2025屆云南省尋甸縣第五中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆云南省尋甸縣第五中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)、分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足，則的值為（）A. B.C. D.2．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．如圖，四棱錐的底面是矩形，設(shè)，，，是棱上一點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.4．已知圓的圓心到直線的距離為，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相交 B.內(nèi)切C.外切 D.外離5．曲線的一個(gè)焦點(diǎn)F到兩條漸近線的垂線段分別為FA，F(xiàn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OAFB是菱形，則雙曲線C的離心率等于（）A. B.C.2 D.6．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A B.C. D.67．已知命題“若，則”，命題“若，則”，則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.8．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù)，則的虛部為（）A. B.C. D.9．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.橢圓 B.直線C.線段 D.圓10．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則（）A.14 B.9C.4 D.211．，則與分別為（）A.與 B.與C.與0 D.0與12．已知等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為．若，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與平行，則___________.14．過點(diǎn)的直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，，則直線的方程為______.15．若，且，則的最小值是____________.16．以正方體的對(duì)角線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O建立右手系的空間直角坐標(biāo)系，其中，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列是各項(xiàng)均為非負(fù)實(shí)數(shù)的遞增數(shù)列.若對(duì)任意的，（），與至少有一個(gè)是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）判斷數(shù)列，，，是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，求證：；（3）若數(shù)列具有性質(zhì)，且不是等差數(shù)列，求項(xiàng)數(shù)的所有可能取值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O以原點(diǎn)為圓心，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求圓O的方程；（2）若直線與圓O交于兩點(diǎn)A，B，求弦長(zhǎng).19．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）求曲線過點(diǎn)的切線方程.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，，平面底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC的中點(diǎn)，，，（1）求證：；（2）求直線PB與平面MQB所成角的正弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義可得出，再利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可得，所以，，設(shè)，因?yàn)?，則，由勾股定理得，即，整理得，故.故選：A.2、C【解析】利用函數(shù)在上單調(diào)遞減即可求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以若，，則；反之若，，則.所以若，則“”是“”的充要條件，故選：C.3、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理求解【詳解】由已知故選：B4、B【解析】求出兩圓的圓心與半徑，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系的判定即可求解.【詳解】已知圓的圓心到直線的距離，即，解得或,因?yàn)?所以,圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，其圓心的坐標(biāo)為，半徑，圓心距，兩圓內(nèi)切，故選：B5、A【解析】依題意可得為正方形，即可得到，從而得到雙曲線的漸近線為，即可求出雙曲線的離心率；【詳解】解：依題意，，且四邊形為菱形，所以為正方形，所以，即雙曲線的漸近線為，即，所以；故選：A6、C【解析】按照空間中點(diǎn)到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.7、D【解析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷命題的真假，利用特殊值法可判斷命題的真假，結(jié)合復(fù)合命題的真假可判斷出各選項(xiàng)中命題的真假.【詳解】對(duì)于命題，由于函數(shù)為上的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，命題為真命題；對(duì)于命題，若，取，，則，命題為假命題.所以，、、均為假命題，為真命題.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單命題和復(fù)合命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】先設(shè)，代入化簡(jiǎn)，由純虛數(shù)定義求出，即可求解.【詳解】設(shè)，所以，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得，所以的虛部為：.故選：D.9、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式的幾何意義即可判定出動(dòng)點(diǎn)軌跡.【詳解】由題意可知表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和等于，又因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)的距離等于，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段.故選：10、C【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓、雙曲線方程的特點(diǎn)直接列式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)橢圓半焦距為c，則，而橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則在雙曲線中，，即有，解得，所以.