人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題06二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【九大題型】(原卷版+解析)

專題06二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【九大題型】【題型目錄】【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2的圖象的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值0．向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值0．的性質(zhì)：上加下減的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．的性質(zhì)：左加右減的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．的性質(zhì)：左加右減，上加下減的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．一般式：（，，為常數(shù)，）；函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減??；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小．簡(jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)的圖象與a，b，c的關(guān)系學(xué)生對(duì)二次函數(shù)中字母系數(shù)a、b、c及其關(guān)系式的符號(hào)判斷常有些不知所措，這里介紹幾個(gè)口訣來(lái)幫助同學(xué)們解惑．1．基礎(chǔ)四看“基礎(chǔ)四看”是指看開口，看對(duì)稱軸，看與y軸的交點(diǎn)位置，看與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．“四看”是對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象最初步的認(rèn)識(shí)，而且這些判斷都可以通過圖象直接得到，同時(shí)還可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用．2．組合二看(1)三全看點(diǎn)在a、b、c間的加減組合式中，最常見的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等類型的式子，這類式子a、b、c三個(gè)字母都在，并且c的系數(shù)通常為1，這時(shí)只要取x為b前的系數(shù)代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，從而由其對(duì)應(yīng)的y的值時(shí)進(jìn)行判斷即可．(2)有缺看軸當(dāng)a、b、c三個(gè)字母只出現(xiàn)兩個(gè)間的組合時(shí)，這時(shí)對(duì)同學(xué)們來(lái)講難度是較大的，如何解決呢？其實(shí)我們只要想一想為什么會(huì)少一個(gè)字母，這個(gè)問題就可以較好的解決．少一個(gè)字母的原因就是因?yàn)橛袑?duì)稱軸為我們提供了a、b之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如果少的是字母c，則直接用對(duì)稱軸提供的信息即可解決；如果少的是字母a或b，則可利用對(duì)稱軸提供的a、b間轉(zhuǎn)換信息，把a(bǔ)（或b）用b（或a）代換即可．3．取值計(jì)算當(dāng)解題感到無(wú)從下手時(shí)，可以嘗試取值法，只要根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)及所給出的數(shù)據(jù)（或范圍），取相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式中，求出其字母系數(shù)，即可進(jìn)行相關(guān)判斷．二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是弄清楚圖象的開口方向、對(duì)稱軸的位置、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及其圖象中特殊點(diǎn)的位置，確定出與0的大小關(guān)系及含有的代數(shù)式的值的大小關(guān)系.(1)決定開口方向:當(dāng)時(shí)拋物線開口向上;當(dāng)時(shí)拋物線開口向下.(2)共同決定拋物線的對(duì)稱軸位置:當(dāng)同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè);當(dāng)異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè)(可以簡(jiǎn)稱為“左同右異”);當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為軸.(3)決定與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo):當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于正半軸;當(dāng)時(shí)，圖象過原點(diǎn);當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于負(fù)半軸.(4)的值決定了拋物線與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù):當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí)，拋物線與軸沒有交點(diǎn).(5)的符號(hào)由時(shí)，的值確定:若，則;若，則.(6)的符號(hào)由時(shí)，的值確定:若，則;若，則.知識(shí)點(diǎn)四：二次函數(shù)圖象的平移由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，拋物線()的圖象是由拋物線()的圖象平移得到的.在平移時(shí)，不變(圖象的形狀、大小不變)，只是頂點(diǎn)坐標(biāo)中的或發(fā)生變化(圖象的位置發(fā)生變化)。平移規(guī)律是“左加右減，上加下減”，左、右沿軸平移，上、下沿軸平移，即.因此，我們?cè)诮鉀Q拋物線平移的有關(guān)問題時(shí)，首先需要化拋物線的解析式為頂點(diǎn)式，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)上面的平移規(guī)律，解決與平移有關(guān)的問題，注意：(1)a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小.(2)理解并掌握平移的過程，由，的圖象與性質(zhì)及上下平移與左右平移的規(guī)律：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：平移規(guī)律：概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．【經(jīng)典例題一二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】【例1】（2023·山東泰安·?？既＃┤鐖D是二次函數(shù)圖象的一部分，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，直線是對(duì)稱軸，有下列結(jié)論：①；②；③若是拋物線上兩點(diǎn)，則；④；其中正確結(jié)論有（

）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考三模）拋物線的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，直線與拋物線都經(jīng)過點(diǎn)．則下列四個(gè)結(jié)論：①；②若與是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，則；③；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值為．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A．1 B．2 C．3 D．42．（2023·新疆克拉瑪依·統(tǒng)考二模）如圖是拋物線圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)A和點(diǎn)B均在直線上．①；②；③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為；④方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；⑤不等式的解集為．上述五個(gè)結(jié)論中，其中正確的結(jié)論是________（填寫序號(hào)即可）．

3．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）．（1）若點(diǎn)，在函數(shù)圖像上，則______（填“>”、“<”或“=”）；（2）當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是_______．【經(jīng)典例題二二次函數(shù)圖象的平移與對(duì)稱問題】【例2】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）將拋物線（a、b是常數(shù)，）向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的新拋物線恰好和拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，則a、b的值為（

）A．， B．， C．， D．，【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”，將拋物線沿軸向下平移個(gè)單位，使其平移后的拋物線恰好只有一個(gè)“好點(diǎn)”，則的值為（

）A． B． C．2 D．2．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線截得坐標(biāo)軸上的線段長(zhǎng)，D為的頂點(diǎn)，拋物線由平移得到，截得軸上的線段長(zhǎng)．若過原點(diǎn)的直線被拋物線，所截得的線段長(zhǎng)相等，則這條直線的解析式為______．3．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)圖象與軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)及其函數(shù)表達(dá)式．(2)記圖象與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交圖象于另一點(diǎn)．將拋物線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與軸交于點(diǎn)點(diǎn)為右側(cè)的交點(diǎn)）．若，求的值．【經(jīng)典例題三利用二次函數(shù)的性質(zhì)求自變量的范圍】【例3】（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線（，為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上，其橫坐標(biāo)為，若該拋物線在點(diǎn)左側(cè)部分（包括點(diǎn)）的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．則的值為（

）A． B． C． D．或【變式訓(xùn)練】1．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）二次函數(shù)y＝x2+bx的對(duì)稱軸為直線x＝2，若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在﹣1＜x≤6的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（

