2025屆海南省臨高縣二中數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆海南省臨高縣二中數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，，若，，共面，則λ等于（）A. B.3C. D.92．在平面幾何中，將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.如線段的最小覆蓋圓就是以該線段為直徑的圓，銳角三角形的最小覆蓋圓就是該三角形的外接圓.若，，，則的最小覆蓋圓的半徑為（）A. B.C. D.3．設(shè)，直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4．已知數(shù)列是公差為等差數(shù)列，，則（）A.1 B.3C.6 D.95．已知且，則下列不等式恒成立的是A. B.C. D.6．高中生在假期參加志愿者活動(dòng)，既能服務(wù)社會(huì)又能鍛煉能力．某同學(xué)計(jì)劃在福利院、社區(qū)、圖書(shū)館和醫(yī)院中任選兩個(gè)單位參加志愿者活動(dòng)，則參加圖書(shū)館活動(dòng)的概率為（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，則（）A.16 B.C.14 D.8．已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.9．設(shè)兩個(gè)變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)為，回歸方程為，那么必有（）A.與符號(hào)相同 B.與符號(hào)相同C.與符號(hào)相反 D.與符號(hào)相反10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線，分別交雙曲線的左，右支于另一點(diǎn)，，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.3C.2 D.11．設(shè)變量滿足約束條件：，則的最小值（）A. B.C. D.12．已知傾斜角為的直線與雙曲線，相交于，兩點(diǎn)，是弦的中點(diǎn)，則雙曲線的漸近線的斜率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與曲線，在曲線上隨機(jī)取一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離不大于的概率為_(kāi)_________.14．已知正三棱柱中，底面積為，一個(gè)側(cè)面的周長(zhǎng)為，則正三棱柱外接球的表面積為_(kāi)_____.15．已知直線，，為拋物線上一點(diǎn)，則到這兩條直線距離之和的最小值為_(kāi)__________.16．的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，若面積的最大值為，且離心率（1）求C的方程；（2）A，B為C的左、右頂點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)且斜率不為0的直線交C于M，N兩點(diǎn)，證明：直線與的交點(diǎn)在一條定直線上18．（12分）已知p：，q：（1）若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的范圍；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)m的范圍19．（12分）設(shè)函數(shù)，且存在兩個(gè)極值點(diǎn)、，其中.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若恒成立，求最小值.20．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為8.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作直線與橢圓分別交于點(diǎn)、（點(diǎn)不在直線上），求面積的最大值.21．（12分）已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若A，B為橢圓C上位于x軸同側(cè)的兩點(diǎn)，且，共線，求四邊形的面積的最大值22．（10分）如圖，已知等腰梯形，，為等腰直角三角形，，把沿折起（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)平面平面時(shí)，求平面與平面所成二面角的平面角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由，，共面，設(shè)，列方程組能求出λ的值【詳解】∵，，共面，∴設(shè)(實(shí)數(shù)m、n)，即，∴，解得故選：C2、C【解析】根據(jù)新定義只需求銳角三角形外接圓的方程即可得解.【詳解】，，，為銳角三角形，的外接圓就是它的最小覆蓋圓，設(shè)外接圓方程為，則解得的最小覆蓋圓方程為，即，的最小覆蓋圓的半徑為.故選：C3、A【解析】由可求得實(shí)數(shù)的值，再利用充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，解得或，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得.【詳解】設(shè)公差，.故選：D5、C【解析】∵且，∴∴選C6、D【解析】對(duì)4個(gè)單位分別編號(hào)，利用列舉法求出概率作答.【詳解】記福利院、社區(qū)、圖書(shū)館和醫(yī)院分別為A，B，C，D，從4個(gè)單位中任選兩個(gè)的試驗(yàn)有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6個(gè)基本事件，它們等可能，其中有參加圖書(shū)館活動(dòng)的事件有AC，BC，CD，共3個(gè)基本事件，所以參加圖書(shū)館活動(dòng)的概率.故選：D7、B【解析】由題意得到，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】由，是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，可得，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得則.故選：B.8、D【解析】求出函數(shù)在時(shí)值的集合，函數(shù)在時(shí)值的集合，再由已知并借助集合包含關(guān)系即可作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，，則在上值的集合是，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，則在上值的集合為，因函數(shù)的值域?yàn)椋谑堑?，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D9、A【解析】利用相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，分析即得解【詳解】相關(guān)系數(shù)r為正，表示正相關(guān)，回歸直線方程上升，r為負(fù)，表示負(fù)相關(guān)，回歸直線方程下降，與r的符號(hào)相同故選：A10、D【解析】由雙曲線的定義可設(shè)，，由平面幾何知識(shí)可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值【詳解】由雙曲線的定義可得，由，可得，，結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到，而，結(jié)合四邊形對(duì)角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合，故，對(duì)三角形，用余弦定理，得到，結(jié)合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結(jié)合離心率滿足，即可得出，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.11、D【解析】如圖作出可行域，知可行域的頂點(diǎn)是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，當(dāng)經(jīng)過(guò)A時(shí)，的最小值為-8，故選D.12、A【解析】依據(jù)點(diǎn)差法即可求得的關(guān)系，進(jìn)而即可得到雙曲線的漸近線的斜率.【詳解】設(shè)，則由，可得則，即，則則雙曲線的漸近線的斜率為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】畫(huà)出示意圖，根據(jù)圖形分析可知點(diǎn)在陰影部分所對(duì)的劣弧上，由幾何概型可求出.【詳解】作出示意圖曲線是圓心為原點(diǎn)，半徑為2的一個(gè)半圓.