2025屆河南省洛陽(yáng)市欒川縣實(shí)驗(yàn)高中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2025屆河南省洛陽(yáng)市欒川縣實(shí)驗(yàn)高中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線(xiàn)：（，）的右焦點(diǎn)與圓：的圓心重合，且圓被雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A．2 B． C． D．32．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且.若，的面積為，則（）A．5 B． C．4 D．163．已知命題：“關(guān)于的方程有實(shí)根”，若為真命題的充分不必要條件為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知，且，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A．25 B．32 C．35 D．406．設(shè)函數(shù)，若在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)的右支于點(diǎn)P，以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸為直徑的圓與直線(xiàn)l相切，切點(diǎn)為H，若，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）A． B． C． D．8．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．9．已知隨機(jī)變量滿(mǎn)足，，.若，則（）A．， B．，C．， D．，10．設(shè)全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．11．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．512．若2m＞2n＞1，則（）A． B．πm﹣n＞1C．ln（m﹣n）＞0 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，均存在以為三邊邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_______.14．某班有學(xué)生52人,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機(jī)編號(hào),用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個(gè)容量為4的樣本,已知5號(hào)、31號(hào)、44號(hào)學(xué)生在樣本中,則樣本中還有一個(gè)學(xué)生的編號(hào)是__________．15．已知半徑為的圓周上有一定點(diǎn)，在圓周上等可能地任意取一點(diǎn)與點(diǎn)連接，則所得弦長(zhǎng)介于與之間的概率為_(kāi)_________．16．已知向量，，若，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)都是正數(shù)，且，．求證：．18．（12分）在，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，邊上的中線(xiàn)，求的面積.19．（12分）已知曲線(xiàn)，直線(xiàn)：（為參數(shù)）.（I）寫(xiě)出曲線(xiàn)的參數(shù)方程，直線(xiàn)的普通方程；（II）過(guò)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)作與夾角為的直線(xiàn)，交于點(diǎn)，的最大值與最小值．20．（12分）已知橢圓,直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線(xiàn)段的中點(diǎn)為．（Ⅰ）證明：直線(xiàn)的斜率與的斜率的乘積為定值；（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線(xiàn)段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說(shuō)明理由．21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）若在上恒成立，求的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù)(mR)的導(dǎo)函數(shù)為．（1）若函數(shù)存在極值，求m的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），對(duì)任意mR，若關(guān)于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由已知，圓心M到漸近線(xiàn)的距離為，可得，又，解方程即可.【詳解】由已知，，漸近線(xiàn)方程為，因?yàn)閳A被雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為，所以圓心M到漸近線(xiàn)的距離為，故，所以離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的問(wèn)題，涉及到直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.2、C【解析】

根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運(yùn)用,屬于中檔題.3、B【解析】命題p：，為，又為真命題的充分不必要條件為，故4、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定義計(jì)算．【詳解】由可得，因?yàn)?，所以．故在方向上的投影為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積與投影．掌握向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系是解題關(guān)鍵．5、C【解析】

設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可根據(jù)題意列出兩個(gè)方程，求出通項(xiàng)公式，從而求得．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得，∴，即有．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于容易題．6、A【解析】

由求出范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點(diǎn)特征，建立不等量關(guān)系，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，∵在上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，∴，∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，整體代換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.【詳解】由已知，，在中，由余弦定理，得，又，，所以，，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的計(jì)算問(wèn)題，處理雙曲線(xiàn)離心率問(wèn)題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系，本題是一道中檔題.8、A【解析】

由已知可得，根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得：，再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量滿(mǎn)足，，.所以服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的性質(zhì)可得：，因?yàn)?，所以，由二次函?shù)的性質(zhì)可得：，在上單調(diào)遞減，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.10、A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】，，則，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解析】試題分析：拋物線(xiàn)焦點(diǎn)在軸上，開(kāi)口向上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，所以點(diǎn)A到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，所以點(diǎn)A與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn)：本小題主要考查應(yīng)用拋物線(xiàn)定義和拋物線(xiàn)上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評(píng)：拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.12、B【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合特殊值進(jìn)行辨析.【詳解】若2m＞2n＞1＝20，∴m＞n＞0，∴πm﹣n＞π0＝1，故B正確；而當(dāng)m，n時(shí)，檢驗(yàn)可得，A、C、D都不正確，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系判斷參數(shù)的大小，根據(jù)參數(shù)的大小判定指數(shù)冪或?qū)?shù)的大小關(guān)系，需要熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合特值法得出選項(xiàng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知對(duì)任意的恒成立,將的解析式用分離常數(shù)法變形,由均值不等式可得分母的取值范圍,則整個(gè)式子的取值范圍由的符號(hào)決定,故分為三類(lèi)討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域,再討論,轉(zhuǎn)化為的最小值與的最大值的不等式,進(jìn)而求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意正實(shí)數(shù),都存在以為三邊長(zhǎng)的三角形,故對(duì)任意的恒成立,,令,則,當(dāng),即時(shí),該函數(shù)在上單調(diào)遞減,則；當(dāng),即時(shí),,當(dāng),即時(shí),該函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,所以,當(dāng)時(shí),因?yàn)?,所以,解得；當(dāng)時(shí),,滿(mǎn)足條件；當(dāng)時(shí),,且,所以,解得,綜上,,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)范圍,考查三角形的構(gòu)成條件,考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域,考查分類(lèi)討論思想與轉(zhuǎn)化思想.14、18【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)求出另一個(gè)個(gè)體的編號(hào).【詳解】解：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個(gè)個(gè)體的編號(hào)成等差數(shù)列,已知其中三個(gè)個(gè)體的編號(hào)為5,31,44,故還有一個(gè)抽取的個(gè)體的編號(hào)為18,故答案為:18【點(diǎn)睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡(jiǎn)單題.15、【解析】在圓上其他位置任取一點(diǎn)B，設(shè)圓半徑為R，其中滿(mǎn)足條件AB弦長(zhǎng)介于與之間的弧長(zhǎng)為?2πR，則AB弦的長(zhǎng)度大于等于半徑長(zhǎng)度的概率P==；故答案為：．16、1【解析】

