山東省泰安市寧陽(yáng)一中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

山東省泰安市寧陽(yáng)一中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線(xiàn)C上一點(diǎn)，，直線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)Q，若，則雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.2．已知斜率為1的直線(xiàn)l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為（）A. B.C. D.3．設(shè)為空間中的四個(gè)不同點(diǎn)，則“中有三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上”是“在同一個(gè)平面上”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件4．若雙曲線(xiàn)的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.25．直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，那么其斜率為（）A. B.C. D.6．已知拋物線(xiàn)x2＝4y上有一條長(zhǎng)為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為()A. B.C.1 D.27．已知平面向量，且，向量滿(mǎn)足，則的最小值為（）A. B.C. D.8．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.橢圓 B.直線(xiàn)C.線(xiàn)段 D.圓9．已知為圓：上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C. D.10．命題：，否定是（）A.， B.，C.， D.，11．橢圓中以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)斜率為（）A. B.C. D.12．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記{兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)}，{兩次的點(diǎn)數(shù)之和為8}，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸相交于，兩點(diǎn)，則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為_(kāi)__________.14．若圓被直線(xiàn)平分，則值為_(kāi)_________15．甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則甲、乙兩人下成和棋的概率為_(kāi)__________.16．已知平面，過(guò)空間一定點(diǎn)P作一直線(xiàn)l，使得直線(xiàn)l與平面，所成的角都是30°，則這樣的直線(xiàn)l有______條三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率（1）求橢圓方程；（2）若直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)．若滿(mǎn)足，求直線(xiàn)的方程18．（12分）已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，，，若對(duì)任意的正整數(shù)n成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn).求證：（1）平面；（2）平面.20．（12分）計(jì)算：（1）求函數(shù)（a，b為正常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)（2）已知點(diǎn)P在曲線(xiàn)上，為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的傾斜角，則的取值范圍21．（12分）已知（1）若函數(shù)在上有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）已知方程有兩個(gè)不等實(shí)根，證明：（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）22．（10分）已知橢圓F：經(jīng)過(guò)點(diǎn)且離心率為，直線(xiàn)和是分別過(guò)橢圓F的左、右焦點(diǎn)的兩條動(dòng)直線(xiàn)，它們與橢圓分別相交于點(diǎn)A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)AB和直線(xiàn)CD相交于M．記直線(xiàn)的斜率分別為，且（1）求橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）是否存在定點(diǎn)P，Q，使得為定值．若存在，請(qǐng)求出P、Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由題意可設(shè)且，即得a、b的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程.【詳解】由題設(shè)，，，又，P為雙曲線(xiàn)C上一點(diǎn)，∴，又，為的中點(diǎn)，∴，即，∴雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為.故選：B.2、C【解析】根據(jù)題意求得直線(xiàn)l的方程，設(shè)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理求得，再利用弦長(zhǎng)公式即可得出答案.【詳解】由橢圓知，，所以，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線(xiàn)的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消y得，，則，所以.即弦AB長(zhǎng)為.故選：C.3、A【解析】由公理2的推論即可得到答案.【詳解】由公理2的推論:過(guò)一條直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面,可得在同一平面,故充分條件成立;由公理2的推論：過(guò)兩條平行直線(xiàn),有且只有一個(gè)平面,可得,當(dāng)時(shí),同一個(gè)平面上,但中無(wú)三點(diǎn)共線(xiàn),故必要條件不成立;故選:A【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系和充分必要條件的判斷,重點(diǎn)考查公理2及其推論;屬于中檔題;公理2的三個(gè)推論：經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和直線(xiàn)外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn),有且只有一個(gè)平面;經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn),有且只有一個(gè)平面;4、D【解析】由雙曲線(xiàn)的離心率為3和，求得，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線(xiàn)的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立.故選：D【點(diǎn)睛】使用基本不等式解答問(wèn)題的策略：1、利用基本不等式求最值時(shí)，要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)為正；二是尋求定值；三是考慮等號(hào)成立的條件；2、若多次使用基本不等式時(shí)，容易忽視等號(hào)的條件的一致性，導(dǎo)致錯(cuò)解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿(mǎn)足基本不等式中的“正、定、等”的條件.5、B【解析】由兩點(diǎn)的斜率公式可得答案.【詳解】直線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則故選：B6、D【解析】由題意知，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l：y＝－1，過(guò)A作AA1⊥l于A1，過(guò)B作BB1⊥l于B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過(guò)M作MM1⊥l于M1.則|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn))，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x軸的距離d≥2.7、B【解析】由題設(shè)可得，又，易知，，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面點(diǎn)線(xiàn)距離關(guān)系：向量的終點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)到向量所在射線(xiàn)的距離最短，即可求的最小值.【詳解】解：∵，而，∴，又，即，又，，∴，若，則，∴在以為圓心，1為半徑的圓上，若，則，∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在圓上的哪一點(diǎn)時(shí)，使最小，又，∴當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)且時(shí)，最小為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由已知確定，，構(gòu)成等邊三角形，即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到射線(xiàn)的距離最短問(wèn)題.8、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式的幾何意義即可判定出動(dòng)點(diǎn)軌跡.【詳解】由題意可知表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和等于，又因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)的距離等于，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段.故選：9、C【解析】設(shè)，則的幾何意義為圓上的點(diǎn)和定點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，利用直線(xiàn)和圓相切，即可求出的最小值；【詳解】圓，它圓心是，半徑為1，設(shè)，則，即，當(dāng)直線(xiàn)和圓相切時(shí)，有，可得，，的最小值為：，故選：10、D【解析】根據(jù)給定條件利用全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題直接寫(xiě)出作答.【詳解】命題：，是全稱(chēng)量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題：，的否定是：，.故選：D11、A【解析】先設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，兩式相減后整理即可求得弦所在的直線(xiàn)的斜率【詳解】設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，代入橢圓得兩式相減得，即，即，即，即，弦所在的直線(xiàn)的斜率為，故選:A12、B【解析】利用條件概率公式進(jìn)行求解.【詳解】，其中表示：兩次點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)，且兩次點(diǎn)數(shù)之和為8，共有兩種情況，即，故，而，所以，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由直線(xiàn)的方程求出直線(xiàn)的斜率以及，兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的斜率以及線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式即可求解.【詳解】由直線(xiàn)可得，所以直線(xiàn)的斜率為，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的斜率為，令可得；令可得；即，，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的方程為，整理得.故答案為：.14、；【解析】求出圓的圓心坐標(biāo)，代入直線(xiàn)方程求解即可【詳解】解：的圓心圓被直線(xiàn)平分，可知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓的圓心，可得解得；故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題15、##【解析】直接根據(jù)概率和為1計(jì)算得到答案.【詳解】.故答案為：.16、4【解析】設(shè)平面，在平面內(nèi)作于點(diǎn)O，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作，設(shè)OM是的角平分線(xiàn)，過(guò)棱m上一點(diǎn)P作，則過(guò)點(diǎn)O在平面OMQP上存在2條直線(xiàn)l，使得直線(xiàn)l與OB、OA成，直線(xiàn)l與平面且與平面，所成的角都是30°，在的補(bǔ)角一側(cè)也存在2條滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l，由此可得答案.【詳解】解：設(shè)平面，在平面內(nèi)作于點(diǎn)O，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)O作，因?yàn)槠矫?，所以，設(shè)OM是的角平分線(xiàn)，則，過(guò)棱m上一點(diǎn)P作，則過(guò)點(diǎn)O在平面OMQP上存在2條直線(xiàn)l，使得直線(xiàn)l與OB、OA成，此時(shí)直線(xiàn)l與平面且與平面，所成的角都是30°，同理，在的補(bǔ)角一側(cè)也存在2條滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l，所以這樣的直線(xiàn)l有4條，故答案為：4.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）首先由橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)可以求出的值，再根據(jù)離心率可得到、的關(guān)系，聯(lián)立即可求得的值，進(jìn)而得到橢圓的方程；（2）先聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理得到線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，即可求得的值，進(jìn)而求得直線(xiàn)的方程【詳解】（1）由一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率，可得，，，解得，，即有橢圓方程為（2）由知點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，由，消去得，由，得方程的，即方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根設(shè)、，線(xiàn)段的中點(diǎn)，則，所以，所以，即，因?yàn)?，所以直線(xiàn)的斜率為，由，得，所以，解得：，即有直線(xiàn)的方程為18、【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意得，解方程得，，進(jìn)而得，故恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得當(dāng)或4時(shí)，取得最小值，進(jìn)而得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知，.聯(lián)立方程組，解得，.所以，，由題意，即.令，其圖象為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)或4時(shí)，取得最小值，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）連結(jié)、，交于點(diǎn)，連結(jié)，通過(guò)即可證明；（2）通過(guò)，

