應(yīng)值如下表所示，則方程的根為．x...-2-101234...y...50-3-4-305...3．（2023春·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┮阎獟佄锞€（為常數(shù)），求證：無論為何值，拋物線與軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)．基礎(chǔ)常考題十四、利用二次函數(shù)的交點(diǎn)確定不等式的取值范圍1．（2023秋·山西晉城·九年級?？计谀┤鐖D，拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍是（

）．

A． B．C．或 D．或2．（2023春·廣西·八年級南寧十四中?？计谀┤鐖D，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集為．

3．（2023春·北京西城·九年級北京八中校考開學(xué)考試）對于拋物線．(1)它與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為_______，與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為________，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_______；(2)在坐標(biāo)系中利用描點(diǎn)法畫出此拋物線；…………

(3)當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出的取值范圍________；(4)若點(diǎn)，在拋物線上，且，直接寫出的取值范圍_______．基礎(chǔ)常考題十五、二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)1．（2023秋·廣東廣州·九年級?？计谀┤魭佄锞€對稱軸為直線，與x軸交于點(diǎn)，則該拋物線與x軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河南信陽·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是．3．（2023秋·江西宜春·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；(2)求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．基礎(chǔ)?？碱}十六、二次函數(shù)的應(yīng)用之增長率問題1．（2023·福建·九年級專題練習(xí)）根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省年的地區(qū)生產(chǎn)總值為億元，年的地區(qū)生產(chǎn)總值為億元．設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程（）A． B．C． D．2．（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校榱俗屴r(nóng)民能種植高產(chǎn)、易發(fā)芽的種子，某農(nóng)科實(shí)驗(yàn)基地大力開展種子實(shí)驗(yàn)．該實(shí)驗(yàn)基地兩年前有100種種子，經(jīng)過兩年不斷地努力，現(xiàn)在已有144種種子．若培育的種子平均每年的增長率為x，則x的值為．3．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）某公司月份的營收為萬元，設(shè)每個(gè)月營收的增長率相同，且為，月份的營收為萬元，寫出關(guān)于的函數(shù)解析．基礎(chǔ)?？碱}十七、二次函數(shù)的應(yīng)用之拱橋問題1．（2023·山西大同·大同一中?？寄M預(yù)測）如圖，有一個(gè)截面邊緣為拋物線型的水泥門洞．門洞內(nèi)的地面寬度為，兩側(cè)距地面高處各有一盞燈，兩燈間的水平距離為，則這個(gè)門洞內(nèi)部頂端離地面的距離為（）

A． B．8 C． D．2．（2023·江西吉安·統(tǒng)考一模）如圖1，某地大橋橋拱形狀近似拋物線，其高度約為20米，跨度為120米，以橋底部（正好為水面）所在直線為軸，以橋拱最高點(diǎn)到水面的垂線的垂足為原點(diǎn)O建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的表達(dá)式為．3．（2023秋·山西晉城·九年級?？计谀┤鐖D，有一個(gè)橫截面為拋物線形狀的隧道，隧道底部寬為，拱頂內(nèi)高．把截面圖形放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中（原點(diǎn)O是的中點(diǎn)）．

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果該隧道設(shè)計(jì)為車輛雙向通行，規(guī)定車輛必須在中心黃線兩側(cè)行駛，那么一輛寬，高的大型貨運(yùn)卡車是否可以通過？為什么？基礎(chǔ)?？碱}十八、二次函數(shù)的應(yīng)用之銷售問題1．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）2022年新冠病毒變異株奧密克戎來勢洶洶，為了更好地讓顧客做好防護(hù)，某商場銷售一款升級版的KN95口罩，市場信息顯示，銷售這種口罩，每天所獲的利潤y（元）與售價(jià)x（元/個(gè)）之間關(guān)系式滿足，第一天將售價(jià)定為16元/個(gè)，當(dāng)天獲利132元，第二天將售價(jià)定為20元/個(gè)，當(dāng)天獲利180元．則這種口罩的成本價(jià)是多少元/個(gè)？（單位利潤=售價(jià)?成本價(jià)）（

