河南省開封市第十七中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題含解析

河南省開封市第十七中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則在方向上的投影為（）A. B.C. D.2．已知向量，，則（）A. B.C. D.3．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增B.函數(shù)的遞減區(qū)間為C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在處取得極小值4．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，按項(xiàng)的變化趨勢，該數(shù)列是（）A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列C.擺動數(shù)列 D.常數(shù)列5．已知兩直線與，則與間的距離為（）A. B.C. D.6．已知數(shù)列中，，，是的前n項(xiàng)和，則（）A. B.C. D.7．在中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（）A. B.1C. D.28．已知{}為等比數(shù)列.，則＝（）A.—4 B.4C.—4或4 D.169．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.10．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C與A，B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長為，則C的方程為（）A. B.C. D.11．從集合{2,3,4,5}中隨機(jī)抽取一個數(shù)m,從集合{1,3,5}中隨機(jī)抽取一個數(shù)n,則向量=(m,n)與向量=(1,-1)垂直的概率為()A. B.C. D.12．已知雙曲線C：(a>0，b>0)，斜率為的直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為P(2，4)，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線C：的一條漸近線與直線l：平行，則雙曲線C的離心率是______14．已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且，則圓的方程為_________15．有一組數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為3，方差為2，則新的數(shù)據(jù)的方差為________.16．已知函數(shù)，若過點(diǎn)存在三條直線與曲線相切，則的取值范圍為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在正方體中，E是棱的中點(diǎn).（Ⅰ）求直線BE與平面所成的角的正弦值；（Ⅱ）在棱上是否存在一點(diǎn)F，使平面？證明你的結(jié)論.18．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知曲線在處的切線方程為，且.（1）求的解析式；（2）若時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）解關(guān)于的不等式；（Ⅱ）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．（12分）已知拋物線過點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，直線交拋物線于另一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求拋物線的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線的準(zhǔn)線上是否存在點(diǎn)使，若存在請求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請說明理由.22．（10分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用向量數(shù)量積的幾何意義即得【詳解】,故在方向上的投影為：故選：C2、D【解析】按空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則運(yùn)算即可.【詳解】.故選：D.3、C【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系及極值的定義結(jié)合圖像即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象可得，當(dāng)時，，故函數(shù)在和上遞減，當(dāng)時，，故函數(shù)在和上遞增，所以函數(shù)在和處取得極小值，在處取得極大值，故ABD錯誤，C正確.故選：C.4、B【解析】分析的單調(diào)性，即可判斷和選擇.【詳解】因?yàn)?，顯然隨著的增大，是遞增的，故是遞減的，則數(shù)列是遞減數(shù)列.故選：B.5、B【解析】把直線的方程化簡，再利用平行線間距離公式直接計算得解.【詳解】直線的方程化為：，顯然，，所以與間的距離為.故選：B6、D【解析】由，得到為遞增數(shù)列，又由，得到，化簡，即可求解.【詳解】解：由，得，又，所以，所以，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，得，即，又由是的前項(xiàng)和，則.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列求和問題，關(guān)鍵在于由已知條件得出，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和法.7、C【解析】由余弦定理求出，利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)二倍角公式得到，即可得到，最后利用面積公式計算可得；【詳解】解：因?yàn)?，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所以或，即或（舍去），所以，因?yàn)?，所以，所以；故選：C8、B【解析】根據(jù)題意先求出公比，進(jìn)而用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得答案.【詳解】由題意，設(shè)公比為q，則，則.故選：B.9、A【解析】由，可得等比數(shù)列公比q=2，利用等比數(shù)列求和公式和通項(xiàng)公式即可求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則，.故選：A.10、A【解析】根據(jù)橢圓的定義可得△AF1B的周長為4a，由題意求出a，結(jié)合離心率計算即可求出c，再求出b即可.