）A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤122．（2022春·浙江金華·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示．當(dāng)直線與新函數(shù)的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的值為___3．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)在該二次函數(shù)上．①當(dāng)時(shí)，求的值；②當(dāng)時(shí)，的最小值為，求的取值范圍．【經(jīng)典例題四待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式】【例4】（2023·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）二次函數(shù)的自變量與函數(shù)的幾組對(duì)應(yīng)值如下表，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減少C．的值為 D．方程有兩個(gè)根、，且滿足【變式訓(xùn)練】1．（2023·上?！ぞ拍昙?jí)假期作業(yè)）已知拋物線與軸的公共點(diǎn)是，，將該拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸的直線，交拋物線于點(diǎn)，連接，若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段上，則________．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（m，n，k為常數(shù)且）．(1)若的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求該函數(shù)的表達(dá)式．(2)若函數(shù)的圖象始終經(jīng)過同一定點(diǎn)M．①求點(diǎn)M的坐標(biāo)和k的值．②若，當(dāng)時(shí)，總有，求的取值范圍．【經(jīng)典例題五根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求函數(shù)值】【例5】（2023·四川成都·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，下列說法正確的是（

）．A． B．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小C．點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為雅系點(diǎn)．已知二次函數(shù)的圖象上有且只有一個(gè)雅系點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2021春·浙江·九年級(jí)期末）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)在線段上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，連結(jié)并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_______．3．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)杭州綠城育華學(xué)校?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)圖象的表達(dá)式．其中．(1)若此函數(shù)圖象過點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式：(2)函數(shù)，若，為此二次函數(shù)圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)．①若，則，試求的值；②當(dāng)，對(duì)任意的都有，試求的取值范圍．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)與x、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)問題】【例6】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？既＃┮讶缍魏瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍為，則以下式子正確的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)?？级＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、D的橫坐標(biāo)分別為3和，其圖像與x軸圍成封閉圖形L，圖形L內(nèi)部（不包含邊界）恰有4個(gè)整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)），系數(shù)a的值可以是（

）

A． B． C． D．2．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是一個(gè)半圓和拋物線的一部分圍成的“芒果”．已知點(diǎn)分別是“芒果”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，是半圓的直徑，拋物線的解析式為，若長(zhǎng)為4，則圖中的長(zhǎng)為______．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為．(1)求a的值．(2)求二次函數(shù)在x軸上截得的線段長(zhǎng)的值．(3)對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，規(guī)定：當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的函數(shù)的最小值記作：，求的解析式．【經(jīng)典例題七利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】【例7】（2023·福建南平·統(tǒng)考二模）已知拋物線（為常數(shù)）的頂點(diǎn)不在拋物線（為常數(shù)）上，則應(yīng)滿足（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？级＃佄锞€G：與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將拋物線G沿直線平移得到拋物線H，若拋物線H與y軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的最大值是（

）．A． B． C． D．2．（2022秋·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)、，滿足且這兩點(diǎn)在對(duì)稱軸兩側(cè)，當(dāng)時(shí)，的最大值和最小值的差為，則的取值范圍是_______.3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）．(1)當(dāng)，時(shí)，求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求n關(guān)于m的函數(shù)解析式．(3)已知，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最大值8，求c的值．【經(jīng)典例題八二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的新定義問題】【例8】（2023·廣東深圳·?？家荒＃┪覀兌x一種新函數(shù)：形如的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組畫出一個(gè)“鵲橋”函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．當(dāng)直線與該圖像恰有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則D．關(guān)于的方程的所有實(shí)數(shù)根的和為4【變式訓(xùn)練】1．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義符號(hào)含義為：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)．如：，．則的最大值是（）A． B． C．1 D．02．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a⊕b＝ab＋a＋b，其中等式右邊是通常的加法、乘法運(yùn)算，例如2⊕3＝2×3＋2＋3＝11．若y關(guān)于x的函數(shù)y＝（kx＋1）⊕（x－1）圖象與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為_______．3．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：將二次函數(shù)在軸下方部分沿軸向上翻折，翻折后部分與原來(lái)末翻折部分形成一個(gè)新的函數(shù)，那么稱函數(shù)為原二次函數(shù)的有趣函數(shù)．(1)二次函數(shù)_______________（有/沒有）有趣函數(shù)．(2)已知二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)（1，0），（5，0），與軸交于點(diǎn)，求拋物線的解析式，并在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖像．(3)在（2）的條件下：①過點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．②若函數(shù)為原二次函數(shù)的有趣函數(shù)，畫出函數(shù)的圖像并求解當(dāng)函數(shù)的函數(shù)值大于2時(shí)，自變量的取值范圍（直接寫出答案）．【經(jīng)典例題九二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問題】【例9】（2023·遼寧遼陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為和4，設(shè)頂點(diǎn)為D，則下列結(jié)論：①；②；③；④若拋物線經(jīng)過，則關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根分別為，6；⑤當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西吉安·九年級(jí)江西省泰和中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三個(gè)不重合的點(diǎn)，，均在拋物線（）上，且，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．或2．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向右平移得，與x軸交于點(diǎn)B、D．若直線與、共有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是______．3．（2023·浙江寧波·校考二模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且經(jīng)過．

(1)求b和c的值；(2)點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，其中A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是、．①當(dāng)與D點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P在線段上，若線段與拋物線有公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的取值范圍．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結(jié)論：①函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；④當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④2．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)二次函數(shù)是實(shí)數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為 B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為 D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為3．（2023·內(nèi)蒙古包頭·校考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為和，若拋物線與線段有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023春·四川南充·九年級(jí)四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）方程有兩實(shí)根，，且滿足，那么k的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽六安·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，已知拋物線：．（1）該拋物線的對(duì)稱軸是；（2）若，，為拋物線上三點(diǎn)，且總有，結(jié)合圖象，則m的取值范圍是；6．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）把二次函數(shù)的圖像作關(guān)于x軸的對(duì)稱變換，所得圖像的解析式為，，若，則m的最大值是．7．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考二模）已知拋物線（m為常數(shù)）．若該拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則；若該拋物線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)都在拋物線對(duì)稱軸的同側(cè)，則m的取值范圍是．8．（2023·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考二模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，交軸正半軸于，直線過，是拋物線第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交直線于點(diǎn)，則的最大值為．

9．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）已知拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

(1)求該拋物線的解析式；(2)連接，，，P為的中點(diǎn)，連接，則線段的長(zhǎng)是______．10．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)結(jié)合函數(shù)圖象當(dāng)時(shí)，求自變量的取值范圍；(3)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)且到軸距離小于，結(jié)合函數(shù)的圖象求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍．11．（2023·浙江·一模）在平面直角坐標(biāo)系中有三個(gè)點(diǎn)：，二次函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)之中的兩個(gè)點(diǎn)．

