2025屆河南省長(zhǎng)葛市一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2025屆河南省長(zhǎng)葛市一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為（）A. B.C. D.2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A B.C. D.3．已知：，直線l：，M為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作的切線MA，MB，切點(diǎn)為A，B，則四邊形MACB面積的最小值為（）A.1 B.2C. D.44．圓截直線所得弦的最短長(zhǎng)度為（）A.2 B.C. D.45．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年2月4日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行．北京將成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦過(guò)夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市．根據(jù)安排，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥(niǎo)巢）成為北京冬奧會(huì)開(kāi)、閉幕式的場(chǎng)館．國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是兩個(gè)“相似橢圓”（離心率相同的兩個(gè)橢圓我們稱為“相似橢圓”）．如圖，由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，若兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.6．等比數(shù)列中，，，則（）A. B.C. D.7．直線與圓相切，則實(shí)數(shù)等于（）A.或 B.或C.3或5 D.5或38．已知P是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)且，則的面積是（）A. B.2C. D.19．已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（）A. B.C. D.10．由于受疫情的影響，學(xué)校停課，同學(xué)們通過(guò)三種方式在家自主學(xué)習(xí)，現(xiàn)學(xué)校想了解同學(xué)們對(duì)假期學(xué)習(xí)方式的滿意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務(wù)處通過(guò)分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進(jìn)行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.樣本容量為240B.若，則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿意度不低于四成C.總體中對(duì)方式二滿意學(xué)生約為300人D.樣本中對(duì)方式一滿意的學(xué)生為24人11．某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（）A B.C. D.12．在平面上給定相異兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在同一平面上且滿足，當(dāng)且時(shí)，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有雙曲線，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，面積的最大值為，面積的最小值為，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．狄利克雷是十九世紀(jì)德國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn).狄利克雷曾提出了“狄利克雷函數(shù)”.若，根據(jù)“狄利克雷函數(shù)”可求___________.14．若向量，且?jiàn)A角的余弦值為_(kāi)_______15．如圖，已知橢圓＋y2＝1的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，則點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為_(kāi)_______16．若向量，，，且向量，，共面，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率，請(qǐng)?jiān)購(gòu)南旅鎯蓚€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，完成下面的問(wèn)題：①橢圓C過(guò)點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上（只能從①②中選擇一個(gè)作為已知）（1）求橢圓C的方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，且，M，三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求面積的最大值.18．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（1）求的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，求的取值范圍19．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和；（2）求的值.20．（12分）已知數(shù)列中，，（）.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.21．（12分）已知直線l經(jīng)過(guò)直線，的交點(diǎn)M（1）若直線l與直線平行，求直線l的方程；（2）若直線l與x軸，y軸分別交于A，兩點(diǎn)，且M為線段AB的中點(diǎn)，求的面積（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）22．（10分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，分別是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，（）.（Ⅰ）三棱錐的體積分別為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？最大值為多少？（Ⅱ）若平面，證明：平面平面.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】基本事件總數(shù)，再利用列舉法求出點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由此能求出點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率【詳解】解：將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)之和，基本事件總數(shù)，點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件有：，，，，，，，，共8個(gè)，則點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為故選：B2、B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求得的值，再結(jié)合等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，則，故.故選：B.3、B【解析】易知四邊形MACB的面積為，然后由最小，根據(jù)與直線l：垂直求解.【詳解】：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：,由切線長(zhǎng)得：,四邊形MACB的面積為，若四邊形MACB的面積最小，則最小，此時(shí)與直線l：垂直，所以，所以四邊形MACB面積的最小值，故選：B4、A【解析】由題知直線過(guò)定點(diǎn)，且在圓內(nèi)，進(jìn)而求解最值即可.【詳解】解：將直線化為，所以聯(lián)立方程得所以直線過(guò)定點(diǎn)將化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，即圓心為，半徑為，由于，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以點(diǎn)與圓圓心間的距離為，所以圓截直線所得弦的最短長(zhǎng)度為故選：A5、C【解析】設(shè)內(nèi)層橢圓的方程為，可得外層橢圓的方程為，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)，得到，同理得到，結(jié)合題意求得，進(jìn)而求得離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，因?yàn)閮?nèi)外層的橢圓的離心率相同，可設(shè)外層橢圓的方程為，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，由，整理得，設(shè)切線的方程為，同理可得，因?yàn)閮汕芯€斜率之積等于，可得，可得，所以離心率為.故選：C.6、D【解析】設(shè)公比為，依題意得到方程，即可求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得；【詳解】解：設(shè)公比為，因?yàn)椋?，所以，即，解得，所以；故選：D7、C【解析】先求出圓的圓心和半徑，再利用圓心到直線的距離等于半徑列方程可求得結(jié)果【詳解】由，得，則圓心為，半徑為2，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，得，解得或，故選：C8、A【解析】設(shè)，先求出m、n，再利用面積公式即可求解.【詳解】在中，設(shè)，則,解得：.因?yàn)?，所以，所以的面積是.故選：A9、B【解析】根據(jù)題意得到得到答案.【詳解】橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，故.