浙江省紹興市高級中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三上期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題含解析

浙江省紹興市高級中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高三上期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．tan570°=（）A． B．- C． D．3．某校8位學(xué)生的本次月考成績恰好都比上一次的月考成績高出50分，則以該8位學(xué)生這兩次的月考成績各自組成樣本，則這兩個樣本不變的數(shù)字特征是（）A．方差 B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．平均數(shù)4．用電腦每次可以從區(qū)間內(nèi)自動生成一個實數(shù)，且每次生成每個實數(shù)都是等可能性的.若用該電腦連續(xù)生成3個實數(shù)，則這3個實數(shù)都小于的概率為（）A． B． C． D．5．蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系；用均勻投點(diǎn)實現(xiàn)統(tǒng)計模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計模擬法或統(tǒng)計實驗法.現(xiàn)向一邊長為的正方形模型內(nèi)均勻投點(diǎn)，落入陰影部分的概率為，則圓周率（）A． B．C． D．6．若函數(shù)在處有極值，則在區(qū)間上的最大值為（）A． B．2 C．1 D．37．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．已知為一條直線，為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則9．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題10．已知函數(shù)的最大值為，若存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則的最小值為（）A． B． C． D．11．過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，且，則拋物線的方程是()A． B． C． D．12．在三角形中，，，求（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，，則_________.14．隨著國力的發(fā)展，人們的生活水平越來越好，我國的人均身高較新中國成立初期有大幅提高.為了掌握學(xué)生的體質(zhì)與健康現(xiàn)狀，合理制定學(xué)校體育衛(wèi)生工作發(fā)展規(guī)劃，某市進(jìn)行了一次全市高中男生身高統(tǒng)計調(diào)查，數(shù)據(jù)顯示全市30000名高中男生的身高（單位：）服從正態(tài)分布，且，那么該市身高高于的高中男生人數(shù)大約為__________.15．關(guān)于函數(shù)有下列四個命題：①函數(shù)在上是增函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱；③不存在斜率小于且與函數(shù)的圖象相切的直線；④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不存在極小值.其中正確的命題有______.（寫出所有正確命題的序號）16．已知函數(shù).若在區(qū)間上恒成立.則實數(shù)的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，其中．（1）①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②若滿足，且．求證：．（2）函數(shù)．若對任意，都有，求的最大值．18．（12分）已知橢圓：的長半軸長為，點(diǎn)（為橢圓的離心率）在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，為直線上任一點(diǎn)，過點(diǎn)橢圓上點(diǎn)處的切線為，，切點(diǎn)分別，，直線與直線，分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為，，求的值.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)已知直線與曲線交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求.20．（12分）設(shè)函數(shù)f(x)=x2?4xsinx?4cosx．（1）討論函數(shù)f(x)在[?π，π]上的單調(diào)性；（2）證明：函數(shù)f(x)在R上有且僅有兩個零點(diǎn)．21．（12分）已知關(guān)于的不等式有解.（1）求實數(shù)的最大值；（2）若，，均為正實數(shù)，且滿足.證明：.22．（10分）已知x∈R，設(shè)，，記函數(shù).（1）求函數(shù)取最小值時x的取值范圍；（2）設(shè)△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，求△ABC的面積S的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像，分段討論函數(shù)的零點(diǎn)情況：易知為的一個零點(diǎn)；對于當(dāng)時，由代入解析式解方程可求得零點(diǎn)，結(jié)合即可求得的范圍；對于當(dāng)時，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖像如下圖所示：函數(shù)的零點(diǎn)，即.由圖像可知，，所以是的一個零點(diǎn)，當(dāng)時，，若，則，即，所以，解得；當(dāng)時，，則，且若在時有一個零點(diǎn)，則，綜上可得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法，函數(shù)零點(diǎn)定義及應(yīng)用，根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，屬于中檔題.2、A【解析】

直接利用誘導(dǎo)公式化簡求解即可．【詳解】tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

通過方差公式分析可知方差沒有改變，中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)都發(fā)生了改變.【詳解】由題可知，中位數(shù)和眾數(shù)、平均數(shù)都有變化.本次和上次的月考成績相比，成績和平均數(shù)都增加了50，所以沒有改變，根據(jù)方差公式可知方差不變.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本的數(shù)字特征，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.4、C【解析】

由幾何概型的概率計算，知每次生成一個實數(shù)小于1的概率為，結(jié)合獨(dú)立事件發(fā)生的概率計算即可.【詳解】∵每次生成一個實數(shù)小于1的概率為.∴這3個實數(shù)都小于1的概率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，考查學(xué)生基本的計算能力，是一道容易題.5、A【解析】

計算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.【詳解】由，∴.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了面積型幾何概型的概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為零先求出的值，然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計算即可.【詳解】解：由已知得，，，經(jīng)檢驗滿足題意.，.由得；由得或.所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增.則，，由于，所以在區(qū)間上的最大值為2.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問題的基本思路，屬于中檔題．7、D【解析】

