天津市西青區(qū)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測(cè)模擬試題含解析

天津市西青區(qū)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線的左焦點(diǎn)到其漸近線的距離是（）A. B.C. D.2．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項(xiàng)之和為（）A.12 B.32C.36 D.373．已知橢圓的短軸長(zhǎng)和焦距相等，則a的值為（）A.1 B.C. D.4．某企業(yè)甲車間有200人，乙車間有300人，現(xiàn)用分層抽樣的方法在這兩個(gè)車間中抽取25人進(jìn)行技能考核，則從甲車間抽取的人數(shù)應(yīng)為（）A.5 B.10C.8 D.95．下列直線中，與直線垂直的是（）A. B.C. D.6．函數(shù)在處的切線方程為()A. B.C. D.7．已知雙曲線的離心率為2，且與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.8．設(shè)P為橢圓C：上一點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.9．已知拋物線=的焦點(diǎn)為F，M、N是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（）A.8 B.4C. D.910．過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)作斜率大于的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（在的上方），且與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則A. B.C. D.11．如圖，在平行六面體（底面為平行四邊形的四棱柱）中，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，則=（）A. B.C. D.12．不等式的解集為（）A. B.C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心，以a為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于A，B兩點(diǎn).若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的離心率為_(kāi)__________.14．若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.15．已知過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F，則___________16．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（）A.過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為8B.橢圓上存在點(diǎn)，使得C.橢圓的離心率為D.為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)，的最大距離為3三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率是，且過(guò)點(diǎn).直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的面積的最大值；（Ⅲ）設(shè)直線，分別與軸交于點(diǎn)，.判斷，大小關(guān)系，并加以證明.18．（12分）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M.若直線OM的斜率為-1，求線段AB的長(zhǎng)；（3）如圖，設(shè)橢圓上一點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為1（R在第一象限），過(guò)R作兩條不重合直線分別與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)、若直線PR與QR的傾斜角互補(bǔ)，求直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.19．（12分）已知直線：，直線：（1）若，之間的距離為3，求c的值：（2）求直線截圓C：所得弦長(zhǎng)20．（12分）某高中招聘教師，首先要對(duì)應(yīng)聘者的簡(jiǎn)歷進(jìn)行篩選，簡(jiǎn)歷達(dá)標(biāo)者進(jìn)入面試，面試環(huán)節(jié)應(yīng)聘者要回答3道題，第一題為教育心理學(xué)知識(shí)，答對(duì)得4分，答錯(cuò)得0分，后兩題為學(xué)科專業(yè)知識(shí)，每道題答對(duì)得3分，答錯(cuò)得0分（1）甲、乙、丙、丁、戊來(lái)應(yīng)聘，他們中僅有3人的簡(jiǎn)歷達(dá)標(biāo)，若從這5人中隨機(jī)抽取3人，求這3人中恰有2人簡(jiǎn)歷達(dá)標(biāo)的概率；（2）某進(jìn)入面試的應(yīng)聘者第一題答對(duì)的概率為，后兩題答對(duì)的概率均為，每道題答對(duì)與否互不影響，求該應(yīng)聘者的面試成績(jī)X的分布列及數(shù)學(xué)期望21．（12分）在①，②，③，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.設(shè)數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.已知，，，_____________.（1）請(qǐng)寫(xiě)出你選擇條件的序號(hào)____________；并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）求和.22．（10分）一個(gè)盒中裝有編號(hào)分別為、、、的四個(gè)形狀大小完全相同的小球.（1）從盒中任取兩球，列出所有的基本事件，并求取出的球的編號(hào)之和大于的概率；（2）從盒中任取一球，記下該球的編號(hào)，將球放回，再?gòu)暮兄腥稳∫磺?，記下該球的編?hào)，列出所有的基本事件，并求的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】求出雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】在雙曲線中，，，，所以，該雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，即，因，該雙曲線的左焦點(diǎn)到漸近線的距離為.故選：A2、C【解析】直接按照等差數(shù)列項(xiàng)數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】數(shù)列的前6項(xiàng)之和為.故選：C.3、A【解析】由題設(shè)及橢圓方程可得，即可求參數(shù)a的值.【詳解】由題設(shè)易知：橢圓參數(shù)，即有，可得故選：A4、B【解析】根據(jù)分層抽樣的定義即可求解.【詳解】從甲車間抽取的人數(shù)為人故選：B5、C【解析】，，若，則，項(xiàng)，符合條件，故選6、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求切線方程﹒【詳解】，，，，在處的切線為：，即﹒故選：C﹒7、B【解析】求出焦點(diǎn)，則可得出，即可求出漸近線方程.【詳解】由橢圓可得焦點(diǎn)為，則設(shè)雙曲線方程為，可得，則離心率，解得，則，所以漸近線方程為.故選：B.8、B【解析】根據(jù)橢圓的定義寫(xiě)出，再根據(jù)條件即可解得答案.【詳解】根據(jù)P為橢圓C：上一點(diǎn)，則有，又，所以，故選：B.9、B【解析】過(guò)分別作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，則由拋物線的定義可得，再過(guò)MN的中點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，然后利用梯形的中位線定理可求得結(jié)果【詳解】拋物線=的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為直線如圖，過(guò)分別作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，過(guò)MN的中點(diǎn)作垂直于準(zhǔn)線，垂足為，則由拋物線的定義可得，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭翘菪蔚闹形痪€，所以，所以線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4，故選：B10、A【解析】分別過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，設(shè)，則，，故選A.11、A【解析】根據(jù)空間向量的加減法運(yùn)算法則，直接寫(xiě)出向量的表達(dá)式，即可得答案.