2025屆廣東省揭陽市數(shù)學高二上期末預測試題含解析

2025屆廣東省揭陽市數(shù)學高二上期末預測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數(shù)，則（）A.4 B.5C.6 D.72．瑞士數(shù)學家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點，其歐拉線方程為，則頂點C的坐標是（）A.（） B.（）C.（） D.（）3．已知點，若直線與線段沒有公共點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知長方體中，，，則直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.5．“”是直線與直線平行的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．若直線：與：互相平行，則a的值是（）A. B.2C.或2 D.3或7．已知橢圓的左右焦點分別為，直線與C相交于M，N兩點（其中M在第一象限），若M，，N，四點共圓，且直線傾斜角不小于，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.8．設是公差的等差數(shù)列，如果，那么（）A. B.C. D.9．直線分別與軸，軸交于，兩點，點在圓上，則面積的取值范圍是A. B.C. D.10．過點且斜率為的直線方程為（）A. B.C D.11．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.C. D.12．已知拋物線的方程為，則此拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝________.14．容積為V圓柱形密封金屬飲料罐，它的高與底面半徑比值為___________時用料最省.15．某學生到某工廠進行勞動實踐，利用打印技術制作模型.如圖，該模型為一個大圓柱中挖去一個小圓柱后剩余部分（兩個圓柱底面圓的圓心重合），大圓柱的軸截面是邊長為的正方形，小圓柱的側面積是大圓柱側面積的一半，打印所用原料的密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為________g.（取）16．已知直線，，若，則實數(shù)______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）新冠疫情下，有一學校推出了食堂監(jiān)管力度的評價與食品質量的評價系統(tǒng)，每項評價只有合格和不合格兩個選項，師生可以隨時進行評價，某工作人員利用隨機抽樣的方法抽取了200位師生的信息，發(fā)現(xiàn)對監(jiān)管力度滿意的占75%，對食品質量滿意的占60%，其中對監(jiān)管力度和食品質量都滿意的有80人.（1）完成列聯(lián)表，試問：是否有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質量有關聯(lián)？監(jiān)督力度情況食品質量情況對監(jiān)督力度滿意對監(jiān)督力度不滿意總計對食品質量滿意80對食品質量不滿意總計200（2）為了改進工作作風，針對抽取的200位師生，對監(jiān)管力度不滿意的人抽取3位征求意見，用X表示3人中對監(jiān)管力度與食品質量都不滿意的人數(shù)，求X的分布列與均值.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：①當時，有90%的把握判斷變量A、B有關聯(lián)；②當時，有95%的把握判斷變量A、B有關聯(lián)；③當時，有99%的把握判斷變量A、B有關聯(lián).18．（12分）已知拋物線的焦點到準線的距離為2.（1）求C的方程：（2）過C上一動點P作圓兩條切線，切點分別為A，B，求四邊形PAMB面積的最小值.19．（12分）已知數(shù)列的前n項和，遞增等比數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和為.20．（12分）已知點，直線：，直線m過點N且與垂直，直線m交圓于兩點A，B.（1）求直線m的方程；（2）求弦AB的長.21．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由賈玲導演的電影《你好，李煥英》上映，截至到2月21日22點8分，票房攀升至40.25億，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎來了2021春節(jié)檔最具戲劇性的一幕．正是因為影片中母女間的這份簡單、純粹、誠摯的情感觸碰了人們內(nèi)心柔軟的地方，打動了萬千觀眾，才贏得了良好的口碑，不少觀眾都流下了感動的淚水．影片結束后，某電影院工作人員當日隨機抽查了100名觀看《你好，煥英》的觀眾，詢問他們在觀看影片的過程中是否“流淚”，得到以下表格：男性觀眾女性觀眾合計流淚20沒有流淚520合計（1）完成表格中的數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關？（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，然后從這5人中再隨機抽取2人，求這2人都流淚的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，22．（10分）設函數(shù).（1）當k＝1時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)在上的最小值m和最大值M.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，將x=1代入即可求得答案.【詳解】,故，故選：D.2、A【解析】根據(jù)題意，求得的外心，再根據(jù)外心的性質，以及重心的坐標，聯(lián)立方程組，即可求得結果.【詳解】因為，故的斜率，又的中點坐標為，故的垂直平分線的方程為，即，故△的外心坐標即為與的交點，即，不妨設點，則，即；又△的重心的坐標為，其滿足，即，也即，將其代入，可得，，解得或，對應或，即或，因為與點重合，故舍去.故點的坐標為.故選：A.3、A【解析】分別求出，即可得到答案.【詳解】直線經(jīng)過定點.因為，所以,所以要使直線與線段沒有公共點，只需：，即.所以的取值范圍是.故選：A4、C【解析】建立空間直角坐標系，設直線與所成角為，由求解.