與中間值1比較，可用換底公式化為同底數(shù)對數(shù)，再比較大?。驹斀狻?，，又，∴，即，∴．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查冪和對數(shù)的大小比較，解題時能化為同底的化為同底數(shù)冪比較，或化為同底數(shù)對數(shù)比較，若是不同類型的數(shù)，可借助中間值如0，1等比較．8、D【解析】A.若，則或，故A錯誤；B.若，則或故B錯誤；C.若，則或，或與相交；D.若，則，正確.故選D.9、D【解析】選項A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項C，由題意知對，都有，故C不正確．選項D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．10、B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的兩角和差公式得到，進(jìn)而可以得到函數(shù)的最值，區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期，最終得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)則函數(shù)的最大值為2，存在實數(shù)，使得對任意實數(shù)總有成立，則區(qū)間(m,n)長度要大于等于半個周期，即故答案為：B.【點(diǎn)睛】這個題目考查了三角函數(shù)的兩角和差的正余弦公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖像的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較綜合.11、B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義可知，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，又，，可得，所以拋物線方程為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.12、A【解析】

利用正弦定理邊角互化思想結(jié)合余弦定理可求得角的值，再利用正弦定理可求得的值.【詳解】，由正弦定理得，整理得，由余弦定理得，，.由正弦定理得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理邊角互化思想以及余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)交集的定義即可寫出答案。【詳解】，，故填【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集，需熟練掌握集合交集的定義，屬于基礎(chǔ)題。14、3000【解析】

根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性求出，進(jìn)而可求出身高高于的高中男生人數(shù).【詳解】解：全市30000名高中男生的身高（單位：）服從正態(tài)分布，且，則，該市身高高于的高中男生人數(shù)大約為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)曲線的對稱性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.15、①②③【解析】

由單調(diào)性、對稱性概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系進(jìn)行判斷．【詳解】函數(shù)的定義域是，由于，在上遞增，∴函數(shù)在上是遞增，①正確；，∴函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，②正確；，時取等號，∴③正確；，設(shè)，則，顯然是即的極小值點(diǎn)，④錯誤．故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、對稱性，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值，解題時按照相關(guān)概念判斷即可，屬于中檔題．16、【解析】

首先解不等式，再由在區(qū)間上恒成立，即得到不等組，解得即可.【詳解】解：且，即解得，即因為在區(qū)間上恒成立，解得即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式及函數(shù)的綜合問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）①單調(diào)遞增區(qū)間，，單調(diào)遞減區(qū)間；②詳見解析；（2）.【解析】

(1)①求導(dǎo)可得,再分別求解與的解集,結(jié)合定義域分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.②根據(jù)(1)中的結(jié)論,求出的表達(dá)式,再分與兩種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析的范圍即可.(2)求導(dǎo)分析的單調(diào)性,再結(jié)合單調(diào)性,設(shè)去絕對值化簡可得,再構(gòu)造函數(shù),,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與恒成立問題可知,再換元表達(dá)求解最大值即可.【詳解】解：,由可得或,由可得,故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,,單調(diào)遞減區(qū)間；,或,若,因為,故,,由知在上單調(diào)遞增,,若由可得x1,因為,所以,由在上單調(diào)遞增,綜上．時,,在上單調(diào)遞減,不妨設(shè)由(1)在上單調(diào)遞減,由,可得,所以,令,,可得單調(diào)遞減,所以在上恒成立,即在上恒成立,即,所以,,所以的最大值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分類討論分析函數(shù)單調(diào)性的問題,同時也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式以及構(gòu)造函數(shù)分析函數(shù)的最值解決恒成立的問題.需要根據(jù)題意結(jié)合定義域與單調(diào)性分析函數(shù)的取值范圍與最值等.屬于難題.18、（1）；（2）.【解析】

（1）因為點(diǎn)在橢圓上，所以，然后，利用，，得出，進(jìn)而求解即可（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，直線的方程為，分別聯(lián)立方程：和，利用韋達(dá)定理，再利用，，即可求出的值【詳解】（1）由橢圓的長半軸長為，得.因為點(diǎn)在橢圓上，所以.又因為，，所以，所以（舍）或.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，直線的方程為.據(jù)得.據(jù)題意，得，得，同理，得，所以.又可求，得，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解以及聯(lián)立方程求定值的問題，聯(lián)立方程求定值的關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參，屬于中檔題19、（1）(x－1)2＋y2＝4,直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0；（2）3.【解析】

(1)消參得到曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)方程的互化公式求得直線的直角坐標(biāo)方程；(2)先得到直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程代入到圓的方程，得到關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(α為參數(shù))(α為參數(shù))，兩式平方相加，得曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝4；由直線l的極坐標(biāo)方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，即直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y－2＝0.(2)由題意可得P(2，0)，則直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，將(t為參數(shù))代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，則Δ>0，由韋達(dá)定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.20、見解析【解析】

（1）f(x)=2x?4xcosx?4sinx+4sinx=，由f(x)=1，x∈[?π，π]得x=1或或．當(dāng)x變化時，f(x)和f(x)的變化情況如下表：x1f(x)?1+1?1+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以f(x)在區(qū)間，上單調(diào)遞減，在區(qū)間，上單調(diào)遞增．（2）由（1）得極大值為f(1)=?4；極小值為f()=f()<f(1)<1．又f(π)=f(?π)=π2+4>1，所以f(x)在，上各有一個零點(diǎn)．顯然x∈(π，2π)時，?4xsinx>1，x2?4cosx>1，所以f(x)>1；x∈[2π，+∞)時，f(x)≥x2?4x?4>62?4×6?4=8>1，所以f(x)在(π，+∞)上沒有零點(diǎn)．因為f(?x)=(?x)2?4(?x)sin(?