湖南省益陽(yáng)市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含解析

湖南省益陽(yáng)市2025屆高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在處取得極小值，則（）A. B.C. D.2．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的右支于A(yíng)，B兩點(diǎn).若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.3．已知，命題“若，則，全為0”的否命題是（）A.若，則，全不為0. B.若，不全為0，則.C.若，則，不全為0. D.若，則，全不為0.4．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希臘西西里島敘拉古（今意大利西西里島上），偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，與高斯、牛頓并稱(chēng)為世界三大數(shù)學(xué)家．有一類(lèi)三角形叫做阿基米德三角形（過(guò)拋物線(xiàn)的弦與過(guò)弦端點(diǎn)的兩切線(xiàn)所圍成的三角形），他利用“通近法”得到拋物線(xiàn)的弦與拋物線(xiàn)所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的（即右圖中陰影部分面積等于面積的）．若拋物線(xiàn)方程為，且直線(xiàn)與拋物線(xiàn)圍成封閉圖形的面積為6，則（）A.1 B.2C. D.35．已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且與該拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若滿(mǎn)足，則直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.6．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足方程，則的最大值為（）A.3 B.2C. D.7．連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對(duì)立事件是（）A.只有2次出現(xiàn)反面 B.至少2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面 D.有2次或3次出現(xiàn)反面8．?dāng)?shù)列1，-3，5，-7，9，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為A. B.C. D.9．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A. B.C. D.10．如圖，已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)、在橢圓上，四邊形是梯形，，且，則的面積為（）A. B.C. D.11．設(shè)，，，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.12．若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓C，直線(xiàn)l：，若圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離都等于1.則b的取值范圍為_(kāi)__.14．已知某農(nóng)場(chǎng)某植物高度，且，如果這個(gè)農(nóng)場(chǎng)有這種植物10000棵，試估計(jì)該農(nóng)場(chǎng)這種植物高度在區(qū)間上的棵數(shù)為_(kāi)_____.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.15．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線(xiàn)C：﹣y2＝1（a＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)C上的任意一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），過(guò)F1作∠F1PF2的角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為H，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．若|F1F2|＝6|OH|，則雙曲線(xiàn)C的方程為_(kāi)___16．將集合且中所有的元素從小到大排列得到的數(shù)列記為，則___________（填數(shù)值）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，的面積為1.（1）求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1）求邊的垂直平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)的方程；（2）若面積為5，求點(diǎn)的坐標(biāo)19．（12分）已知橢圓，焦點(diǎn)，A，B是上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)的最小值為（1）求的方程；（2）直線(xiàn)FA與交于點(diǎn)M（異于點(diǎn)A），直線(xiàn)FB與交于點(diǎn)N（異于點(diǎn)B），證明：直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)20．（12分）如圖，四邊形為矩形，，且平面平面.（1）若，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若是等邊三角形，求平面與平面夾角的余弦值.21．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.（1）若，，，求邊長(zhǎng)c；（2），，，求角C.22．（10分）已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)l交動(dòng)點(diǎn)P的軌跡于不同的兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，求證直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由導(dǎo)數(shù)與極值與最值的關(guān)系，列式求實(shí)數(shù)的值.【詳解】由條件可知，，，解得：，，檢驗(yàn)，時(shí)，當(dāng)，得或，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，當(dāng)，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，滿(mǎn)足條件.所以.故選：A2、A【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合雙曲線(xiàn)定義求出，，再借助余弦定理求出半焦距c即可計(jì)算作答.