(1)試推斷二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)之中的哪兩個(gè)點(diǎn)？請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；(2)求常數(shù)與的值；(3)將二次函數(shù)的圖象先向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，如果平移后所得新二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn)，連、，請(qǐng)判斷的形狀，并證明你的判斷12．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？既＃┪覀兗s定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖像上至少存在不同的兩點(diǎn)，滿足，則稱此函數(shù)為關(guān)于d的“函數(shù)”，這兩點(diǎn)叫做一對(duì)關(guān)于d的“點(diǎn)”．(1)下列函數(shù)中，其圖象上至少存在一對(duì)關(guān)于1的“點(diǎn)”的，請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)題目后面橫線上“√”，不存在的打“×”：①；②；③；(2)若關(guān)于3的“函數(shù)”的圖象和反比例函數(shù)第四象限的圖象交于兩點(diǎn)，求的面積；(3)關(guān)于x的函數(shù)G：是關(guān)于t的“函數(shù)”，記函數(shù)H為（為常數(shù)，），常數(shù)h的圖象經(jīng)過三點(diǎn)，且，若函數(shù)G的圖像和函數(shù)H的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求線段長(zhǎng)的取值范圍．

專題06二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)【九大題型】【題型目錄】【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2的圖象的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，有最小值0．向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值0．的性質(zhì)：上加下減的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．的性質(zhì)：左加右減的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．的性質(zhì)：左加右減，上加下減的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．一般式：（，，為常數(shù)，）；函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。?jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)的圖象與a，b，c的關(guān)系學(xué)生對(duì)二次函數(shù)中字母系數(shù)a、b、c及其關(guān)系式的符號(hào)判斷常有些不知所措，這里介紹幾個(gè)口訣來(lái)幫助同學(xué)們解惑．1．基礎(chǔ)四看“基礎(chǔ)四看”是指看開口，看對(duì)稱軸，看與y軸的交點(diǎn)位置，看與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．“四看”是對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象最初步的認(rèn)識(shí)，而且這些判斷都可以通過圖象直接得到，同時(shí)還可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用．2．組合二看(1)三全看點(diǎn)在a、b、c間的加減組合式中，最常見的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等類型的式子，這類式子a、b、c三個(gè)字母都在，并且c的系數(shù)通常為1，這時(shí)只要取x為b前的系數(shù)代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，從而由其對(duì)應(yīng)的y的值時(shí)進(jìn)行判斷即可．(2)有缺看軸當(dāng)a、b、c三個(gè)字母只出現(xiàn)兩個(gè)間的組合時(shí)，這時(shí)對(duì)同學(xué)們來(lái)講難度是較大的，如何解決呢？其實(shí)我們只要想一想為什么會(huì)少一個(gè)字母，這個(gè)問題就可以較好的解決．少一個(gè)字母的原因就是因?yàn)橛袑?duì)稱軸為我們提供了a、b之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如果少的是字母c，則直接用對(duì)稱軸提供的信息即可解決；如果少的是字母a或b，則可利用對(duì)稱軸提供的a、b間轉(zhuǎn)換信息，把a(bǔ)（或b）用b（或a）代換即可．3．取值計(jì)算當(dāng)解題感到無(wú)從下手時(shí)，可以嘗試取值法，只要根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)及所給出的數(shù)據(jù)（或范圍），取相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式中，求出其字母系數(shù)，即可進(jìn)行相關(guān)判斷．二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是弄清楚圖象的開口方向、對(duì)稱軸的位置、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及其圖象中特殊點(diǎn)的位置，確定出與0的大小關(guān)系及含有的代數(shù)式的值的大小關(guān)系.(1)決定開口方向:當(dāng)時(shí)拋物線開口向上;當(dāng)時(shí)拋物線開口向下.(2)共同決定拋物線的對(duì)稱軸位置:當(dāng)同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè);當(dāng)異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè)(可以簡(jiǎn)稱為“左同右異”);當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為軸.(3)決定與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo):當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于正半軸;當(dāng)時(shí)，圖象過原點(diǎn);當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于負(fù)半軸.(4)的值決定了拋物線與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù):當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí)，拋物線與軸沒有交點(diǎn).(5)的符號(hào)由時(shí)，的值確定:若，則;若，則.(6)的符號(hào)由時(shí)，的值確定:若，則;若，則.知識(shí)點(diǎn)四：二次函數(shù)圖象的平移由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，拋物線()的圖象是由拋物線()的圖象平移得到的.在平移時(shí)，不變(圖象的形狀、大小不變)，只是頂點(diǎn)坐標(biāo)中的或發(fā)生變化(圖象的位置發(fā)生變化)。平移規(guī)律是“左加右減，上加下減”，左、右沿軸平移，上、下沿軸平移，即.因此，我們?cè)诮鉀Q拋物線平移的有關(guān)問題時(shí)，首先需要化拋物線的解析式為頂點(diǎn)式，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)上面的平移規(guī)律，解決與平移有關(guān)的問題，注意：(1)a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小.(2)理解并掌握平移的過程，由，的圖象與性質(zhì)及上下平移與左右平移的規(guī)律：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：平移規(guī)律：概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．【經(jīng)典例題一二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)之間的關(guān)系】【例1】（2023·山東泰安·校考三模）如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，直線是對(duì)稱軸，有下列結(jié)論：①；②；③若是拋物線上兩點(diǎn)，則；④；其中正確結(jié)論有（

）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)稱軸為求出，即可判定①；求出二次函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，即可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)開口向下，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大即可判斷③；求出，結(jié)合即可判斷④．【詳解】解：二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，，即，故①正確；二次函數(shù)經(jīng)過，二次函數(shù)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，故②正確；拋物線開口向下，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，是拋物線上兩點(diǎn)，，且，，故③正確；，，，即，故④正確；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考三模）拋物線的部分圖象如圖所示，對(duì)稱軸為直線，直線與拋物線都經(jīng)過點(diǎn)．則下列四個(gè)結(jié)論：①；②若與是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，則；③；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值為．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用圖象的信息與已知條件求得、的符號(hào)，的關(guān)系式，利用待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)每個(gè)結(jié)論進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：拋物線的開口方向向下，與軸的交點(diǎn)在正半軸，，．，①正確；拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為，，，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。谡_；拋物線的對(duì)稱軸為直線，，，直線與拋物線都經(jīng)過點(diǎn)，．拋物線一定經(jīng)過點(diǎn)，，，直線與拋物線都經(jīng)過點(diǎn)，．，，，即，③正確當(dāng)時(shí)，，，，，④正確；綜上，結(jié)論正確的有：①②③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用已知條件求得、的符號(hào)，、的關(guān)系式，、的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·新疆克拉瑪依·統(tǒng)考二模）如圖是拋物線圖象的一部分，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)A和點(diǎn)B均在直線上．①；②；③拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為；④方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；⑤不等式的解集為．上述五個(gè)結(jié)論中，其中正確的結(jié)論是________（填寫序號(hào)即可）．

