安徽省“廬巢六校聯(lián)盟”2025屆高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

安徽省“廬巢六校聯(lián)盟”2025屆高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).據(jù)此，我們可以得到函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為（）A. B.C. D.2．“兩個(gè)三角形相似”是“兩個(gè)三角形三邊成比例”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知，且α是第四象限角，那么的值是（）A. B.－C.± D.4．已知平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，G為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則G點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.5．設(shè)則的值為A. B.C.2 D.6．下列函數(shù)中，以為最小正周期且在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B.C. D.7．設(shè)，則（）A. B.C. D.8．下列四個(gè)圖形中，不是以x為自變量的函數(shù)的圖象是（）A B.C. D.9．現(xiàn)在人們的環(huán)保意識(shí)越來(lái)越強(qiáng)，對(duì)綠色建筑材料的需求也越來(lái)越高．某甲醛檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)某種綠色建筑材料進(jìn)行檢測(cè)，一定量的該種材料在密閉的檢測(cè)房間內(nèi)釋放的甲醛濃度（單位：）隨室溫（單位：℃）變化的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)）．若室溫為20℃時(shí)該房間的甲醛濃度為，則室溫為30℃時(shí)該房間的甲醛濃度約為（取）（）A. B.C. D.10．已知非空集合，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若弧度數(shù)為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓心角所夾扇形的面積是___________12．親愛(ài)的考生，我們數(shù)學(xué)考試完整的時(shí)間是2小時(shí)，則從考試開(kāi)始到結(jié)束，鐘表的分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為_(kāi)__________.13．如果實(shí)數(shù)滿足條件，那么的最大值為_(kāi)_________14．要在半徑cm的圓形金屬板上截取一塊扇形板，使弧AB的長(zhǎng)為m，那么圓心角_________．（用弧度表示）15．設(shè)，，依次是方程，，的根，并且，則，，的大小關(guān)系是___16．已知函數(shù)，若，則_____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，此點(diǎn)到相鄰最低點(diǎn)間的曲線與軸交于點(diǎn)（1）求函數(shù)的解析式；（2）用“五點(diǎn)法”畫(huà)出（1）中函數(shù)在上的圖象.18．如圖，已知圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求圓C在點(diǎn)B處的切線方程．19．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c＝2a，bsinB﹣asinA＝asinC（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值20．若函數(shù)的自變量的取值范圍為時(shí)，函數(shù)值的取值范圍恰為，就稱(chēng)區(qū)間為的一個(gè)“和諧區(qū)間”.（1）先判斷“函數(shù)沒(méi)有“和諧區(qū)間”是否正確，再寫(xiě)出函數(shù)“和諧區(qū)間”；（2）若是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（i）求的“和諧區(qū)間”；（ii）若函數(shù)的圖象是在定義域內(nèi)所有“和諧區(qū)間”上的圖象，是否存在實(shí)數(shù)，使集合恰含有個(gè)元素，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．如圖,某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（，是直角頂點(diǎn)）來(lái)處理污水，管道越長(zhǎng)，污水凈化效果越好.設(shè)計(jì)要求管道的接口是的中點(diǎn)，分別落在線段上.已知米，米，記.（1）試將污水凈化管道總長(zhǎng)度(即的周長(zhǎng))表示為的函數(shù)，并求出定義域；（2）問(wèn)當(dāng)取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的總長(zhǎng)度.（提示：.）

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】依題意設(shè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，則為奇函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到方程組，解得即可；【詳解】解：依題意設(shè)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，由此可得為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，解得，則函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)中心為；故選：A2、C【解析】根據(jù)相似三角形性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，由“兩個(gè)三角形相似”可得到“兩個(gè)三角形三邊成比例”，即充分性成立；反之：由“兩個(gè)三角形三邊成比例”可得到“兩個(gè)三角形相似”，即必要性成立，所以“兩個(gè)三角形相似”是“兩個(gè)三角形三邊成比例”的充分必要條件.故選：C.3、B【解析】由誘導(dǎo)公式對(duì)已知式子和所求式子進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】根據(jù)誘導(dǎo)公式：，所以，，故.故選：B【點(diǎn)睛】誘導(dǎo)公式的記憶方法：奇變偶不變，符號(hào)看象限.4、A【解析】利用向量的坐標(biāo)表示以及向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意易得，，，.即G點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：A.5、D【解析】由題意可先求f（2），然后代入f（f（2））＝f（﹣1）可得結(jié)果.【詳解】解：∵∴f（2）∴f（f（2））＝f（﹣1）＝故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的函數(shù)值的求解，解題的關(guān)鍵是需要判斷不同的x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)試題6、B【解析】根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性和單調(diào)性逐一判斷即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于A，函數(shù)的最小正周期為，不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)的最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意；對(duì)于C，函數(shù)的最小正周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于D，函數(shù)的最小正周期為，不符合題意.故選：B.7、B【解析】根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解【詳解】由可得，所以，所以有，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指對(duì)式的運(yùn)算的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，指數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題目.8、C【解析】根據(jù)函數(shù)中每一個(gè)自變量有且只有唯一函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，結(jié)合函數(shù)圖象判斷符合函數(shù)定義的圖象即可.