【詳解】因，令，，而雙曲線(xiàn)實(shí)半軸長(zhǎng)，由雙曲線(xiàn)定義知，，而，于是可得，在等腰中，，令雙曲線(xiàn)半焦距為c，在中，由余弦定理得：，而，，，解得，所以雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線(xiàn)的離心率的方法：(1)定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；(3)特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.3、C【解析】根據(jù)四種命題的關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)榉衩}是否定原命題的條件和結(jié)論，所以命題“若，則，全為0”的否命題是：若，則，不全為0，故選：C4、D【解析】根據(jù)題目所給條件可得阿基米德三角形的面積，再利用三角形面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)過(guò)焦點(diǎn)的弦垂直于x軸時(shí)，即時(shí)，，即，故選：D5、C【解析】求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，設(shè)出直線(xiàn)方程，代入拋物線(xiàn)方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量坐標(biāo)表示，解得，即可得出直線(xiàn)的方程.【詳解】解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)為，則，整理得，則，.由可得，代入上式即可得，所以，整理得：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，主要考查韋達(dá)定理和向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.6、D【解析】將方程化為，由圓的幾何性質(zhì)可得答案.【詳解】將方程變形為，則圓心坐標(biāo)為，半徑，則圓上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍為：則x的最大值是故選：D.7、D【解析】根據(jù)對(duì)立事件的定義選擇【詳解】對(duì)立事件是指事件A和事件B必有一件發(fā)生，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，“至少2次出現(xiàn)正面”即有2次或3次出現(xiàn)正面，對(duì)立事件為“有2次或3次出現(xiàn)反面”故選：D8、C【解析】觀(guān)察，奇偶相間排列，偶數(shù)位置為負(fù)，所以為，數(shù)字是奇數(shù)，滿(mǎn)足2n-1,所以可求得通項(xiàng)公式.【詳解】由符號(hào)來(lái)看，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以符號(hào)滿(mǎn)足，由數(shù)值1，3，5，7，9…顯然滿(mǎn)足奇數(shù)，所以滿(mǎn)足2n-1,所以通項(xiàng)公式為，選C.【點(diǎn)睛】本題考查觀(guān)察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是培養(yǎng)對(duì)數(shù)字的敏銳性，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為可知，拋物線(xiàn)即的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).10、A【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，分析可知、、三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線(xiàn)的方程為，分析可知，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的值，可得出的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接、，如下圖所示：因?yàn)闉?、的中點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，可得且，因?yàn)?，故、、三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)、，易知點(diǎn)，，，由題意可知，，可得，若直線(xiàn)與軸重合，設(shè)，，則，不合乎題意；設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，得，，則，可得，故，因此，.故選：A.11、B【解析】利用特殊值法可判斷ACD的正誤，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判斷B的正誤.【詳解】對(duì)于A(yíng)中，令，，，，滿(mǎn)足，，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)?，所以由不等式的可加性，可得，所以，故B正確；對(duì)于C中，令，，，，滿(mǎn)足，，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，令，，，，滿(mǎn)足，，但，故D錯(cuò)誤故選：B12、D【解析】由題意設(shè)出拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用焦點(diǎn)為建立，解方程即可.【詳解】由題意，設(shè)拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，解得，所以?huà)佄锞€(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】圓C：的半徑為3，圓心坐標(biāo)為：設(shè)圓心到直線(xiàn)l：的距離為，要想圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離都等于1，只需，即，所以.故答案為：.14、1359【解析】由已知求得，則，結(jié)合已知求得，乘以10000得答案【詳解】解：由，得，又，，則，估計(jì)該農(nóng)場(chǎng)這種植物高度在區(qū)間，上的棵數(shù)為故答案為：135915、8x2﹣y2＝1【解析】延長(zhǎng)F1H與PF2，交于K，連接OH，由三角形的中位線(xiàn)定理和雙曲線(xiàn)的定義、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線(xiàn)的a，b，c的關(guān)系，可得雙曲線(xiàn)方程【詳解】解：延長(zhǎng)F1H與PF2，交于K，連接OH，由題意可得PH為邊KF1的垂直平分線(xiàn)，則|PF1|＝|PK|，且H為KF1的中點(diǎn)，|OH|＝|KF2|，由雙曲線(xiàn)的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝|PK|﹣|PF2|＝|F2K|＝2a，則|OH|＝a，又|F1F2|＝6|OH|，所以2c＝6a，即c＝3a，b＝＝2a，又雙曲線(xiàn)C：﹣y2＝1，知b＝1，所以a＝，所以雙曲線(xiàn)的方程為8x2﹣y2＝1故答案為：8x2﹣y2＝116、992【解析】列舉數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀(guān)察特征，可得出.