【答案】①⑤/⑤①【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸是，即可判斷①；由拋物線的開口方向，對(duì)稱軸以及圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置得出的取值范圍，即可判斷②；利用拋物線的對(duì)稱性可得出拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，即可判斷③；利用拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，即可判斷④；結(jié)合一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖象即可判斷⑤．【詳解】∵拋物線的對(duì)稱軸是，∴，即．故①正確；∵拋物線開口向上，∴．∴．∵拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方，∴．∴．故②錯(cuò)誤；∵拋物線的對(duì)稱軸是，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．故③錯(cuò)誤；∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)．∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．故④錯(cuò)誤；∵當(dāng)時(shí)，，∴不等式的解集為．故⑤正確；故答案是①⑤．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)與方程，利用一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象求不等式的解集等知識(shí)，準(zhǔn)確識(shí)圖，從圖象中獲取相關(guān)信息是解題的關(guān)鍵，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)形思想．3．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)（為常數(shù)，且）．（1）若點(diǎn)，在函數(shù)圖像上，則______（填“>”、“<”或“=”）；（2）當(dāng)時(shí)，，則的取值范圍是_______．【答案】<且【分析】（1）先求出，然后分三種情況討論即可；（2）先求出拋物線與軸的交點(diǎn)，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在范圍內(nèi)分和兩種情況確定函數(shù)的最大值，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)，在函數(shù)圖像上，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．（2）∵二次函數(shù)，整理可得：，由（1）可知：當(dāng)時(shí)，解得：，，∴二次函數(shù)的圖像交軸于和兩點(diǎn)，對(duì)稱軸，當(dāng)時(shí)，，∴二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由（2）可知：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的圖像開口向上，∵，∴，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)圖像開口向下，∵對(duì)稱軸，當(dāng)，即時(shí)，∴二次函數(shù)圖像在頂點(diǎn)處取得最大值，∴，解得：，∴，當(dāng)，即，由題意可知，，解得：，即a=-2；綜上所述，當(dāng)時(shí)，，的取值范圍是：，且．故答案為：<，且．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，作差法比較函數(shù)值的大小，解一元二次方程，解不等式（組）等知識(shí)，采用了分情況討論的解題方法．解題的關(guān)鍵是在某一范圍內(nèi)的函數(shù)最大值的確定．【經(jīng)典例題二二次函數(shù)圖象的平移與對(duì)稱問題】【例2】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）將拋物線（a、b是常數(shù)，）向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的新拋物線恰好和拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，則a、b的值為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【分析】先求出拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線為，再根據(jù)拋物線平移的性質(zhì)得出拋物線向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后為，即可得出a和b的值．【詳解】解：∵，∴拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線為，∵拋物線向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后為，∵與關(guān)于y軸對(duì)稱，∴，整理得：，∴，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式的方法和步驟，以及二次函數(shù)的平移規(guī)律：上加下減，左加右減．【變式訓(xùn)練】1．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”，將拋物線沿軸向下平移個(gè)單位，使其平移后的拋物線恰好只有一個(gè)“好點(diǎn)”，則的值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意將化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”及新定義即可解答．【詳解】解：∵拋物線的解析式為：，∴，∴將拋物線沿軸向下平移個(gè)單位新的函數(shù)解析式為，∵在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”，設(shè)新拋物線上這個(gè)好點(diǎn)為，∴，∴整理得：，∵平移后的拋物線恰好只有一個(gè)“好點(diǎn)”，∴，∴，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，平面直角坐標(biāo)系的新定義，掌握二次函數(shù)的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線截得坐標(biāo)軸上的線段長(zhǎng)，D為的頂點(diǎn)，拋物線由平移得到，截得軸上的線段長(zhǎng)．若過原點(diǎn)的直線被拋物線，所截得的線段長(zhǎng)相等，則這條直線的解析式為______．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，待定系數(shù)求得拋物線，的解析式，設(shè)過原點(diǎn)的直線解析式為，過原點(diǎn)的直線被拋物線，所截得的線段長(zhǎng)相等，即可求解．【詳解】解：∵拋物線截得坐標(biāo)軸上的線段長(zhǎng)，D為的頂點(diǎn)，，，設(shè)的解析式為，代入，得，，解得：，∴的解析式為，∵拋物線由平移得到，截得軸上的線段長(zhǎng)．∴，則的解析式為，即設(shè)過原點(diǎn)的直線解析式為，與，分別交于點(diǎn)，如圖所示，聯(lián)立，即，∴，，∴、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差為，聯(lián)立，即，∴，，∴、兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差為，∵∴，解得，故直線解析式為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，將一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)之差是解決本題的關(guān)鍵.3．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)圖象與軸的另一交點(diǎn)的坐標(biāo)及其函數(shù)表達(dá)式．(2)記圖象與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交圖象于另一點(diǎn)．將拋物線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，與軸交于點(diǎn)點(diǎn)為右側(cè)的交點(diǎn)）．若，求的值．【答案】(1)拋物線解析式為；(2)【分析】（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再令，解方程求出點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先根據(jù)對(duì)稱性求出的坐標(biāo)，再求出，設(shè)平移后的解析式為，再根據(jù)，求出坐標(biāo)，在代入平移后的解析式即可求出．【詳解】（1）解：由題意得：，解得，拋物線解析式為；令，則，解得，，；（2）令，則，，對(duì)稱軸為直線，，，拋物線向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為，，，，把代入得：，解得．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是求出拋物線解析式．【經(jīng)典例題三利用二次函數(shù)的性質(zhì)求自變量的范圍】【例3】（2023秋·浙江寧波·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線（，為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上，其橫坐標(biāo)為，若該拋物線在點(diǎn)左側(cè)部分（包括點(diǎn)）的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．則的值為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】首先通過待定系數(shù)法求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)，再分類討論點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)及左側(cè)兩種情況，分別求出頂點(diǎn)為最低點(diǎn)和點(diǎn)P為最低點(diǎn)時(shí)m的值即可．【詳解】解：將，分別代入得，解得，，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，拋物線頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，，解得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為最低點(diǎn)，將代入得，解得(舍)，，或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程的關(guān)系，通過數(shù)形結(jié)合求解．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）二次函數(shù)y＝x2+bx的對(duì)稱軸為直線x＝2，若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t為實(shí)數(shù)）在﹣1＜x≤6的范圍內(nèi)有解，則t的取值范圍是（