可證平面，即得，進(jìn)而通過(guò)平面得，結(jié)合即證.詳解】證明：（1）連結(jié)、，交于點(diǎn)，連結(jié)，底面正方形，∴是中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，.平面，

平面，∴平面.（2），點(diǎn)是的中點(diǎn)，.底面是正方形，側(cè)棱底面，∴，

，且

，∴平面，∴，又，∴平面，∴，，，平面.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行和線(xiàn)面垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，可得答案;（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合基本不等式求得導(dǎo)數(shù)的取值范圍，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意得：；【小問(wèn)2詳解】,由于，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，則P處的切線(xiàn)的斜率，由為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的傾斜角可得，由于，故的取值范圍為：.21、（1）（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值，列不等式組，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）記函數(shù)，把證明，轉(zhuǎn)化為只需證明，用分析法證明即可.【小問(wèn)1詳解】，定義域?yàn)椋?令，解得：；令，解得：所以在上單增，在上單減，在處取得唯一的極值.要使函數(shù)在上有極值，只需，解得：，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】記函數(shù).則函數(shù)有兩個(gè)不等實(shí)根.因?yàn)?，，兩式相減得，，兩式相加得，.因?yàn)?，所以要證，只需證明，只需證明，只需證明，.證.設(shè)，只需證明.記，則，所以在上2單增，所以，所以，即，所以.即證.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題；(4)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式22、（1）；（2）存在點(diǎn)，使得為定值.【解析】（1）設(shè)，，，結(jié)合條件即求；（2）由題可設(shè)直線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理法可得，再結(jié)合條件可得點(diǎn)的軌跡方程為，然后利用橢圓的定義即得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解