）A．10 B．12 C．14 D．152．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件．試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為150件：銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件，設(shè)銷售單價(jià)為x（元），每天的銷售量為y（件），每天所得的銷售利潤w（元）．則當(dāng)銷售單價(jià)為元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤．3．（2023秋·山西忻州·九年級?？计谀樽龊梅酪弑９﹥刹徽`，全力保障市民生活所需，截至目前，某市63家企業(yè)推出了126個(gè)APP或小程序，提供線上下單、線下無接觸配送服務(wù)．某超市銷售箱裝高檔水果，每箱水果盈利50元，超市每天可銷售20箱．為提高利潤，超市決定降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每箱水果降價(jià)1元，超市每天可多售出2箱．當(dāng)每箱水果降價(jià)多少元時(shí)，該超市的日盈利最大，最大是多少？基礎(chǔ)?？碱}十九、二次函數(shù)的應(yīng)用之投球問題1．（2023春·廣東梅州·九年級校考開學(xué)考試）向空中發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時(shí)間與高度的關(guān)系為、若此炮彈在第8秒與第16秒時(shí)的高度相等，則在下列時(shí)間中炮彈所在高度最高的是（）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒2．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是，則鉛球推出的距離m．

3．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，是一個(gè)運(yùn)動(dòng)員投擲鉛球的拋物線圖，解析式為（單位：米），其中點(diǎn)A為出手點(diǎn)，點(diǎn)C為鉛球運(yùn)行中的最高點(diǎn)，點(diǎn)B為鉛球落地點(diǎn)，求：(1)出手點(diǎn)A離地面的高度；(2)最高點(diǎn)C離地面的高度；(3)該運(yùn)動(dòng)員的成績是多少米？基礎(chǔ)?？碱}二十、二次函數(shù)的應(yīng)用之圖形運(yùn)動(dòng)問題1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)重合），同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)重合）．當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，經(jīng)過的時(shí)間為（）A． B． C． D．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，中，，，為中點(diǎn)．、是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)以相同的速度從出發(fā)向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到停止．當(dāng)為時(shí)，的面積最大．3．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·九年級?？计谥校┮阎喝鐖D所示，在中，，cm，cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．(1)如果分別從同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，的面積等于4cm2？(2)幾秒時(shí)，的面積最大？請說明理由．

第二十二章二次函數(shù)基礎(chǔ)常考60題（20個(gè)考點(diǎn)）專練【精選2023年最新題型訓(xùn)練】基礎(chǔ)?？碱}一、列二次函數(shù)關(guān)系式1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）正方體的六個(gè)面是全等的正方形，設(shè)正方體的棱長為x，表面積為y，則y是x的函數(shù)，它們的關(guān)系式為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先計(jì)算正方體一個(gè)面的面積，然后乘以六得到正方體的表面積．【詳解】解：正方體的每一個(gè)面都是面積為的小正方形，∵展開后由六個(gè)全等的小正方形組成，∴正方體表面積為．故答案選：D【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)關(guān)系式，用棱長表示出正方體表面積是解題關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，，，，四邊形是的內(nèi)接矩形，如果的長為，矩形的面積為，則與的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得是等腰直角三角形，得出，進(jìn)而根據(jù)矩形的面積即可求解．【詳解】，，．四邊形是的內(nèi)接矩形，，，，，．，，∴，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了列二次函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）某市化工材料經(jīng)銷公司購進(jìn)一種化工原料若干千克，價(jià)格為每千克30元．物價(jià)部門規(guī)定其銷售單價(jià)不高于每千克70元，不低于每千克30元．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：日銷售量（千克）是銷售單價(jià)（元）的一次函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，時(shí)，．在銷售過程中，每天還要支付其它費(fèi)用450元．(1)求與的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．(2)求該公司銷售該原料日獲利潤（元）與銷售單價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)()；(2)()【分析】（1）根據(jù)與寫成一次函數(shù)解析式，設(shè)為，把與的兩對值代入求出與的值，即可確定出與的解析式，并求出的范圍即可；（2）根據(jù)利潤=單價(jià)銷售量列出關(guān)于的二次函數(shù)解析式即可．【詳解】（1）設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為．時(shí)，，時(shí)，，，解得，，根據(jù)部門規(guī)定，得．（2）【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}二、二次函數(shù)的識別1．（2023秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡整理（去括號、合并同類項(xiàng)）后，能寫成（a，b，c為常數(shù)，）的形式，那么這個(gè)函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是．【詳解】A．，關(guān)系式不是整式，故不是二次函數(shù)；B．，關(guān)系式不是整式，故不是二次函數(shù)；C．，自變量的次數(shù)是2，且二次項(xiàng)的系數(shù)不為零，故是二次函數(shù)；D．，自變量的次數(shù)不是2，是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如（a，b，c為常數(shù)，）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）有下列函數(shù)：①；②；③；④．其中y是x的二次函數(shù)有．（填序號）【答案】②③④【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義：形如（a、b、c是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)進(jìn)行分析即可．【詳解】解：y是x的二次函數(shù)的是②；③；④．故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)定義，判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡的要先將其化簡，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．3．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）下列函數(shù)中（x，t為自變量），哪些是二次函數(shù)？如果是二次函數(shù)，請指出二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)是，二次項(xiàng)是、一次項(xiàng)系數(shù)是、常數(shù)項(xiàng)是；(2)不是；(3)是，二次項(xiàng)是、一次項(xiàng)系數(shù)是、常數(shù)項(xiàng)是；(4)不是【分析】根據(jù)二次函數(shù)的概念求解即可．【詳解】（1）是二次函數(shù)，二次項(xiàng)是、一次項(xiàng)系數(shù)是、常數(shù)項(xiàng)是；（2），不含二次項(xiàng)，故不是二次函數(shù)；（3）是二次函數(shù)，二次項(xiàng)是、一次項(xiàng)系數(shù)是、常數(shù)項(xiàng)是；（4）中不是整式，故不是二次函數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的概念，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的概念，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．形如（）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中叫做二次項(xiàng)、叫做一次項(xiàng)系數(shù)、是常數(shù)項(xiàng)．基礎(chǔ)?？碱}三、根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)1．（2023春·黑龍江綏化·八年級校聯(lián)考期末）若是二次函數(shù)，則的值是（