【詳解】∵長方體中，，，∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標系，，則，，，，所以，，設直線與所成角為，則，∴直線和夾角余弦值是.故選：C.5、C【解析】先根據(jù)直線平行的充要條件求出a，然后可得.【詳解】若，則，，顯然平行；若直線，則且，即.故“”是直線與直線平行的充要條件.故選：C6、A【解析】根據(jù)直線：與：互相平行，由求解.【詳解】因為直線：與：互相平行，所以，即，解得或，當時，直線：，：，互相平行；當時，直線：，：，重合；所以，故選：A7、B【解析】設橢圓的半焦距為c，由橢圓的中心對稱性和圓的性質得以為直徑的圓與橢圓C有公共點，則有以，再根據(jù)直線傾斜角不小于得，由橢圓的定義得，由此可求得橢圓離心率的范圍.【詳解】解：設橢圓的半焦距為c，由橢圓的中心對稱性和M，，N，四點共圓得，四邊形必為一個矩形，即以為直徑的圓與橢圓C有公共點，所以，所以，所以，因為直線傾斜角不小于，所以直線傾斜角不小于，所以，化簡得，，因為，所以，所以，，又，因為，所以，所以，所以，所以.故選：B.8、D【解析】由已知可得，即可得解.【詳解】由已知可得.故選：D.9、A【解析】分析：先求出A，B兩點坐標得到再計算圓心到直線距離，得到點P到直線距離范圍，由面積公式計算即可詳解：直線分別與軸，軸交于，兩點,則點P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點P到直線的距離的范圍為則故答案選A.點睛：本題主要考查直線與圓，考查了點到直線的距離公式，三角形的面積公式，屬于中檔題10、B【解析】利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.11、D【解析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列的通項公式，再利用裂項相消法即可計算作答.【詳解】因，則，所以，所以.故選：D12、A【解析】由拋物線的方程直接寫出其準線方程即可.【詳解】由拋物線的方程為，則其準線方程為：故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或當a＝－3，b＝3時，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝414、【解析】設圓柱的底面半徑為，高為，容積為，由，得到，進而求得表面積，結合不等式，即可求解.【詳解】設圓柱的底面半徑為，高為，容積為，則，即有，可得圓柱的表面積為，當且僅當時，即時最小，即用料最省，此時，可得.故答案為：.15、4500【解析】根據(jù)題意可知大圓柱底面圓的半徑，兩圓柱的高，設小圓柱的底面圓的半徑為，再根據(jù)小圓柱的側面積是大圓柱側面積的一半，求出小圓柱的底面圓的半徑，然后求出該模型的體積，從而可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可知大圓柱的底面圓的半徑，兩圓柱的高，設小圓柱的底面圓的半徑為，則有，即，解得，所以該模型的體積為，所以制作該模型所需原料的質量為.故答案為：4500.16、【解析】由直線垂直可得到關于實數(shù)a的方程，解方程即可.【詳解】由直線垂直可得：，解得：.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）列聯(lián)表見解析，有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質量有關聯(lián)；（2）X的分布列見解析，X的期望為【解析】(1)根據(jù)給定條件完善列聯(lián)表，再計算的觀測值并結合給定數(shù)據(jù)即可作答.(2)求出X的可能值及各個值對應的概率列出X的分布列，再計算期望作答.【小問1詳解】對監(jiān)管力度滿意的有，對食品質量滿意的有，列聯(lián)表如下：對監(jiān)督力度滿意對監(jiān)督力度不滿意總計對食品質量滿意8040120對食品質量不滿意701080總計15050200則的觀測值為：，所以有99%的把握判斷監(jiān)管力度與食品質量有關聯(lián).【小問2詳解】由(1)及已知得，X的所有可能值為：0，1，2，3，，，，，X的分布列為：X0123PX的期望為：.【點睛】易錯點睛：獨立性檢驗得出的結論是帶有概率性質的，不可對某個問題下確定性結論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結果作出錯誤的解釋18、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)拋物線方程求出交點坐標和準線方程，求出p即可；(2)設，利用兩點坐標求距離公式求出，根據(jù)四邊形PAMB的面積得到關于的二次函數(shù)，結合二次函數(shù)的性質即可得出結果.【小問1詳解】因為C的焦點為，準線為，由題意得，即，因此.【小問2詳解】圓M的圓心為，半徑為1.由條件可知，，且，于是.設，則.當時等號成立，所以四邊形PAMB面積的最小值為.19、（1），（2）【解析】（1）先求，再由求出，設等比數(shù)列的公比為q，由條件可得，解出結合條件可得答案.（2）由（1）可得，利用錯位相減法可求【小問1詳解】，當時，，也滿足上式，∴，則.設等比數(shù)列的公比為q，由得，解得或.因為是遞增等比數(shù)列，所以，.【小問2詳解】①①①②：∴20、（1）（2）【解析】（1）求出斜率，用點斜式求直線方程；（2）利用垂徑定理求弦長.【小問1詳解】因為直線：，所以直線的斜率為.因為直線m過點N且與垂直，所以直線的斜率為，又過點，所以直線：，即【小問2詳解】直線與圓相交，則圓心到直線的距離為：，圓的半徑為，所以弦長21、（1）填表見解析；有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關；（2）【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可完善列聯(lián)表，然后計算可得結論；（2）根據(jù)分層抽樣定義求出5人中流淚與沒有流淚的觀眾人數(shù)并編號，用列舉法寫出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流淚的基本事件，計數(shù)后可計算概率【詳解】解：（1）男性觀眾女性觀眾合計流淚206080沒有流淚15520合計3565100所以有99.9%的把握認為觀眾在觀看影片的過程中流淚與性別有關（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒有流淚的觀眾中抽取5人，則流淚的