福建省羅源縣第一中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測試題含解析

福建省羅源縣第一中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，若，且，則等于（）A. B.C. D.2．已知等差數(shù)列的前項和為，，，，則的值為（）A. B.C. D.3．直線被圓所截得的弦長為（）A. B.C. D.4．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.5．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.6．已知橢圓：的離心率為，則實數(shù)（）A. B.C. D.7．將6位志愿者分成4組，其中兩個組各2人，另兩個組各1人，分赴廣交會的四個不同地方服務(wù)，不同的分配方案有（）種A.· B.·C. D.8．已知，則下列三個數(shù)，，（）A.都不大于-4 B.至少有一個不大于-4C.都不小于-4 D.至少有一個不小于-49．設(shè)兩個變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)為，回歸方程為，那么必有（）A.與符號相同 B.與符號相同C.與符號相反 D.與符號相反10．若數(shù)列對任意滿足，下面選項中關(guān)于數(shù)列的說法正確的是（）A.一定是等差數(shù)列B.一定是等比數(shù)列C.可以既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D.可以既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列11．已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸，直線交軸于點．若，則橢圓的離心率是A. B.C. D.12．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契，以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，，，，，，，，…，在實際生活中很多花朵的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，若，則等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若“”是“”必要不充分條件，則實數(shù)的最大值為_______14．已知球面上的三點A，B，C滿足，，，球心到平面ABC的距離為，則球的表面積為______15．已知曲線，則曲線在點處的切線方程為______16．已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，焦點坐標(biāo)是，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題p：，命題q：.（1）若命題p為真命題，求實數(shù)x的取值范圍.（2）若p是q的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍；18．（12分）已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.（1）m∈R時，證明l與C總相交；（2）m取何值時，l被C截得的弦長最短？求此弦長19．（12分）如圖，三棱錐中，，，，，，點是PA的中點，點D是AC的中點，點N在PB上，且.（1）證明：平面CMN；（2）求平面MNC與平面ABC所成角的余弦值.20．（12分）已知是等差數(shù)列，，.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：對任意正整數(shù)n，22．（10分）如圖①，在梯形PABC中，，與均為等腰直角三角形，，，D，E分別為PA，PC的中點.將沿DE折起，使點P到點的位置（如圖②），G為線段的中點.在圖②中解決以下兩個問題.（1）求證：平面平面；（2）若二面角為120°時，求CG與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求出的首項和公差，即可求出.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得：，所以.故選：B.2、A【解析】由可求得，利用可構(gòu)造方程求得.【詳解】，，，，，解得：.故選：A.3、A【解析】求得圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合點到直線的距離公式和圓的弦長公式，即可求解.【詳解】由圓的方程可知圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，所以弦長為.故選：A.4、B【解析】先根據(jù)復(fù)數(shù)除法與加法運算求解得，再求共軛復(fù)數(shù)及其虛部.【詳解】解：，所以其共軛復(fù)數(shù)為，其虛部為故選：B5、D【解析】由已知設(shè)拋物線方程為，由題意可得，求出，從而可得拋物線的方程【詳解】因為拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以設(shè)拋物線方程為，則，得，所以拋物線方程為，故選：D，6、C【解析】根據(jù)題意，先求得的值，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】因為，所以所以，解得.故選：C7、B【解析】先按要求分為四組，再四個不同地方，四個組進行全排列.【詳解】兩個組各2人，兩個組各1人，屬于部分平均分組，要除以平均分組的組數(shù)的全排列，故分組方案有種，再將分得的4組，分配到四個不同地方服務(wù)，則不同的分配方案有種.故選：B8、B【解析】利用反證法設(shè)，，都大于，結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，，都大于，則，由于，故，利用基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，這與假設(shè)所得結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，故下列三個數(shù)，，至少有一個不大于，故選：B.9、A【解析】利用相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，分析即得解【詳解】相關(guān)系數(shù)r為正，表示正相關(guān)，回歸直線方程上升，r為負(fù)，表示負(fù)相關(guān)，回歸直線方程下降，與r的符號相同故選：A10、D【解析】由已知可得或，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，可得答案【詳解】由，得或，即或，若，則數(shù)列是等差數(shù)列，則B錯誤；若，當(dāng)時，數(shù)列是等差數(shù)列，當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列，則A錯誤數(shù)列是等差數(shù)列，也可以是等比數(shù)列；由，不能得到數(shù)列為非0常數(shù)列，則不可以既是等差又是等比數(shù)列，則C錯誤；可以既不是等差又不是等比數(shù)列，如1，3，5，10，20，，故D正確；故選：D11、D【解析】由于BF⊥x軸，故，設(shè)，由得，選D.