）A． B．3 C．9 D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)為2，且二次項(xiàng)系數(shù)不為零，計(jì)算即可．【詳解】∵是二次函數(shù)，∴，解得，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河南開封·九年級統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是二次函數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義分析即可，二次函數(shù)的定義：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．【詳解】解：∵函數(shù)是二次函數(shù)，∴解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）若．(1)m取什么值時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)？(2)m取什么值時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)？【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義得出，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)一次函數(shù)的定義得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：(1)當(dāng)是二次函數(shù)時(shí)，有，解得，∴當(dāng)時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)；（2）當(dāng)是一次函數(shù)時(shí)，有，解得或，∴或時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義，解一元二次方程，熟練掌握二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}四、y=ax2的圖象與性質(zhì)1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）拋物線與直線，，，圍成的正方形有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖形，求出過、(2，1)兩點(diǎn)的拋物線解析式可確定a的取值范圍．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，拋物線與直線，，，圍成的正方形沒有公共點(diǎn)，則，畫出草圖如圖，把代入得，把點(diǎn)代入得，則a的范圍介于這兩點(diǎn)之間，故，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解決此類題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，可知：，∴；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．求：(1)該函數(shù)解析式及對稱軸；(2)試判斷點(diǎn)是否在此函數(shù)的圖象上．【答案】(1)，對稱軸為y軸(2)點(diǎn)不在此函數(shù)的圖象上【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再求出對稱軸即可；（2）求出當(dāng)，y的值即可得到答案．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∴二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)對稱軸為y軸；（2）解：在中，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)不在此函數(shù)的圖象上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求出對應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}五、y=ax2+k的圖象與性質(zhì)1．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）拋物線，，共有的性質(zhì)是（