故選：C11、C【解析】利用正弦函數(shù)和常數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，，故選：C12、D【解析】用基本量表示可得基本量的關(guān)系式，從而可得，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】若，則，而，此時(shí)，這與題設(shè)不合，故，故，故，而，故，此時(shí)不確定，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)平行可得斜率相等列出關(guān)于參數(shù)的方程，解方程進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以，解得或，又因?yàn)闀r(shí)，，，所以直線，重合故舍去，而,,，所以兩直線平行.所以，故答案為：3.【點(diǎn)睛】(1)當(dāng)直線的方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況．同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件(2)在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論14、##【解析】根據(jù)拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，利用拋物線的定義可得，有軸，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，又，所以點(diǎn)P為拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，由，由拋物線的定義得，解得，所以AB垂直與x軸，所以直線AB的方程為：.故答案為：15、【解析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求a+4b的最小值即可.【詳解】由，有，則，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)等號(hào)成立，∴最小值為.故答案為：16、【解析】根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，確定出坐標(biāo)系即可得【詳解】如圖，由已知得坐標(biāo)系如圖所示，軸過正方形的對(duì)角線交點(diǎn)，軸過中點(diǎn)，軸過中點(diǎn)，因此可知坐標(biāo)為故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）數(shù)列，，，不具有性質(zhì)；（2）證明見解析；（3）可能取值只有.【解析】（1）由數(shù)列具有性質(zhì)的定義，只需判斷存在與都不是數(shù)列中的項(xiàng)即可.（2）由性質(zhì)知：、，結(jié)合非負(fù)遞增性有，再由時(shí)，必有，進(jìn)而可得，，，，，應(yīng)用累加法即可證結(jié)論.（3）討論、、，結(jié)合性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)判斷是否存在符合題設(shè)性質(zhì)，進(jìn)而確定的可能取值.【小問1詳解】數(shù)列，，，不具有性質(zhì).因?yàn)?，，和均不是?shù)列，，，中的項(xiàng)，所以數(shù)列，，，不具有性質(zhì).【小問2詳解】記數(shù)列的各項(xiàng)組成的集合為，又，由數(shù)列具有性質(zhì)，，所以，即，所以.設(shè)，因?yàn)?，所?又，則，，，，.將上面的式子相加得：.所以.【小問3詳解】（i）當(dāng)時(shí)，由（2）知，，，這與數(shù)列不是等差數(shù)列矛盾，不合題意.（ii）當(dāng)時(shí)，存在數(shù)列，，，，符合題意，故可取.（iii）當(dāng)時(shí)，由（2）知，.①當(dāng)時(shí)，，所以，.又，，∴，，，，即.由，，得：，，∴.②由①②兩式相減得：，這與數(shù)列不是等差數(shù)列矛盾，不合題意.綜上，滿足題設(shè)的的可能取值只有.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，由可知，并應(yīng)用累加法求證結(jié)論；第三問，討論k的取值，結(jié)合的性質(zhì)，由性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)判斷不同k的取值情況下數(shù)列的存在性即可.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)距離公式即可求半徑，進(jìn)而得圓方程；（2）根據(jù)直線與圓的弦長(zhǎng)公式即可求解【小問1詳解】由，所以圓O的方程為；【小問2詳解】由點(diǎn)O到直線的距離為所以弦長(zhǎng)19、（1）；（2）.【解析】（1）首先求導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算，接著根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程即可;（2）因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，所以設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線的方程，代入點(diǎn)求解，最后寫出切線方程即可.【詳解】（1）.，.所以曲線在處的切線方程為，即（2）設(shè)切點(diǎn)為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，代入點(diǎn)得，，.所以曲線過點(diǎn)的切線方程為，即.20、（1）；（2）.【解析】（1）將不等式分解因式，即可求得不等式解集；（2）根據(jù)不等式解集，考慮其對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的特征，即可求出參數(shù)的范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，即，也即，則，解得或，故不等式解集為.【小問2詳解】不等式的解集為，即的解集為，也即的解集為，故其對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為：.21、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的定義域?yàn)?，求得，分、、三種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)，由題意可知恒成立，對(duì)實(shí)數(shù)分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，驗(yàn)證是否成立，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（ii）當(dāng)時(shí)，令得.若，則；若，則.①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；綜上，可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）設(shè)，，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且.當(dāng)時(shí)，，于是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，由于，，，所以，存在，使得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.故，不符合題意，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據(jù)等腰三角形可得，再由面面垂直的性質(zhì)得出線面