根據(jù)向量加法和減法的坐標(biāo)運(yùn)算,先分別求得與,再結(jié)合向量的模長(zhǎng)公式即可求得的值.【詳解】向量,則,則因?yàn)榧?化簡(jiǎn)可得解得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了向量坐標(biāo)加法和減法的運(yùn)算,向量模長(zhǎng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、證明見(jiàn)解析【解析】

利用比較法進(jìn)行證明：把代數(shù)式展開(kāi)、作差、化簡(jiǎn)可得,,可證得成立,同理可證明,由此不等式得證.【詳解】證明:因?yàn)?，所以，∴成立，又都是正數(shù)，∴，①同理，∴．【點(diǎn)睛】本題考查利用比較法證明不等式;考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力;把差變形為因式乘積的形式是證明本題的關(guān)鍵;屬于中檔題。18、(1)(2)答案不唯一，見(jiàn)解析【解析】

（1）由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得的值；（2）在中，由余弦定理可得，解方程分別由三角形面積公式可得答案．【詳解】解：（1）在中，因?yàn)?，又已知，所以，因?yàn)?，所以，于?所以.（2）在中，由余弦定理得，得解得或，當(dāng)時(shí)，的面積，當(dāng)時(shí)，的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面積公式和分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．19、（I）；（II）最大值為，最小值為.【解析】試題分析：（I）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)，得橢圓的參數(shù)方程為，消去參數(shù)即得直線(xiàn)的普通方程為；（II）關(guān)鍵是處理好與角的關(guān)系．過(guò)點(diǎn)作與垂直的直線(xiàn)，垂足為，則在中，，故將的最大值與最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn)，到定直線(xiàn)的最大值與最小值問(wèn)題處理．試題解析：（I）曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．直線(xiàn)的普通方程為．（II）曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)到的距離為．則．其中為銳角，且．當(dāng)時(shí)，取到最大值，最大值為．當(dāng)時(shí)，取到最小值，最小值為．【考點(diǎn)定位】1、橢圓和直線(xiàn)的參數(shù)方程；2、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式；3、解直角三角形．20、（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）能，或．【解析】試題分析：（1）設(shè)直線(xiàn)，直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求根與系數(shù)的關(guān)系，并表示直線(xiàn)的斜率，再表示；（2）第一步由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立求點(diǎn)的坐標(biāo)，第二步再整理點(diǎn)的坐標(biāo)，如果能構(gòu)成平行四邊形，只需，如果有值，并且滿(mǎn)足，的條件就說(shuō)明存在，否則不存在.試題解析：解：(1)設(shè)直線(xiàn)，，，．∴由得，∴，．∴直線(xiàn)的斜率，即．即直線(xiàn)的斜率與的斜率的乘積為定值．（2）四邊形能為平行四邊形．∵直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，∴不過(guò)原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．∴由得，即將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)的方程得，因此．四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線(xiàn)段與線(xiàn)段互相平分，即∴．解得，．∵，，，∴當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí)，四邊形為平行四邊形．考點(diǎn)：直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用【一題多解】第一問(wèn)涉及中點(diǎn)弦，當(dāng)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，（1）知道中點(diǎn)坐標(biāo)，求直線(xiàn)的斜率，或知道直線(xiàn)斜率求中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，或知道求直線(xiàn)斜率與直線(xiàn)斜率的關(guān)系時(shí)，也可以選擇點(diǎn)差法，設(shè),，代入橢圓方程，兩式相減，化簡(jiǎn)為，兩邊同時(shí)除以得，而,,即得到結(jié)果，（2）對(duì)于用坐標(biāo)法來(lái)解決幾何性質(zhì)問(wèn)題，那么就要求首先看出幾何關(guān)系滿(mǎn)足什么條件，其次用坐標(biāo)表示這些幾何關(guān)系，本題的關(guān)鍵就是如果是平行四邊形那么對(duì)角線(xiàn)互相平分，即，分別用方程聯(lián)立求兩個(gè)坐標(biāo)，最后求斜率.21、（1）；（2）【解析】

（1）,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),分別求出和,即可求出在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;（2）對(duì)求導(dǎo),分、和三種情況討論的單調(diào)性,再結(jié)合在上恒成立,可求得的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?所以,所以,則,故曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（2）因?yàn)?所以,①當(dāng)時(shí),在上恒成立,則在上單調(diào)遞增,從而成立,故符合題意;②當(dāng)時(shí),令,解得,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意;③當(dāng)時(shí),在上恒成立,即在上單調(diào)遞減,則,故不符合題意.綜上,的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程的求法,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了不等式恒成立問(wèn)題,利用分類(lèi)討論是解決本題的較好方法,屬于中檔題.22、（1）（2）{1，2}．【解析】

（1）求解導(dǎo)數(shù)，表示出，再利用的導(dǎo)數(shù)可求m的取值范圍；（2）表示出，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)求出的最小值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)及基本不等式求出的最值，從而可求正整數(shù)k的取值集合．【詳