考點：橢圓的簡單性質(zhì)12、A【解析】利用可化簡得，由此可得.【詳解】由得：，，即.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)的解集為集合，由題意可得是的真子集，即可求解.【詳解】由得或，因為“”是“”的必要不充分條件，設(shè)或，，因為“”是“”的必要不充分條件，所以是的真子集，所以故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應(yīng)集合是對應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應(yīng)集合與對應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應(yīng)集合互不包含14、【解析】由題意可知為直角三角形，求出外接圓的半徑，可求出球的半徑，然后求球的表面積.【詳解】由題意，，，，則，可知，所以外接圓的半徑為，因為球心到平面的距離為，所以球的半徑為：，所以球的表面積為：.故答案為：.15、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率即得解.【詳解】解：由題得，所以切線的斜率為，所以切線的方程為即.故答案為：16、【解析】根據(jù)焦點坐標(biāo)即可得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【詳解】因為拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，焦點坐標(biāo)是，所以，解得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由一元二次不等式的解法求得的范圍；（2）由p是q的充分條件，轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，從而可求實數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）由p：為真，解得.（2）q：，若p是q的充分條件，則是的子集所以.即.18、（1）證明見解析；（2）當(dāng)時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.【解析】（1）求出直線l的定點，進而判斷定點和圓C的位置關(guān)系，最后得到答案；（2）當(dāng)圓心C到直線l的距離最大時，弦長最短，進而求出m，然后根據(jù)勾股定理求出弦長.【詳解】（1）直線l的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，則l過定點P(4，－3)，由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點P在圓內(nèi)，故直線l與圓C總相交（2）圓的C方程可化為：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，如圖所示，當(dāng)圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時，弦AB的長度最短，此時PC⊥l，又，所以直線l的斜率為，則，在直角中，|PC|＝，|AC|＝5，所以|AB|＝.故當(dāng)時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.19、（1）證明見解析（2）【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)點和相關(guān)向量的坐標(biāo),（1）求出平面的法向量，利用證明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：三棱錐中，，，∴分別以，，，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系∵，，點M是PA的中點，點D是AC的中點，點N在PB上且∴，，，，，設(shè)平面的法向量，，，，由得令得∴∵∴又平面∴平面；【小問2詳解】，，∴平面∴為平面的法向量則與的夾角的補角是平面與平面所成二面角的平面角.∴平面與平面所成角的余弦值為.20、（1）（2）【解析】（1）由題意得解方程組求出，從而可求出數(shù)列的通項公式，（2）因為是公比為的等比數(shù)列，又，，所以，從而可得，然后利用分組求和法求解即可【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為.由題意得解得，.所以.【小問2詳解】因為是公比為的等比數(shù)列，又，，所以，所以.所以.21、（1）見解析（2）見解析【解析】(1)由，令，得，或，又的定義域為，討論兩個根及的大小關(guān)系，即可判定函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，在，上遞減，則，即，由此能夠證明【小問1詳解】的定義域為，，令，得，或，①當(dāng)，即時，若，則，遞增；若，則，遞減；②當(dāng)，即時，若，則，遞減；若，則，遞增；若，則，遞減；綜上所述，當(dāng)－2＜a＜0時，f(x)在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；當(dāng)a≥0時，f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【小問2詳解】由(2)知當(dāng)時，在，上遞減，，即，，，，2，3，，，，【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，本題的關(guān)鍵是令a＝1，用已知函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造，再令x＝恰當(dāng)?shù)乩脤?shù)求和進行解題22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過兩個線面平行即可證明面面平行（2）以為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，通過空間向量的方法計算線面角的正弦值【小問1詳解】如上圖所示，在中，因為D，E