故選：B.10、B【解析】利用扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖可求出結(jié)果【詳解】選項(xiàng)A，樣本容量為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，根據(jù)題意得自主學(xué)習(xí)的滿意率，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，樣本可以估計(jì)總體，但會(huì)有一定的誤差，總體中對(duì)方式二滿意人數(shù)約為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，樣本中對(duì)方式一滿意人數(shù)為，該選項(xiàng)正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題11、B【解析】由幾何概型公式求解即可.【詳解】紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，則至少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為，故選：B12、C【解析】先求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，再根據(jù)面積的最大值求得，根據(jù)的面積最小值求，由此可求雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，，,依題意得,即,兩邊平方化簡(jiǎn)得,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓心為,半徑的圓，當(dāng)位于圓的最高點(diǎn)時(shí)的面積最大，所以,解得；當(dāng)位于圓的最左端時(shí)的面積最小，所以,解得,故雙曲線的離心率為.故選:C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由“狄利克雷函數(shù)”解析式，先求出，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式求即可.【詳解】由題設(shè)，，則.故答案：114、【解析】根據(jù)求解即可.【詳解】，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求空間中兩個(gè)向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出線段的垂直平分線方程，可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用不等式的基本性質(zhì)可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，因?yàn)橹本€過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根設(shè)點(diǎn)、，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，直線的垂直平分線的方程為，令，則.因?yàn)椋怨庶c(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.故答案為：16、##【解析】由向量共面的性質(zhì)列出方程組求解即可.【詳解】因?yàn)?，，共面，所以存在?shí)數(shù)x，y，使得，得，解得∴故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析，【解析】（1）若選①，則由題意可得，解方程組求出，從而可求得橢圓方程，若選②，，再結(jié)合離心率和求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意設(shè)直線MN的方程為，設(shè)，，，將直線方程代入橢圓方程中，消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線的方程，令，求出，結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)可得線過(guò)的定點(diǎn)，表示出的面積，利用基本不等式可求得其最大值【小問(wèn)1詳解】若選①：由題意知，∴.所以橢圓C的方程為.若選②：設(shè)圓與圓相交于點(diǎn)Q.由題意知：.又因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，所以，∴.又因?yàn)?，∴，?所以橢圓C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由題易知直線MN斜率存在且不為0，因?yàn)椋试O(shè)直線MN方程為，設(shè)，，，∴，∴，，因?yàn)辄c(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)為，所以，所以直線方程為，令，∴.又，∴.所以直線過(guò)定點(diǎn)，∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).所以面積的最大值為.18、（1）單調(diào)減區(qū)間為和；（2）的取值范圍為：或【解析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件，可得，求得的解析式，可得導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；（2）先求得，要使函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，即要在內(nèi)無(wú)解，亦即要在內(nèi)無(wú)解.構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，然后對(duì)進(jìn)行分類討論，運(yùn)用單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，即可得到的取值范圍.【詳解】(1)，又由題意有：，故.此時(shí)，，由或，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.(2)，且定義域?yàn)?，要函?shù)無(wú)零點(diǎn)，即要在內(nèi)無(wú)解，亦即要在內(nèi)無(wú)解.構(gòu)造函數(shù).①當(dāng)時(shí)，在內(nèi)恒成立，所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)也單調(diào)遞減.又，所以在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，在內(nèi)也無(wú)零點(diǎn)，故滿足條件；②當(dāng)時(shí)，⑴若，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)也單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.又，所以在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；易知，而，故在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以不滿足條件；⑵若，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.又，所以時(shí)，恒成立，故無(wú)零點(diǎn)，滿足條件；⑶若，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)也單調(diào)遞增.又，所以在及內(nèi)均無(wú)零點(diǎn).又易知，而，又易證當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在內(nèi)有一零點(diǎn)，故不滿足條件.綜上可得：的取值范圍為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、其中分類討論思想.本題覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題，解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是分類討論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯(cuò)漏百出．本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類討論思想等19、（1），；（2）.【解析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，借助前項(xiàng)和公式列式計(jì)算作答.(2)由(1)的結(jié)論借助裂項(xiàng)相消去求解作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因，，則，解得，于是得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，所以.20、（1）（2）【解析】由已知式子變形可得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式易得利用錯(cuò)位相減法，得到數(shù)列的前項(xiàng)和為解析：（1）由，（）知，又，∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，∴（2），，兩式相減得，∴點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列的證明，錯(cuò)位相減法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力．第一問(wèn)中將已知的遞推公式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為的形式來(lái)證明，還可以根據(jù)等比數(shù)列的定義來(lái)證明；第二問(wèn)，將第一問(wèn)中得到的結(jié)論代入，先得到的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法，即可得到數(shù)列的前項(xiàng)和為21、（1）（2）4【解析】（1）求出兩直線的交點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程為代入點(diǎn)M的坐標(biāo)可得答案；（2）設(shè)，，因?yàn)闉榫€段AB的中點(diǎn)，可得，由的面積為可得答案.【小問(wèn)1詳解】由，得，所以點(diǎn)M坐標(biāo)為，因?yàn)?，則設(shè)直線l的方程為，又l過(guò)點(diǎn)，代入得，故直線l方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，因?yàn)闉榫€段AB的中點(diǎn)，則，所以，故，，則的面積為.22、（Ⅰ）