）A．開口向上 B．對稱軸都是y軸 C．都有最高點(diǎn) D．頂點(diǎn)相同【答案】B【分析】從所給拋物線的開口方向、對稱軸、最高點(diǎn)或最低點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)等方面考慮即可完成．【詳解】解：拋物線開口向上，對稱軸是軸，有最低點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)；拋物線，開口向下，對稱軸是軸，有最高點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)；拋物線開口向上，對稱軸是軸，有最高點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的圖象與性質(zhì)，掌握拋物線的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知點(diǎn)，是拋物線上的兩點(diǎn)，若，則（填“”“”或“”）．【答案】＜【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由拋物線可知：，開口向下，對稱軸為，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)點(diǎn)，是拋物線上的兩點(diǎn)，且，則；故答案為＜．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)．(1)求m的值；(2)函數(shù)圖象的兩點(diǎn)，，若滿足，則此時(shí)m的值是多少？【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義可得，，即可求解；（2）點(diǎn)，，且，可得在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小，即可進(jìn)行解答．【詳解】（1）解：∵函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴，解得：或．（2）∵該函數(shù)的對稱軸為y軸，點(diǎn)，，且，∴在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小，∴，解得∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不為0，次數(shù)最高為2；時(shí)，函數(shù)開口向上，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大，時(shí)，函數(shù)開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小．基礎(chǔ)?？碱}六、y=a(x+h)2的圖象與性質(zhì)1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（

）A．開口向上 B．對稱軸是直線C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 D．頂點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)解析式可得，該二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，在對稱軸的左側(cè)，隨的增大而增大，【詳解】對于二次函數(shù)，，則開口向下，對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故A，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大先增大后減小，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知函數(shù)．當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：∵中，，∴該二次函數(shù)圖象的開口向上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握和運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）寫出下列二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．(1)(2)(3)．【答案】(1)開口向下，對稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2)開口向上，對稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3)開口向上，對稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)即可解答；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)即可解答；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)即可解答；【詳解】（1）解：∵拋物線，∴開口向下，對稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：∵拋物線，∴開口向上，對稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）解：∵拋物線，∴開口向上，對稱軸是，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)嗎，對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}七、y=a(x+h)2+k的圖象與性質(zhì)1．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．對稱軸為 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)為 C．函數(shù)的最大值是－3 D．函數(shù)的最小值是－3【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】二次函數(shù)的對稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為∵∴二次函數(shù)圖象開口向下，函數(shù)有最大值，為∴A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確故選：C【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）與拋物線形狀相同，頂點(diǎn)為（3，）的拋物線解析式為．【答案】或【分析】設(shè)解析式為，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：設(shè)解析式為，∵拋物線形狀與相同，∴，∵頂點(diǎn)為（3，），∴，，∴解析式為、．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的求法，拋物線形狀相同，則說明a相等或互為相反數(shù)．3．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）已知二次函數(shù)(1)將化成的形式；并寫出其對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)取何值時(shí)，隨的增大而減小．【答案】(1)；對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(2)當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小【分析】（1）利用配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，再加上一次項(xiàng)函系數(shù)的一半的平方來湊完全平方公式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可求出對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖像即可解答．【詳解】（1）該二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是；（2）如圖，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。军c(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法，熟知二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題關(guān)鍵．基礎(chǔ)常考題八、y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)1．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)的圖像上有兩點(diǎn)和，則當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值是（

）A．?1 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意得出拋物線的對稱軸為直線，也可表示為直線，可得，代入函數(shù)的解析式即可求得二次函數(shù)的值．【詳解】解：二次函數(shù)的圖像上有兩點(diǎn)和，∴，∴，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圖像上的點(diǎn)坐標(biāo)符合解析式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶市南渝中學(xué)校校考期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為．【答案】/【分析】先求出二次函數(shù)的對稱軸，再利用二次函數(shù)的增減性即可得出結(jié)論．【詳解】解：，該拋物線的對稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的增減性，關(guān)鍵是要牢記拋物線的對稱軸的公式，理解拋物線的增減性．3．（2023春·福建福州·八年級福建省福州第一中學(xué)校考期末）已知二次函數(shù)．

(1)請?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出該二次函數(shù)的圖象；(2)若點(diǎn)在該函數(shù)圖象上①當(dāng)時(shí)，則x的取值范圍為___________；②當(dāng)（t為常數(shù)）時(shí)，y隨x的增大而減小，則t的取值范圍是__________．【答案】(1)見解析(2)①，②【分析】（1）先列表，再用描點(diǎn)，最后用平滑的曲線連接即可得出該函數(shù)的圖象；（2）①根據(jù)（1）中的圖象，即可得出x的取值范圍；②先得出其對稱軸，即可根據(jù)圖象分析其增減性，得出結(jié)論．【詳解】（1）解：列表如下：x……01……y……03430……二次函數(shù)如圖所示：