詳解】由題意得觀(guān)察規(guī)律可得中，以為被減數(shù)的項(xiàng)共有個(gè)，因?yàn)?，所以是中的?項(xiàng)，所以.故答案為：992.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)由條件列方程求，由此可得拋物線(xiàn)方程；(2)方法一：聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，結(jié)合條件三點(diǎn)共線(xiàn)，可證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，方法二：聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)與直線(xiàn)求，由垂直與軸列方程化簡(jiǎn)，可證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，即，，因?yàn)椋式獾?，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線(xiàn)的方程為，由，得，所以，由（1）可知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，若時(shí)，因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，即，又因?yàn)椋?，化?jiǎn)可得，又，進(jìn)而可得，整理得，因?yàn)樗?，此時(shí)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)又直線(xiàn)也過(guò)點(diǎn)，綜上：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)解法二：設(shè)方程，得若直線(xiàn)斜率存在時(shí)斜率方程為即解得：，于是有整理得.（*）代入上式可得所以直線(xiàn)方程為直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).若直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，M點(diǎn)坐標(biāo)為此時(shí)直線(xiàn)方程為過(guò)點(diǎn)綜上：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】解決直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題時(shí)，要注意：(1)注意觀(guān)察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線(xiàn)、拋物線(xiàn)的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問(wèn)題18、（1）；（2）或【解析】（1）由題意直線(xiàn)的斜率公式，兩直線(xiàn)垂直的性質(zhì)，求出的斜率，再用點(diǎn)斜式求直線(xiàn)的方程（2）根據(jù)面積為5，求得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求得的值【詳解】解：（1），，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，又設(shè)邊的垂直平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)的斜率為則，可得的方程為，即邊的垂直平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)的方程（2）邊所在的直線(xiàn)方程為設(shè)邊上的高為即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為且解得解得或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或19、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得，則三角形的周長(zhǎng)為，再設(shè)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到，即可求出的周長(zhǎng)的最小值為，從而得到，再根據(jù)，即可求出、，從而求出橢圓方程；（2）設(shè)直線(xiàn)MN的方程，，，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，再設(shè)直線(xiàn)的方程、，直線(xiàn)的方程、，聯(lián)立直線(xiàn)方程，消元列出韋達(dá)定理，即可表示，即可得到，整理得，再代入，，即可得到，從而求出，即可得解；【小問(wèn)1詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則由對(duì)稱(chēng)性，，所以的周長(zhǎng)為設(shè)，則，當(dāng)A，B是橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，的周長(zhǎng)取得最小，所以，即，又橢圓焦點(diǎn)，所以，所以，所以，解得，，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)A，B為橢圓左右頂點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)MN與x軸重合；當(dāng)A，B為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，可得直線(xiàn)MN的方程為；設(shè)直線(xiàn)MN的方程，，，，由得，，，，設(shè)直線(xiàn)的方程，其中，，，由得，，，，設(shè)直線(xiàn)的方程，其中，，由得，，，所以，所以，所以，則，即，代入，，得，整理得，又所以，直線(xiàn)MN的方程為，綜上直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)20、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，在平面中找到即可證明（2）建立直角坐標(biāo)系，通過(guò)兩個(gè)面的法向量夾角的余弦值求出面面夾角的余弦值【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn).所以且，又，為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接，，則，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵是等邊三角形，為中點(diǎn)，∴，分別以，，所在直線(xiàn)為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有即取可取，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則有即可取，所以，設(shè)平面與平面的夾角為，則，∴，即平面與平面夾角的余弦值為.21、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)余弦定理可求得答案；（2）根據(jù)正弦定理和三角形的內(nèi)角和可求得答案.【小問(wèn)1詳解】解：由余弦定理得：，所以.【小問(wèn)2詳解】解：由正弦定理得：得，所以或120°，