）A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)稱軸方程可得b=-4，可得二次函數(shù)解析式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-4），關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解為二次函數(shù)y＝x2﹣4x與直線y＝t的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)﹣1＜x≤6時(shí)，﹣4≤t≤12，進(jìn)而求解；【詳解】∵對(duì)稱軸為直線x＝2，∴，∴b＝﹣4，∴二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣4x，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-4），∵﹣1＜x≤6，∴當(dāng)x=-1時(shí)，y=5，當(dāng)x=6時(shí)，y=12，∴二次函數(shù)y的取值范圍為﹣4≤t≤12，∵關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解為y＝x2﹣4x與直線y＝t的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴﹣4≤t≤12，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一元二次方程的解；將一元二次方程的解轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)與直線交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合的解決問題是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·浙江金華·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將二次函數(shù)的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數(shù)的圖象如圖所示．當(dāng)直線與新函數(shù)的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的值為___【答案】或【分析】分兩種情形：如圖，當(dāng)直線y=x+b過點(diǎn)B時(shí)，直線y=x+b與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線y=x+b與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線y=x+b與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，分別求解即可．【詳解】解：二次函數(shù)解析式為，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），當(dāng)y=0時(shí)，，解得，則拋物線與x軸的交點(diǎn)為A（-1，0），B（3，0），把拋物線圖象x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，則翻折部分的拋物線解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)M（1，-4），如圖，當(dāng)直線y=x+b過點(diǎn)B時(shí)，直線y=x+b與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，∴3+b=0，解得b=-3；當(dāng)直線y=x+b與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線y=x+b與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，即有相等的實(shí)數(shù)解，整理得，，解得b=，所以b的值為-3或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，確定翻折后拋物線的關(guān)系式；利用數(shù)形結(jié)合的方法是解本題的關(guān)鍵，畫出函數(shù)圖象是解本題的難點(diǎn)．3．（2023春·浙江杭州·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的解析式；(2)點(diǎn)在該二次函數(shù)上．①當(dāng)時(shí)，求的值；②當(dāng)時(shí)，的最小值為，求的取值范圍．【答案】(1)該二次函數(shù)的解析式為.(2)①的值為或；②【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得即可；（2）①把代入，即可求得；②把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，求得函數(shù)的最小值為，所以，即．【詳解】（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把點(diǎn)代入得，解得，，該二次函數(shù)的解析式為；（2）①時(shí)，則，解得，；故的值為或；，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值，故的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式】【例4】（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）二次函數(shù)的自變量與函數(shù)的幾組對(duì)應(yīng)值如下表，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減少C．的值為 D．方程有兩個(gè)根、，且滿足【答案】D【分析】根據(jù)題意待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)解析式逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：將點(diǎn)代入，得解得：∴拋物線解析式為，∴，∴，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵，∴對(duì)稱軸為直線，開口向上，當(dāng)時(shí)，的值隨值的增大而減少，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)與時(shí)，函數(shù)值相等，即，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；方程即，，∴有兩個(gè)根、，∴，故D選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·上海·九年級(jí)假期作業(yè)）已知拋物線與軸的公共點(diǎn)是，，將該拋物線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，利用交點(diǎn)式，設(shè)平移后的拋物線解析式為，接著把把代入求得，于是原拋物線的解析式可設(shè)為，然后化為一般式得到、、的值，從而可計(jì)算出的值．【詳解】解：點(diǎn)，向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，設(shè)平移后的拋物線解析式為，把代入得，解得，原拋物線的解析式為，即，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)(是常數(shù)，)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)圖象與幾何變換．2．（2023春·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于軸的直線，交拋物線于點(diǎn)，連接，若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段上，則________．【答案】【分析】令代入得或，則，過A作軸，E為垂足，則，而軸，則，又點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段上，則，即，故，即可求得，把D點(diǎn)的坐標(biāo)代入，即可求解．【詳解】解：令代入得或，∴，過A作軸，E為垂足，則，∵軸，∴，又點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好落在線段上，∴，即，∴，則，∴，把代入得：，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用勾股定理求出的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（m，n，k為常數(shù)且）．(1)若的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求該函數(shù)的表達(dá)式．(2)若函數(shù)的圖象始終經(jīng)過同一定點(diǎn)M．①求點(diǎn)M的坐標(biāo)和k的值．②若，當(dāng)時(shí)，總有，求的取值范圍．【答案】(1)(2)①，；②【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先求出函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)，則，且在函數(shù)的圖象上，由此把代入解析式中求出k的值即可；②先求出拋物線的對(duì)稱軸在定點(diǎn)的左側(cè)，再結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值要大于等于二次函數(shù)的函數(shù)值，由此建立不等式求解即可．【詳解】（1）解：把代入中得：，解得，∴；（2）解：①在中，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)，∵函數(shù)的圖象始終經(jīng)過同一定點(diǎn)M，∴，且在函數(shù)的圖象上，∴，∴；②∵，拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴拋物線的對(duì)稱軸在定點(diǎn)的左側(cè)，由①得，∵，當(dāng)時(shí)，總有，∴如圖所示，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值要大于等于二次函數(shù)的函數(shù)值∴

∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【經(jīng)典例題五根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求函數(shù)值】【例5】（2023·四川成都·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，下列說法正確的是（