（2）解：①由圖可知：當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為，故答案為：；②由圖可知，該二次函數(shù)對稱軸為直線，∵y隨x的增大而減小，∴，∵，∴，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)圖象的方法，以及能夠結(jié)合圖象，分析函數(shù)的性質(zhì)．基礎(chǔ)?？碱}九、二次函數(shù)圖象的平移1．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）將二次函數(shù)的圖象先向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移8個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】確定拋物線頂點(diǎn)平移后的坐標(biāo)即可確定平移后拋物線的解析式．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，它向右平移2個(gè)單位長度，再向上平移8個(gè)單位長度后的坐標(biāo)為，而平移不改變圖形的大小與形狀，所以平移后的拋物線解析式為：；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，抓住頂點(diǎn)的平移是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級統(tǒng)考期末）點(diǎn)是拋物線：上一點(diǎn)，將拋物線平移，得到拋物線：，點(diǎn)P平移后的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式得到平移規(guī)律，即可求解．【詳解】解：將拋物線：平移，得到拋物線：，平移規(guī)律為向左平移4個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，則點(diǎn)平移后的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移確定平移是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；(2)將該拋物線向下平移n個(gè)單位，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把點(diǎn)代入可求出b，從而得解；（2）根據(jù)拋物線向下平移n個(gè)單位，得到新拋物線的解析式，再將點(diǎn)代入可求出n的值．【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入得：，解得，∴拋物線的解析式為：（2）拋物線向下平移n個(gè)單位后得：，把點(diǎn)代入得：解得：即n的值為1．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法和拋物線的平移，掌握待定系數(shù)法和拋物線的平移是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}十、一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷1．（2023春·重慶渝中·八年級重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D是一次函數(shù)的圖象，則二次函數(shù)的圖象可能為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)一次函數(shù)圖象確定，進(jìn)而確定二次函數(shù)開口向上，對稱軸在y軸左側(cè)，由此即可得到答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限且與y軸交于y軸的正半軸，∴，∴二次函數(shù)的圖象的開口向上，∵二次函數(shù)的對稱軸為直線，∴二次函數(shù)的對稱軸在y軸左側(cè)，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)中的函數(shù)圖象符合題意，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象綜合判斷，正確求出是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）觀察函數(shù)與的圖像，寫出一條它們的共同特征：．【答案】都過等【分析】從函數(shù)圖像的分布，圖像過點(diǎn)等角度去探索答案．【詳解】∵函數(shù)與的圖像都經(jīng)過點(diǎn)（0，-1），故答案為：（0，-1）．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的特點(diǎn)，熟練掌握圖像的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）拋物線經(jīng)過A(6，0)，頂點(diǎn)M在直線y=2x-7上，求拋物線的解析式．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的對稱性求出頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入直線y=2x-7，再將A及頂點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，據(jù)此即可求出拋物線的解析式．【詳解】∵，∴拋物線經(jīng)過(0，0)，∵拋物線經(jīng)過(6，0)，∴拋物線對稱軸為直線x=-=3，∴b=-6a，，將x=3代入y=2x-7中得y=6-7=-1，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，1)，將(3，1)代入得，解得a=-，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，根據(jù)拋物線的對稱性求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)常考題十一、簡單的二次函數(shù)圖象與各系數(shù)的關(guān)系1．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列各式正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由圖知，，對稱軸，得，，；時(shí)，；時(shí)，，變形求解．【詳解】由圖知，，對稱軸，得，，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；時(shí)，，故B錯(cuò)誤；時(shí)，，得，故C正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的解析式，圖象性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，將圖象信息轉(zhuǎn)化為數(shù)量信息是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期末）已知二次函數(shù)，其中自變量與函數(shù)值之間滿足下面的對應(yīng)關(guān)系：……237………………下列判斷中，正確的是（填序號）．①頂點(diǎn)是；②；③；④當(dāng)時(shí)，；⑤當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減?。敬鸢浮竣冖堍荨痉治觥坑?，可得拋物線的對稱軸為直線，由，，可知拋物線的開口向下，進(jìn)而逐項(xiàng)判斷即可得到結(jié)論．【詳解】已知拋物線經(jīng)過，，∴拋物線的對稱軸為直線，∴頂點(diǎn)不是，故①錯(cuò)誤；由，，可得時(shí)，隨著的增大而減小，∴拋物線開口向下，∴，故②正確；∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，∴拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，故③錯(cuò)誤；∵拋物線的對稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過，∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，故④正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線，∴時(shí)，隨著的增大而減小，故⑤正確；故答案為：②④⑤【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，根據(jù)拋物線經(jīng)過的點(diǎn)判斷拋物線的開口方向及對稱軸，掌握二次函數(shù)與方程和不等式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線y＝﹣x2+(m﹣1)x+m與y軸交于點(diǎn)(0，3)．（1）m的值為________；（2）當(dāng)x滿足________時(shí)，y的值隨x值的增大而減?。唬?）當(dāng)x滿足________時(shí)，拋物線在x軸上方；（4）當(dāng)x滿足0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是________．【答案】（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）將（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，故答案為3；（2）m＝3時(shí)，拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3，函數(shù)的對稱軸為直線x＝＝1，∵﹣1＜0，故拋物線開口向下，當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，故答案為x＞1；（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，從圖象看，當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，拋物線在x軸上方；故答案為﹣1＜x＜3；（4）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，而拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），故當(dāng)x滿足0≤x≤4時(shí)，y的取值范圍是﹣5≤y≤4，故答案為﹣5≤y≤4．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}十二、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式1．（2023春·廣東河源·九年級?？奸_學(xué)考試）若二次函數(shù)（a，b為常數(shù)）的圖象如圖，則a的值為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖象開口向下可知，又二次函數(shù)圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式解關(guān)于a的一元二次方程即可．【詳解】解：把原點(diǎn)代入拋物線解析式，得，解得，∵函數(shù)開口向上，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，觀察圖象判斷出a是負(fù)數(shù)且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）如圖1，某建筑物的屋頂設(shè)計(jì)成橫截面為拋物線形（曲線）的薄殼屋頂，已知它的拱寬為4米，拱高為0.8米，為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求表達(dá)式，如圖2是以所在的直線為軸，所在的直線為軸建立的平面直角坐標(biāo)系，則圖2中的拋物線的解析式為．