【詳解】由橢圓的定義知，△AF1B的周長為，又△AF1B的周長為4，則，，，，，所以方程為，故選：A.11、A【解析】根據(jù)分步計數(shù)乘法原理求得所有的)共有12個，滿足兩個向量垂直的共有2個，利用古典概型公式可得結(jié)果.【詳解】集合{2,3,4,5}中隨機(jī)抽取一個數(shù),有4種方法；從集合{1,3,5}中隨機(jī)抽取一個數(shù)，有3種方法，所以，所有的共有個，由向量與向量垂直,可得，即,故滿足向量與向量垂直的共有2個：，所以向量與向量垂直的概率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查分步計數(shù)乘法原理的應(yīng)用、向量垂直的性質(zhì)以及古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于中檔題.在解古典概型概率題時，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.12、C【解析】設(shè)，代入雙曲線方程相減后可求得，從而得漸近線方程【詳解】設(shè)，則，相減得，∴，又線段的中點(diǎn)為P(2，4)，的斜率為1，∴，，∴漸近線方程為故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的漸近線方程，已知弦的中點(diǎn)（或涉及到中點(diǎn)），可設(shè)弦兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程后作差，作差后式子中有直線的斜率，弦中點(diǎn)坐標(biāo)，有．這種方法叫點(diǎn)差法二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先用兩直線平行斜率相等求出，再利用離心率的定義求解即可.【詳解】由題意可得雙曲線C的一條漸近線方程為，則，即，則，故雙曲線C的離心率故答案為：.14、【解析】利用對稱條件求出圓心C的坐標(biāo)，借助直線被圓所截弦長求出圓半徑即可寫出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的圓心，依題意，，解得，即圓心，點(diǎn)C到直線的距離，因圓截直線所得弦AB長為6，于是得圓C的半徑所以圓的方程為：.故答案為：15、2【解析】由已知得，，然后計算的平均數(shù)和方差可得答案.【詳解】由已知得，，所以，.故答案為：2.16、【解析】設(shè)過M的切線切點(diǎn)為，求出切線方程，參變分離得，令，則原問題等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究g(x)的圖像即可求出m的范圍【詳解】，設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，則，化簡得，，令，則過點(diǎn)存在三條直線與曲線相切等價于y=g(x)與y=-m-2的圖像有三個交點(diǎn)∵，故當(dāng)x<0或x>1時，，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)0<x<1時，，g(x)單調(diào)遞減，又，，∴g(x)如圖，∴-2<-m-2<0，即故答案為：﹒三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）詳見解析【解析】設(shè)正方體的棱長為1.如圖所示，以為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.（Ⅰ）依題意，得，所以.在正方體中，因?yàn)?所以是平面的一個法向量，設(shè)直線BE和平面所成的角為，則.即直線BE和平面所成的角的正弦值為.（Ⅱ）在棱上存在點(diǎn)F，使.事實(shí)上，如圖所示，分別取和CD的中點(diǎn)F，G，連結(jié).因,且,所以四邊形是平行四邊形，因此.又E,G分別為，CD的中點(diǎn)，所以，從而.這說明，B，G，E共面，所以.因四邊形與皆為正方形，F(xiàn)，G分別為和CD的中點(diǎn)，所以，且，因此四邊形是平行四邊形，所以.而，，故.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）令，求導(dǎo)得到函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，故，得到證明.（2），討論和兩種情況，計算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到，解得答案.【詳解】（1）令，有，令可得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，，故有.（2）由①當(dāng)時，，此時函數(shù)的減區(qū)間為，沒有增區(qū)間；②當(dāng)時，令可得，此時函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，必須且，可得，此時，又由，當(dāng)時，由(1)有，取時，顯然有，當(dāng)時，故函數(shù)有兩個零點(diǎn)時，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，根據(jù)零點(diǎn)求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出m，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可得出切線方程；(2)由(1)將不等式變形為，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在、、時的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】，∴，，，，，切線方程為，即，∴.【小問2詳解】令，，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即符合題意；當(dāng)時，設(shè)，①當(dāng)，，，所以在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，所以，故符合題意；②當(dāng)時，，，所以在上遞增，在上遞減，且，所以當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，且，故，，舍去.綜上：20、（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）用找零點(diǎn)法去絕對值，然后再解不等式.（Ⅱ）將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)圖像求得其最小值．將恒成立轉(zhuǎn)化為試題解析：（Ⅰ）或或或所以原不等式解集為（Ⅱ），由函數(shù)圖像可知，所以要使恒成立，只需考點(diǎn)：1絕對值不等式；2恒成立問題；3轉(zhuǎn)化思想21、（1）拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2）存在，且【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求得，進(jìn)而求得拋物線的方程和焦點(diǎn)的