）．A． B．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小C．點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．【答案】D【分析】由題意可得出該二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，再根據(jù)點(diǎn)A坐標(biāo)為，即得出，可判斷C；結(jié)合A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)可判斷其圖象開口向上，可判斷A；根據(jù)對(duì)稱軸為直線，圖象開口向上，即得出當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，可判斷B；根據(jù)圖象開口向上，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，即得出當(dāng)時(shí)，，代入，即得出，可判斷D．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴對(duì)稱軸為直線，∴，故C錯(cuò)誤，不合題意；∵二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線開口向上，∴，故A錯(cuò)誤，不合題意；∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，故B錯(cuò)誤，不合題意；∵二次函數(shù)的圖象開口向上，與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，∴時(shí)，，∴，故D正確，符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點(diǎn)P為雅系點(diǎn)．已知二次函數(shù)的圖象上有且只有一個(gè)雅系點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解二次函數(shù)與直線的方程，由得，方程的根為，從而求出，所以函數(shù)解析式為，根據(jù)函數(shù)解析式求得頂點(diǎn)坐標(biāo)與縱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)y的取值，即可確定x的取值范圍．【詳解】解：令，即，由題意，，即，又方程的根為，解得，故函數(shù)是∴函數(shù)圖象開口向下，頂點(diǎn)為，與y軸交點(diǎn)為，由對(duì)稱性，該函數(shù)圖象也經(jīng)過，由于函數(shù)圖象在對(duì)稱軸左側(cè)y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，最大值為，∴，故選：C．．【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)及根的判別式等知識(shí)，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題的關(guān)鍵．2．（2021春·浙江·九年級(jí)期末）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)在線段上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，連結(jié)并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_______．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的解析式得到點(diǎn)的坐標(biāo)與對(duì)稱軸，結(jié)合求得的直線解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求得的直線解析式，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)求得的值，代入點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得．【詳解】與軸交于點(diǎn)，，設(shè)的直線解析式為：，，，代入得：，，令，，，是拋物線的對(duì)稱軸，和關(guān)于對(duì)稱，設(shè)，，解得，則，又關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，，解得，，設(shè)的直線解析式為：，,，，解得：，，令，解得：，，；，，即，解得：，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像，一次函數(shù)的待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性確定坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)杭州綠城育華學(xué)校?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，二次函數(shù)圖象的表達(dá)式．其中．(1)若此函數(shù)圖象過點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式：(2)函數(shù)，若，為此二次函數(shù)圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)．①若，則，試求的值；②當(dāng)，對(duì)任意的都有，試求的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）直接將點(diǎn)代入即可；（2）①利用題意，由，求解a；②由已知當(dāng)，對(duì)任意的都有，二次函數(shù)是遞增的，結(jié)合圖象即可求解．【詳解】（1）解：∵函數(shù)圖象過點(diǎn)，∴將點(diǎn)代入,解得，∴二次函數(shù)的解析式為；（2）解：①函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，，為此二次函數(shù)圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且，則，，；②函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，，對(duì)任意的都有，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不符合題意舍去；．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，能夠結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六二次函數(shù)與x、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)問題】【例6】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)校考三模）已如二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍為，則以下式子正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出，開口向上，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，得出的兩根為，，然后根據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)依次判斷即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍為，∴，開口向上，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，∴對(duì)稱軸為，∴，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；∵當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍為，∴即，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；將點(diǎn)代入解析式得：，∴，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；∵與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，∴的兩根為，，∴，∴，選項(xiàng)D正確，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，理解題意，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十二中學(xué)?？级＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、D的橫坐標(biāo)分別為3和，其圖像與x軸圍成封閉圖形L，圖形L內(nèi)部（不包含邊界）恰有4個(gè)整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)），系數(shù)a的值可以是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】依照題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出關(guān)于a的不等式組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、D的橫坐標(biāo)分別為3和，∴二次函數(shù)解析式為，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，，，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，如圖所示，∵圖形L內(nèi)部（不包含邊界）恰有4個(gè)整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)），∴，解得，∴四個(gè)選項(xiàng)中只有B選項(xiàng)符合題意，故選B．