【答案】【分析】根據(jù)圖形，設(shè)解析式為，由題知，，構(gòu)建方程組求解．【詳解】解：拋物線關(guān)于y軸對稱，設(shè)解析式為，由題知，，得，解得∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式，結(jié)合拋物線在坐標(biāo)系的位置，將二次函數(shù)解析式設(shè)為適當(dāng)?shù)男问绞墙忸}的關(guān)鍵．3．（2022秋·廣東廣州·九年級廣州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，其對稱軸為直線，函數(shù)的最大值為.(1)求此函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)隨的增大而減小時(shí)，的取值范圍為____________（請直接寫出答案）.【答案】(1)(2)【分析】（1）可設(shè)二次函數(shù)的解析式為，根據(jù)題意可直接求得與的值，根據(jù)二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，可求得的值．（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可直接求得答案．【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為．∵對稱軸為直線，函數(shù)的最大值為，∴，．二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，可得．解得．所以，二次函數(shù)解析式為．（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，牢記二次函數(shù)解析式的形式以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}十三、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，則關(guān)于x的方程的解為（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程的根為二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)即可解答．【詳解】解：的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，方程的解為，．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用兩者的關(guān)系．2．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·九年級?？计谥校┮阎魏瘮?shù)（均為常數(shù)，且），若與的部分對應(yīng)值如下表所示，則方程的根為．x...-2-101234...y...50-3-4-305...【答案】，【分析】根據(jù)圖表當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；直接得出方程的根．【詳解】解：由圖表可知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；方程的根為，故答案為，．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，解題關(guān)鍵是根據(jù)圖表直接找出取何值時(shí)．3．（2023春·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┮阎獟佄锞€（為常數(shù)），求證：無論為何值，拋物線與軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)．【答案】見解析【分析】求得判別式并分解得到平方與正數(shù)的和，得到判別式大于0即可證明．【詳解】證明：∵，∴無論為何值，拋物線與軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，把拋物線與x軸的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的問題是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}十四、利用二次函數(shù)的交點(diǎn)確定不等式的取值范圍1．（2023秋·山西晉城·九年級?？计谀┤鐖D，拋物線與直線相交于，兩點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍是（