【詳解】=,故選：A.12、A【解析】先將分式不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，然后求解即可【詳解】由，得，解得，所以原不等式的解集為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】過(guò)F作，利用點(diǎn)到直線距離可求出，再根據(jù)勾股定理可得，，由可得，即可建立關(guān)系求解.【詳解】如圖，過(guò)F作，則E是AB中點(diǎn)，設(shè)漸近線為，則，則在直角三角形OEF中，，在直角三角形BEF中，，，則，即，即，則，即，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題的關(guān)鍵是分別表示出，，由建立關(guān)系.14、【解析】由題意知在上恒成立，從而結(jié)合一元二次不等式恒成立問(wèn)題，可列出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可求其取值范圍.【詳解】解：由題意知，知在上恒成立，則只需，解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問(wèn)題，考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的單調(diào)性.一般地，由增函數(shù)可得導(dǎo)數(shù)不小于零，由減函數(shù)可得導(dǎo)數(shù)不大于零.對(duì)于一元二次不等式在上恒成立問(wèn)題，如若在上恒成立，可得；若在上恒成立，可得.15、【解析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合題意和韋達(dá)定理，求得拋物線的方程為，直線AB的方程為，進(jìn)而求得的值.【詳解】設(shè)，在拋物線，過(guò)切點(diǎn)A與拋物線相切的直線的斜率為，則以為切點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，整理得，所以，解得，所以以為切點(diǎn)的切線方程為，即，同理，設(shè)，在拋物線，過(guò)切點(diǎn)B與拋物線相切的直線，又因?yàn)樵谇芯€和，所以，所以直線AB的方程為，又直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，所以令，可得，即，所以拋物線的方程為，直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，整理得或，所以，所以.故答案為：.16、ABD【解析】結(jié)合橢圓定義判斷A選項(xiàng)的正確性，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B選項(xiàng)的正確性，直接法求得橢圓的離心率，由此判斷C選項(xiàng)的正確性，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：由橢圓定義可得：，因此的周長(zhǎng)為，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，則，且，又，，所以，，因此，解得，，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)椋?，所以，即，所以離心率，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：設(shè)，，則點(diǎn)到圓的圓心的距離為，因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)正確，故選：ABD三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）（3）見(jiàn)解析【解析】(1)由題意求得，所以橢圓的方程為(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，由題意可得．三角形的高為．，面積表達(dá)式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．即的面積的最大值是(3)結(jié)論為．利用題意有．所以試題解析：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為因?yàn)闄E圓的離心率是，所以，即由解得所以橢圓的方程為（Ⅱ）將代入，消去整理得令，解得設(shè)則，所以點(diǎn)到直線的距離為所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以的面積的最大值是（Ⅲ）．證明如下：設(shè)直線，的斜率分別是，，則由（Ⅱ）得，所以直線，的傾斜角互補(bǔ)所以，所以所以18、（1）；（2）；（3）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a即可計(jì)算得解.(2)將代入橢圓的方程，再結(jié)合給定條件求出k值即可計(jì)算出AB的長(zhǎng).(3)設(shè)出直線PR的方程，再與橢圓的方程聯(lián)立求出點(diǎn)P坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)Q坐標(biāo)，計(jì)算PQ的斜率即可作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，橢圓的半焦距c=1，而，解得，則，所以橢圓的方程是：.【小問(wèn)2詳解】由消去y并整理得：，解得，，于是得線段AB的中點(diǎn)，直線OM斜率為，解得，因此，，所以線段AB的長(zhǎng)為.【小問(wèn)3詳解】由(1)知，點(diǎn)，依題意，設(shè)直線PR的斜率為，直線PR方程為：，由消去y并整理得，，設(shè)點(diǎn)，則有，顯然直線QR的斜率為-t，設(shè)點(diǎn)，同理有，于是得直線PQ的斜率，所以直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫(xiě)出橢圓方程②待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論.19、（1）或（2）【解析】（1）根據(jù)兩條平行直線的距離公式列方程，化簡(jiǎn)求得的值.（2）利用弦長(zhǎng)公式求得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閮蓷l平行直線：與：間的距離為3，所以解得或.【小問(wèn)2詳解】圓C：，圓心為，半徑為.圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng)20、（1）（2）分布列見(jiàn)解析；期望為【解析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；（2）根據(jù)題意可知，隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，3，4，6，7，10，再利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式分別求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列即可求出數(shù)學(xué)期望【小問(wèn)1詳解】從這5人中隨機(jī)抽取3人，恰有2人簡(jiǎn)歷達(dá)標(biāo)的概率為【小問(wèn)2詳解】由題可知，X的所有可能取值為0，3，4，6，7，10，則，，，，，.故X的分布列為：X0346710P所以21、（1）選①，，；選②，，；選③，，；（2），【解析】（1）選條件①根據(jù)等比數(shù)列列出方程求出公比得通項(xiàng)公式，再由等差數(shù)列列出方程求出首項(xiàng)與公差可得通項(xiàng)公式，選②③與①相同的方法求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列的求和公式解計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】選條件①：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，，解得，，.選條件②：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，解得，，選條件③：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，解得或，，，.設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，解得，【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，22、（1）基本事件答案見(jiàn)解析，概率為；（2）基本事件答案見(jiàn)解析，概率為.【解析】（1）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“取出