【點(diǎn)睛】考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，解題時(shí)，利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，難度較大．2．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)校考期中）如圖，是一個(gè)半圓和拋物線的一部分圍成的“芒果”．已知點(diǎn)分別是“芒果”與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，是半圓的直徑，拋物線的解析式為，若長(zhǎng)為4，則圖中的長(zhǎng)為______．【答案】6【分析】根據(jù)題意得，點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式為即可求得拋物線的解析式，令，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：長(zhǎng)為4，是半圓的直徑，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式為，得，，解得，拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是求出拋物線的解析式，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為．(1)求a的值．(2)求二次函數(shù)在x軸上截得的線段長(zhǎng)的值．(3)對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，規(guī)定：當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的函數(shù)的最小值記作：，求的解析式．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把代入解析式即可；（2）根據(jù)（1）求出的解析式，令，解方程求出和，然后求出即可；（3）先求出的解析式，再根據(jù)的對(duì)稱軸，然后分，，三種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為，∴，解得，∴a的值為；（2）解：由（1）知，，∴，令，則，解得，，∴，∴二次函數(shù)在x軸上截得的線段長(zhǎng)的值為；（3）解：∵，∴，∴對(duì)稱軸為，當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最小值，∴；當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，有最小值，∴；當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最小值，∴，綜上所述，的解析式為：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題七利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】【例7】（2023·福建南平·統(tǒng)考二模）已知拋物線（為常數(shù)）的頂點(diǎn)不在拋物線（為常數(shù)）上，則應(yīng)滿足（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)樵擁旤c(diǎn)不在拋物線上，所以將該點(diǎn)坐標(biāo)代入中，不能使等式成立，據(jù)此分析的取值范圍．【詳解】解：，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，又拋物線的頂點(diǎn)不在拋物線上，，即，又，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用配方法解決二次函數(shù)及二次方程的問題是本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東廣州·廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？级＃佄锞€G：與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，將拋物線G沿直線平移得到拋物線H，若拋物線H與y軸交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的最大值是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，進(jìn)而求出直線的解析式為，再推出拋物線G沿直線平移得到拋物線H，則拋物線H的頂點(diǎn)坐標(biāo)一定在直線上，設(shè)拋物線H的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線H的解析式為，進(jìn)而求出，則的最大值為．【詳解】解：在中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為，∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，即拋物線的頂點(diǎn)在直線上，∴拋物線G沿直線平移得到拋物線H，則拋物線H的頂點(diǎn)坐標(biāo)一定在直線上，設(shè)拋物線H的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴拋物線H的解析式為，在中，令，則，∴的最大值為，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)圖象的平移，推出拋物線H的頂點(diǎn)坐標(biāo)一定在直線上是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)、，滿足且這兩點(diǎn)在對(duì)稱軸兩側(cè)，當(dāng)時(shí)，的最大值和最小值的差為，則的取值范圍是_______.【答案】【分析】分兩種情形：當(dāng)，在對(duì)稱軸的異側(cè)，且時(shí)，當(dāng)，在對(duì)稱軸的異側(cè)，時(shí)，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當(dāng)，在對(duì)稱軸的異側(cè)，且時(shí)，，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，，，，，，函數(shù)的最大值為，最小值為，，即，，，，，，；當(dāng)，在對(duì)稱軸的異側(cè)，時(shí)，，，，，，函數(shù)的最大值為，最小值為，，即，，，，，，；綜上所述，的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱，解不等式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想，分類思考問題．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)（b，c是常數(shù)）．(1)當(dāng)，時(shí)，求該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，當(dāng)該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，求n關(guān)于m的函數(shù)解析式．(3)已知，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最大值8，求c的值．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和已知條件得到，，，，進(jìn)而求解即可；（3）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，開口向下，分、、三種情況，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)，時(shí)，，∴當(dāng)，時(shí)，該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：∵該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，則，∵該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，∴，，∴，，∴，即；（3）解：當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，開口向下，∵，∴當(dāng)即時(shí)，該函數(shù)的最大值為，即，解得，，不合題意，舍去；當(dāng)即時(shí)，時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值為，不合題意，舍去；當(dāng)即時(shí)，時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值為，解得，符合題意，綜上，滿足條件的c的值為2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用分類討論思想求解第（3）問是解答的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的新定義問題】【例8】（2023·廣東深圳·?？家荒＃┪覀兌x一種新函數(shù)：形如的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組畫出一個(gè)“鵲橋”函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．當(dāng)直線與該圖像恰有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則D．關(guān)于的方程的所有實(shí)數(shù)根的和為4【答案】D【分析】由是函數(shù)圖像和x軸的交點(diǎn)，解得：可判斷A、B錯(cuò)誤；由圖像可判斷C錯(cuò)誤；由題意可得或，利用根與系數(shù)的關(guān)系可判斷D正確．【詳解】解：是函數(shù)圖像和x軸的交點(diǎn)，，解得：，，故A、B錯(cuò)誤；如下圖，當(dāng)直線與該圖像恰有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該有2條直線，故C錯(cuò)誤；關(guān)于x的方程，即或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，關(guān)于x的方程的所有實(shí)數(shù)根的和為，故D正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、新定義、二次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義符號(hào)含義為：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)．如：，．則的最大值是（）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】的含義就是取二者中的較小值，畫出函數(shù)圖象草圖，利用函數(shù)圖象的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：在同一坐標(biāo)系中，畫出二次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象，如圖所示，設(shè)它們交于點(diǎn)A、B，令，即，解得：或，∴A（，），B（，），觀察圖象可知：①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)值隨x的增大而增大，其最大值為；②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)值隨x的增大而減小，其最大值為小于；③當(dāng)時(shí)，，函數(shù)值隨x的增大而減小，最大值為．綜上所述，的最大值是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，充分理解定義和掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a⊕b＝ab＋a＋b，其中等式右邊是通常的加法、乘法運(yùn)算，例如2⊕3＝2×3＋2＋3＝11．若y關(guān)于x的函數(shù)y＝（kx＋1）⊕（x－1）圖象與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為_______．【答案】-1或0/0或-1【分析】由定義的新運(yùn)算求得y關(guān)于x的函數(shù)為：y=kx2+2x-1，再由y關(guān)于x函數(shù)的圖象與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)得到4+4k=0，求解即可．【詳解】∵（kx＋1）⊕（x－1）＝（kx+1）（x-1）+（kx+1）+（x-1）=kx2+2x-1，∴y=kx2+2x-1，當(dāng)k≠0時(shí)∵y=kx2+2x-1的圖象與x軸僅有一個(gè)公共點(diǎn)，∴△=0，即4+4k=0，∴k=-1．當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為y=2x-1，其圖象與x軸一定有一個(gè)交點(diǎn)故答案是：-1或0．【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程的根與二次函數(shù)圖像和x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟記：一元二次方程有兩個(gè)根，說明二次函數(shù)圖像和x軸的橫坐標(biāo)有兩個(gè)交點(diǎn)；一元二次方程有一個(gè)根，說明二次函數(shù)圖像和x軸的橫坐標(biāo)有一個(gè)交點(diǎn)；一元二次方程（在實(shí)數(shù)范圍）無(wú)解，說明二次函數(shù)圖像和x軸的橫坐標(biāo)沒有交點(diǎn)．3．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）定義：將二次函數(shù)在軸下方部分沿軸向上翻折，翻折后部分與原來(lái)末翻折部分形成一個(gè)新的函數(shù)，那么稱函數(shù)為原二次函數(shù)的有趣函數(shù)．(1)二次函數(shù)_______________（有/沒有）有趣函數(shù)．(2)已知二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)（1，0），（5，0），與軸交于點(diǎn)，求拋物線的解析式，并在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖像．(3)在（2）的條件下：①過點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度．②若函數(shù)為原二次函數(shù)的有趣函數(shù)，畫出函數(shù)的圖像并求解當(dāng)函數(shù)的函數(shù)值大于2時(shí)，自變量的取值范圍（直接寫出答案）．【答案】(1)沒有(2)，圖見解析(3)①6；②或或【分析】（1）由于函數(shù)在軸下方?jīng)]有圖像，根據(jù)定義可知二次函數(shù)沒有有趣函數(shù)；（2）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（3）①根據(jù)平行的性質(zhì)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求的長(zhǎng)；②畫出圖像，結(jié)合圖像求范圍即可．【詳解】（1）解：，函數(shù)在軸下方?jīng)]有圖像，二次函數(shù)沒有有趣函數(shù)；（2）解：將、，代入，，解得，；作圖如下：（3）解：①軸，，解得或，，；②當(dāng)時(shí)，，解得或，或時(shí)，或的函數(shù)值大于2；函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，解得或，時(shí)，的函數(shù)值大于2；作出函數(shù)圖像如下：綜上所述：或或時(shí)，函數(shù)的函數(shù)值大于2．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，弄清定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題九二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合問題】【例9】（2023·遼寧遼陽(yáng)·統(tǒng)考三模）如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為和4，設(shè)頂點(diǎn)為D，則下列結(jié)論：①；②；③；④若拋物線經(jīng)過，則關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根分別為，6；⑤當(dāng)時(shí)，是等腰直角三角形，其中正確的個(gè)數(shù)是（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)拋物線可表示為得即可判斷的正負(fù)及的關(guān)系可判斷①②③；根據(jù)圖象可知，對(duì)稱軸為求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷④，根據(jù)求出拋物線解析式，再求出的坐標(biāo)，以此即可判斷⑤．【詳解】解：拋物線與x軸的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為和4，則拋物線可表示為，，，，故①錯(cuò)誤；，故②正確；，故③錯(cuò)誤；拋物線的對(duì)稱軸為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，∴關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根分別為，5，故④錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，頂點(diǎn)，，，且，是等腰直角三角形，故⑤正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系、拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求出對(duì)稱軸，得到與之間的數(shù)量關(guān)系，再利用等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西吉安·九年級(jí)江西省泰和中學(xué)校考階段練習(xí)）已知三個(gè)不重合的點(diǎn)，，均在拋物線（）上，且，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)，推出拋物線的對(duì)稱軸為：，得到，為拋物線的頂點(diǎn)，再根據(jù)，和二次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴拋物線的對(duì)稱軸為：，∴，為拋物線的頂點(diǎn)，∵，∴，∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，∴，∴，①，無(wú)解；②，解得：，③，解得：；綜上：或；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是求出對(duì)稱軸，確定拋物線開口向下，，為拋物線的頂點(diǎn)．2．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)蘇州市振華中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作，將向右平移得，與x軸交于點(diǎn)B、D．若直線與、共有2個(gè)不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍是______．【答案】或者，或者【分析】首先求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后求出解析式，分別求出直線與拋物線，相切時(shí)m的值以及直線過點(diǎn)A、B時(shí)m的值，結(jié)合圖形即可得到答案．【詳解】令，即，解得或，則點(diǎn)，，拋物線：，，由于拋物線向右平移兩個(gè)長(zhǎng)度單位得拋物線，則拋物線解析式為，，令，即，解得或，則點(diǎn)，如圖，當(dāng)與拋物線：相切時(shí)，令，即，根據(jù)相切可知方程有兩個(gè)相等的解，即，解得，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，即：，解得，當(dāng)與拋物線：相切時(shí)，令，即，根據(jù)相切可知方程有兩個(gè)相等的解，即，解得，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，即：，解得，結(jié)合圖象可知：直線與、共有2個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，則m的取值范圍是，或者，或者，故答案為：或者，或者．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與x軸交點(diǎn)以及二次函數(shù)圖象與幾何交換的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題，此題有一定的難度．3．（2023·浙江寧波·?？级＃┤鐖D，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且經(jīng)過．