）．

A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】根據(jù)當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍是拋物線圖象在一次函數(shù)圖象上方部分所對應(yīng)的的取值范圍，結(jié)合圖象進(jìn)行作答即可．【詳解】解：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的交點(diǎn)與不等式的解集的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．2．（2023春·廣西·八年級南寧十四中?？计谀┤鐖D，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于，兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式的解集為．

【答案】【分析】找到二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象下方的部分對應(yīng)的x的值即可．【詳解】解：由圖象可知，關(guān)于x的不等式的解集為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，利用交點(diǎn)求不等式的解集，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握圖象在下方的部分對應(yīng)的函數(shù)值較?。?．（2023春·北京西城·九年級北京八中?？奸_學(xué)考試）對于拋物線．(1)它與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為_______，與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為________，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_______；(2)在坐標(biāo)系中利用描點(diǎn)法畫出此拋物線；…………

(3)當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出的取值范圍________；(4)若點(diǎn)，在拋物線上，且，直接寫出的取值范圍_______．【答案】(1)，；；(2)見解析(3)(4)或【分析】（1）分別令，求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，化為頂點(diǎn)式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；（2）根據(jù)列表描點(diǎn)連線畫出函數(shù)圖象即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)圖象直接可得結(jié)果；（4）根據(jù)題意得出，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象即可求解．【詳解】（1）解：，當(dāng)，，當(dāng)，，解得：，，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，，與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：；故答案為：，；；．（2）列表如下，…………描點(diǎn)、連線如下，

（3）當(dāng)時(shí)，，故答案為：．（4）點(diǎn)，在拋物線上，且，則，∴，根據(jù)或故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，畫二次函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象求不等式的解集，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}十五、二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)1．（2023秋·廣東廣州·九年級?？计谀┤魭佄锞€對稱軸為直線，與x軸交于點(diǎn)，則該拋物線與x軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線對稱性及對稱軸為直線求解．【詳解】解：拋物線對稱軸為直線，點(diǎn)A坐標(biāo)為，由拋物線的對稱性可得圖象與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象關(guān)于對稱軸對稱．2．（2023秋·河南信陽·九年級統(tǒng)考期末）二次函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是．【答案】【分析】聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式求解即可．【詳解】解：由題意，得，解得，∴次函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與直線的交點(diǎn)問題，聯(lián)立函數(shù)解析式求解是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江西宜春·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．(1)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；(2)求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，解方程即可得到A、B的坐標(biāo)，將代入即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）把二次函數(shù)的解析式配方成頂點(diǎn)式，然后寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，∴，∴，將代入得：∴（2）∵∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是：【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)和配方求頂點(diǎn)，掌握函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)的坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}十六、二次函數(shù)的應(yīng)用之增長率問題1．（2023·福建·九年級專題練習(xí)）根據(jù)福建省統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省年的地區(qū)生產(chǎn)總值為億元，年的地區(qū)生產(chǎn)總值為億元．設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解．【詳解】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江杭州·八年級?？计谥校榱俗屴r(nóng)民能種植高產(chǎn)、易發(fā)芽的種子，某農(nóng)科實(shí)驗(yàn)基地大力開展種子實(shí)驗(yàn)．該實(shí)驗(yàn)基地兩年前有100種種子，經(jīng)過兩年不斷地努力，現(xiàn)在已有144種種子．若培育的種子平均每年的增長率為x，則x的值為．【答案】20%【分析】利用該實(shí)驗(yàn)基地現(xiàn)在擁有的種子種數(shù)＝該實(shí)驗(yàn)基地兩年前擁有的種子種數(shù)×(1+培育的種子平均每年的增長率)2，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：(不符合題意，舍去)，∴x的值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）某公司月份的營收為萬元，設(shè)每個(gè)月營收的增長率相同，且為，月份的營收為萬元，寫出關(guān)于的函數(shù)解析．【答案】【分析】設(shè)每月增長率都為，所以5月份的營收為萬元，6月份的營收為萬元．【詳解】解：因?yàn)樵路莸臓I收為萬元，月份起，每月增長率都為，所以月份的營收為萬元，月份的營收為萬元．∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}十七、二次函數(shù)的應(yīng)用之拱橋問題1．（2023·山西大同·大同一中?？寄M預(yù)測）如圖，有一個(gè)截面邊緣為拋物線型的水泥門洞．門洞內(nèi)的地面寬度為，兩側(cè)距地面高處各有一盞燈，兩燈間的水平距離為，則這個(gè)門洞內(nèi)部頂端離地面的距離為（）