圓心到直線距離，而點(diǎn)到直線的距離為，故若點(diǎn)到直線的距離不大于，則點(diǎn)在陰影部分所對(duì)的劣弧上，由幾何概型的概率計(jì)算公式知，所求概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率計(jì)算，屬于中檔題.14、【解析】首先由條件求出底面邊長(zhǎng)和高，然后設(shè)、分別為上、下底面的的中心，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，則點(diǎn)為正三棱柱外接球的球心，然后求出的長(zhǎng)度即可.【詳解】如圖所示，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則底面面積為，所以，因此等邊三角形的高為：，因?yàn)橐粋€(gè)側(cè)面的周長(zhǎng)為，所以設(shè)、分別為上、下底面的的中心，連接，設(shè)的中點(diǎn)為則點(diǎn)為正三棱柱外接球的球心，連接、則在直角三角形中，即外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求幾何體的外接球半徑的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的性質(zhì)找出球心的位置.15、【解析】過(guò)作，垂足分別為，由直線為拋物線的準(zhǔn)線，轉(zhuǎn)化，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值【詳解】過(guò)作，垂足分別為拋物線的焦點(diǎn)為直線為拋物線的準(zhǔn)線由拋物線的定義，故，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值故最小值為點(diǎn)到直線的距離：故答案為：16、4【解析】將代數(shù)式變形為，寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令的指數(shù)為，求得參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可求解.【詳解】由展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得展開(kāi)式中的系數(shù)為.由展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得展開(kāi)式中的系數(shù)為.所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的方程；（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+1，設(shè),用“設(shè)而不求法”表示出.由直線AM的方程為，直線BN的方程為，聯(lián)立，解得：，即可證明直線AM與BN的交點(diǎn)在直線上.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：，解得：,所以C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由(1)得A(-2,0),B(2,0),F2(1,0),設(shè)直線MN的方程為x=my+1.設(shè),由，消去y得：，所以.所以.因?yàn)橹本€AM的方程為，直線BN的方程為，二者聯(lián)立，有，所以，解得：，直線AM與BN的交點(diǎn)在直線上.【點(diǎn)睛】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）"設(shè)而不求"是一種在解析幾何中常見(jiàn)的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問(wèn)題.18、（1），；（2），【解析】解不等式，(1)由題意得，從而求得；(2)由題意可轉(zhuǎn)化為是的充分不必要條件，從而得到，化簡(jiǎn)即可【小問(wèn)1詳解】解不等式得，是的必要不充分條件，，解得，，即實(shí)數(shù)的范圍為，；小問(wèn)2詳解】是的必要不充分條件，是的充分不必要條件，故，解得，，即實(shí)數(shù)的范圍為，19、（1）（2）【解析】（1）存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于其導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)相異零點(diǎn)；（2）適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)，并注意與關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最大值問(wèn)題，即可求得的范圍.【小問(wèn)1詳解】（），，函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)、，且，關(guān)于的方程，即在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，令，，即，，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，由（1）可得，由，得，則，，，，，，，，令，則且，令，，，再設(shè)，則，，，即在上是減函數(shù)，（1），，在上是增函數(shù)，（1），，恒成立，恒成立，，的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，最值，不等式證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是將恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，化簡(jiǎn)，令，則化為，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值即可，屬于較難題20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)周長(zhǎng)可求，再根據(jù)離心率可求，求出后可求橢圓的方程.（2）當(dāng)直線軸時(shí)，計(jì)算可得的面積的最大值為，直線不垂直軸時(shí)，可設(shè)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程可求，設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為：，結(jié)合橢圓方程可求的關(guān)系，從而求出該直線到直線的距離，從而可求的面積的最大值為.【詳解】（1）由橢圓的定義可知，的周長(zhǎng)為，∴，，又離心率為，∴，，所以橢圓方程為.（2）當(dāng)直線軸時(shí)，；當(dāng)直線不垂直軸時(shí)，設(shè)，，，∴.設(shè)與平行且與橢圓相切的直線為：，，∵，∴，∴距的最大距離為，∴，綜上，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是基本量的確定，而面積的最值的計(jì)算，則可以轉(zhuǎn)化為與已知直線平行且與橢圓相切的直線與已知直線的距離來(lái)計(jì)算，此類轉(zhuǎn)化為面積最值計(jì)算過(guò)程的常規(guī)轉(zhuǎn)化.21、（1）（2）2【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）延長(zhǎng)，交橢圓C于點(diǎn)．設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)對(duì)稱性求得四邊形的面積的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合基本不等式求得四邊形的面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】由題可知，即，因?yàn)檫^(guò)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，所以，所以所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，共線，所以延長(zhǎng)，交橢圓C于點(diǎn)．設(shè)，由（1）可知，可設(shè)直線的方程為聯(lián)立，消去x可得，所以，由對(duì)稱性可知設(shè)與間的距離為d，則四邊形的面積令，則．因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即四邊形的面積的最大值為2【點(diǎn)睛】在橢圓、雙曲線、拋物線中，求三角形、四邊形面積的最值問(wèn)題，求解策略是：首先結(jié)合弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線距離公式等求得面積的表達(dá)式；然后利用基本不等式、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)來(lái)求得最值.22、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)E，連，證明四邊形為平行四邊形，從而可得為等邊三角形，四邊形為菱形，從而可證，，即可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即