(1)求b和c的值；(2)點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，其中A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是、．①當(dāng)與D點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出線段，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P在線段上，若線段與拋物線有公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的取值范圍．【答案】(1)(2)①

②或【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）①過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn),則，即，，根據(jù)解題即可；②由當(dāng)時(shí)，，由旋轉(zhuǎn)可得)，再根據(jù)求出解集即可．【詳解】（1）解：把和代入得：，解得，∴（2）①解：如圖，過點(diǎn)作軸的垂線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn),則，由旋轉(zhuǎn)得：，，∴，∴，∴，∴，，令，則，解得：∴設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，即，解得：，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，②解：∵，當(dāng)時(shí)，，由題可知：)，即，由同號(hào)兩數(shù)相乘得正可知：m，同號(hào)，∴或解得：或，又∵，∴或【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，旋轉(zhuǎn)得性質(zhì)和全等三角形，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結(jié)論：①函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；④當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：∵拋物線對(duì)稱軸為，，∴二次函數(shù)圖象必經(jīng)過第一、二象限，又∵，∵，∴，當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象只經(jīng)過第一、二象限，當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故①錯(cuò)誤；②正確；∵拋物線對(duì)稱軸為，，∴拋物線開口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，故③正確；∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故④錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)二次函數(shù)是實(shí)數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為 B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為 D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為【答案】A【分析】令，則，解得：，，從而求得拋物線對(duì)稱軸為直線，再分別求出當(dāng)或時(shí)函數(shù)y的最小值即可求解．【詳解】解：令，則，解得：，，∴拋物線對(duì)稱軸為直線當(dāng)時(shí)，拋物線對(duì)稱軸為直線，把代入，得，∵∴當(dāng)，時(shí)，y有最小值，最小值為．故A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，拋物線對(duì)稱軸為直線，把代入，得，∵∴當(dāng)，時(shí)，y有最小值，最小值為，故C、D錯(cuò)誤，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的最值，拋物線對(duì)稱軸．利用拋物線的對(duì)稱性求出拋物線對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．3．（2023·內(nèi)蒙古包頭·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為和，若拋物線與線段有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸公式計(jì)算拋物線的對(duì)稱軸為：直線，得拋物線與軸交于點(diǎn)，先計(jì)算過邊界點(diǎn)時(shí)，，對(duì)于拋物線，當(dāng)時(shí)，無(wú)論取何值，拋物線的對(duì)稱軸不變，拋物線與軸的交點(diǎn)都在點(diǎn)的上方，隨著的值變大，拋物線的開口越小，可得答案．【詳解】解：拋物線的對(duì)稱軸為直線：，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，∴拋物線與軸交于點(diǎn)，∵，∴拋物線的開口向下，∴拋物線在平面直角坐標(biāo)系中的大致位置如圖：

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，解得，對(duì)于拋物線，當(dāng)時(shí)，無(wú)論取何值，拋物線的對(duì)稱軸不變，拋物線與軸的交點(diǎn)都在點(diǎn)的上方，隨著|a|的值變大，拋物線的開口越小，∵拋物線與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，∴，又∵，∴（兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值較大的反而小）．∴的取值范圍是．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握的值變大，拋物線的開口越小，并利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．4．（2023春·四川南充·九年級(jí)四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）方程有兩實(shí)根，，且滿足，那么k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用拋物線與軸的交點(diǎn)問題，把題目轉(zhuǎn)化為拋物線與軸的交點(diǎn)一個(gè)在與之間，另一個(gè)在和之間，利用拋物線開口向上可得不等式組，然后解不等式組即可．【詳解】解：把方程有兩實(shí)根，，且滿足，轉(zhuǎn)化為拋物線與軸的交點(diǎn)一個(gè)在與之間，另一個(gè)在和之間，，；，；，，，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了解一元二次方程．5．（2023·安徽六安·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，已知拋物線：．（1）該拋物線的對(duì)稱軸是；（2）若，，為拋物線上三點(diǎn)，且總有，結(jié)合圖象，則m的取值范圍是；【答案】直線【分析】（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸為直線代入即可求解；（2）由拋物線解析式可得拋物線開口方向及對(duì)稱軸，分類討論與，由兩點(diǎn)中點(diǎn)與對(duì)稱軸的位置關(guān)系求解．【詳解】解：（1）拋物線：，對(duì)稱軸為直線；故答案為：直線；（2）拋物線對(duì)稱軸為直線，拋物線開口向上，，，即，解得，，，解得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）把二次函數(shù)的圖像作關(guān)于x軸的對(duì)稱變換，所得圖像的解析式為，，若，則m的最大值是．【答案】04【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得出原二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，即可得出原二次函數(shù)為，與原二次函數(shù)比較可得，可得；然后再將代入求解即可求得m的最大值．【詳解】解：把二次函數(shù)的圖像作關(guān)于x軸的對(duì)稱變換，所得圖像的解析式為原二次函數(shù)的頂點(diǎn)為，原二次函數(shù)為，，∴；，，，即，m的最大值是4；故答案為：0；4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)