A． B．8 C． D．【答案】D【分析】建立直角坐標(biāo)系，得到二次函數(shù)，門洞高度即為二次函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo).【詳解】解：如圖，以地面為x軸，門洞中點(diǎn)為O點(diǎn)，畫出y軸，建立直角坐標(biāo)系，

由題意可知各點(diǎn)坐標(biāo)為，，，設(shè)拋物線解析式為把B、D兩點(diǎn)帶入解析式，∴，解得：，∴解析式為，則，所以這個(gè)門洞內(nèi)部頂端離地面的距離為，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的簡單應(yīng)用，能夠建立直角坐標(biāo)系解出二次函數(shù)解析式是本題關(guān)鍵.2．（2023·江西吉安·統(tǒng)考一模）如圖1，某地大橋橋拱形狀近似拋物線，其高度約為20米，跨度為120米，以橋底部（正好為水面）所在直線為軸，以橋拱最高點(diǎn)到水面的垂線的垂足為原點(diǎn)O建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，則該拋物線的表達(dá)式為．【答案】【分析】設(shè)拋物線解析式為，根據(jù)題意可得，拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，代入即可求出．【詳解】解：設(shè)拋物線解析式為，由題意可知：，拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，把、，代入得：，解得：，∴拋物線解析式為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求拋物線解析式，正確設(shè)出解析式和確定點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·山西晉城·九年級?？计谀┤鐖D，有一個(gè)橫截面為拋物線形狀的隧道，隧道底部寬為，拱頂內(nèi)高．把截面圖形放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中（原點(diǎn)O是的中點(diǎn)）．

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果該隧道設(shè)計(jì)為車輛雙向通行，規(guī)定車輛必須在中心黃線兩側(cè)行駛，那么一輛寬，高的大型貨運(yùn)卡車是否可以通過？為什么？【答案】(1)(2)一輛寬，高的大型貨運(yùn)卡車可以通過，理由見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）求出當(dāng)時(shí)，x的值，再根據(jù)車輛寬且只能在中心的兩側(cè)行駛進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為，設(shè)拋物線解析式為，把代入得，解得，∴拋物線解析式為；（2）解：一輛寬，高的大型貨運(yùn)卡車可以通過，理由如下：在中，當(dāng)時(shí)，解得，∵，∴，∴一輛寬，高的大型貨運(yùn)卡車可以通過．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確求出對應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}十八、二次函數(shù)的應(yīng)用之銷售問題1．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）2022年新冠病毒變異株奧密克戎來勢洶洶，為了更好地讓顧客做好防護(hù)，某商場銷售一款升級版的KN95口罩，市場信息顯示，銷售這種口罩，每天所獲的利潤y（元）與售價(jià)x（元/個(gè)）之間關(guān)系式滿足，第一天將售價(jià)定為16元/個(gè)，當(dāng)天獲利132元，第二天將售價(jià)定為20元/個(gè)，當(dāng)天獲利180元．則這種口罩的成本價(jià)是多少元/個(gè)？（單位利潤=售價(jià)?成本價(jià)）（

）A．10 B．12 C．14 D．15【答案】A【分析】根據(jù)題意列方程組求出二次函數(shù)的解析式，再列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：由題意知：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，代入中，得，解得：，∴，當(dāng)每天利潤為0元時(shí)，售價(jià)即為成本價(jià)．令，解得：，由題意可知38不符合條件，∴，∴這種口罩的成本價(jià)是10元/個(gè)；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元/件．試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為150件：銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件，設(shè)銷售單價(jià)為x（元），每天的銷售量為y（件），每天所得的銷售利潤w（元）．則當(dāng)銷售單價(jià)為元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤．【答案】301000【分析】先表示出漲了元，銷售量少件，現(xiàn)在的銷售量為件，再利用公式總利潤單利潤銷售量即可求解．【