【詳解】由函數(shù)定義：定義域內(nèi)的每一個(gè)x都有唯一函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，A、B、D選項(xiàng)中的圖象都符合；C項(xiàng)中對(duì)于大于零的x而言，有兩個(gè)不同的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)定義.故選：C9、D【解析】由題可知，，求出，在由題中的函數(shù)關(guān)系式即可求解.【詳解】由題意可知，，解得，所以函數(shù)的解析式為，所以室溫為30℃時(shí)該房間的甲醛濃度約為.故選：D.10、C【解析】由題意可知，集合為集合的子集，求出集合，利用集合的子集個(gè)數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】，所以滿足條件的集合可以為，共3個(gè),故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)所給弦長(zhǎng)，圓心角求出所在圓的半徑，利用扇形面積公式求解.【詳解】由弦長(zhǎng)為2，圓心角為2可知扇形所在圓的半徑，故，故答案為：12、【解析】根據(jù)角的概念的推廣即可直接求出答案.【詳解】因?yàn)殓姳淼姆轴樲D(zhuǎn)了兩圈，且是按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，所以鐘表的分針轉(zhuǎn)過(guò)的弧度數(shù)為.故答案為：.13、1【解析】先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可【詳解】先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，z最大是1，故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】由弧長(zhǎng)公式變形可得：，代入計(jì)算即可.【詳解】解：由題意可知：（弧度）.故答案為：.15、【解析】本題首先可以根據(jù)分別是方程的根得出，再根據(jù)即可得出，然后通過(guò)函數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)即可得出，最后得出結(jié)果【詳解】因?yàn)?，，，所以，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)都是單調(diào)遞增函數(shù)，前者在后者的上方，所以，綜上所述，【點(diǎn)睛】本題考查方程的根的比較大小，通常可通過(guò)函數(shù)性質(zhì)或者根的大致取值范圍進(jìn)行比較，考查函數(shù)思想，考查推理能力，是中檔題16、-2020【解析】根據(jù)題意，設(shè)g（x）＝f（x）+1＝asinx+btanx，分析g（x）為奇函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得g（2）+g（﹣2）＝f（2）+1+f（﹣2）+1＝0，計(jì)算可得答案【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝asinx+btanx﹣1，設(shè)g（x）＝f（x）+1＝asinx+btanx，有g(shù)（﹣x）＝asin（﹣x）+btan（﹣x）＝﹣（asinx+btanx）＝﹣g（x），則函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，則g（2）+g（﹣2）＝f（2）+1+f（﹣2）+1＝0，又由f（﹣2）＝2018，則f（2）＝﹣2020；故答案為-2020【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x）+1是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）圖見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)條件中所給函數(shù)的最高點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出振幅，根據(jù)兩個(gè)相鄰點(diǎn)的坐標(biāo)寫(xiě)出周期，把一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出初相，寫(xiě)出解析式；（2）利用五點(diǎn)法即可得到結(jié)論【詳解】（1），,又，（2）00020-20本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)條件確定A，ω，φ的取值是解決本題的關(guān)鍵18、(1)(2)【解析】（1）做輔助線，利用勾股定理，計(jì)算BC的長(zhǎng)度，然后得出C的坐標(biāo)，結(jié)合圓的方程，即可得出答案．（2）利用直線垂直，斜率之積為-1，計(jì)算切線的斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式，得到方程．【詳解】（1）過(guò)C點(diǎn)做CDBA，聯(lián)接BC，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗?，所以圓的半徑故點(diǎn)C的坐標(biāo)為，所以圓的方程為（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線BC的斜率為故切線斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式解得直線方程為【點(diǎn)睛】本道題目考查了圓的方程的求解和切線方程計(jì)算，在計(jì)算圓的方程的時(shí)候，關(guān)鍵找出圓的半徑和圓心，建立方程，計(jì)算切線方程，可以結(jié)合點(diǎn)斜式，計(jì)算方程，即可．19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）根據(jù)條件由正弦定理得，又c＝2a，所以，由余弦定理算出，進(jìn)而算出；（Ⅱ）由二倍角公式算出，代入兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】（Ⅰ）bsinB﹣asinA＝asinC，所以由正弦定理得，又c＝2a，所以，由余弦定理得：，又，所以；（Ⅱ），.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理應(yīng)用，運(yùn)用二倍角公式和兩角和的正弦公式求值，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.20、（1）正確，；（2）（i）和，（ii）存在符合題意，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)和諧區(qū)間的定義判斷兩個(gè)函數(shù)即可；（2）（i）根據(jù)是奇函數(shù)求出的解析式，再利用“和諧區(qū)間”的定義求出的“和諧區(qū)間”，（ii）由（i）可得的解析式，由與都是奇函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的圖象在第一象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，由單調(diào)性求出的端點(diǎn)坐標(biāo)，代入可得臨界值即可求解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，任意的，則，所以時(shí)，沒(méi)有“和諧區(qū)間”，同理時(shí)，沒(méi)有“和諧區(qū)間”，所以“函數(shù)沒(méi)有“和諧區(qū)間”是正確的，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以值域?yàn)?，即，所以，所以，是方程的兩?因?yàn)?，解得，所以函?shù)的“和諧區(qū)間”為.【小問(wèn)2詳解】（i）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，所以因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，可得，設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，，所以，，所以，是方程的兩個(gè)不相等的正數(shù)根，即，是方程的兩個(gè)不相等的正數(shù)根，且，所以，，所以在區(qū)間上的“和諧區(qū)間”是，同理可得，在區(qū)間上的“和諧區(qū)間”是.所以的“和諧區(qū)間”是和，（ii）存在，理由如下：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是以在定義域內(nèi)所有“和諧區(qū)間”上的圖象，所以若集合恰含有個(gè)元素，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且一個(gè)交點(diǎn)在第一象限，一個(gè)交點(diǎn)在第三象限.因?yàn)榕c都是奇函數(shù)，所以只需考慮與的圖象在第一象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn).因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以曲線的兩個(gè)端點(diǎn)為，.因?yàn)?，所以的零點(diǎn)是，，或所以當(dāng)?shù)膱D象過(guò)點(diǎn)時(shí)，，；當(dāng)圖象過(guò)點(diǎn)時(shí)，