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山東省青島市即墨區(qū)重點(diǎn)高中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有這樣一道題目:把個面包分給個人,使每個人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的是較小的兩份之和,則最小的一份為()A. B.C. D.2.某商場有四類食品,其中糧食類、植物油類、動物性食品類以及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種,現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本,則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是()A.4 B.5C.6 D.73.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為()A. B.C. D.4.已知拋物線,過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,點(diǎn)為切點(diǎn).若的面積不大于,則的取值范圍是()A. B.C. D.5.已知雙曲線,則“”是“雙曲線的焦距大于4”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.拋物線有一條重要的性質(zhì):平行于拋物線的軸的光線,經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后經(jīng)過它的焦點(diǎn).反之,從焦點(diǎn)發(fā)出的光線,經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后,反射光線平行于拋物線的軸.已知拋物線,從點(diǎn)發(fā)出一條平行于x軸的光線,經(jīng)過拋物線兩次反射后,穿過點(diǎn),則光線從A出發(fā)到達(dá)B所走過的路程為()A.8 B.10C.12 D.147.已知空間向量,,,則()A.4 B.-4C.0 D.28.已知橢圓的左頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,右焦點(diǎn)為,若,則橢圓的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.9.已知等比數(shù)列中,,,則首項(xiàng)()A. B.C. D.010.設(shè)是等比數(shù)列,則“對于任意的正整數(shù)n,都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.饕餮紋是青銅器上常見的花紋之一,最早見于長江中下游地區(qū)的良渚文化陶器和玉器上,盛行于商代至西周早期.將青銅器中的饕餮紋的一部分畫到方格紙上,如圖所示,每個小方格的邊長為一個單位長度,有一點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),每次向右或向下跳一個單位長度,且向右或向下跳是等可能的,那么點(diǎn)經(jīng)過3次跳動后恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)的概率為()A. B.C. D.12.“”是“”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前4項(xiàng)依次為,,,,則的一個通項(xiàng)公式為________14.在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為棱AA1,BB1的中點(diǎn),G為棱A1B1上的一點(diǎn),且A1G=(0<<2),則點(diǎn)G到平面D1EF的距離為____.15.直線的傾斜角的大小是_________.16.若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形,且圓錐的側(cè)面積為,則該圓錐的體積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,數(shù)列滿足,.(1)求和的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.18.(12分)已知橢圓的右焦點(diǎn)是橢圓上的一動點(diǎn),且的最小值是1,當(dāng)垂直長軸時,.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線與橢圓相切,且交圓于兩點(diǎn),求面積的最大值,并求此時直線方程.19.(12分)已知等差數(shù)列滿足:,,數(shù)列的前n項(xiàng)和為(1)求及;(2)設(shè)是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和20.(12分)一個長方體的平面展開圖及該長方體的直觀圖的示意圖如圖所示(1)請將字母F,G,H標(biāo)記在長方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由):(2)若且有下面兩個條件:①;②,請選擇其中一個條件,使得DF⊥平面,并證明你的結(jié)論21.(12分)已知直線經(jīng)過點(diǎn),,直線經(jīng)過點(diǎn),且.(1)分別求直線,的方程;(2)設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為,求外接圓的方程.22.(10分)年世界人工智能大會已于年月在上海徐匯西岸舉行,某高校的志愿者服務(wù)小組受大會展示項(xiàng)目的啟發(fā),會后決定開發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如圖所示,、兩個信號源相距米,是的中點(diǎn),過點(diǎn)的直線與直線的夾角為,機(jī)器貓?jiān)谥本€上運(yùn)動,機(jī)器鼠的運(yùn)動軌跡始終滿足:接收到點(diǎn)的信號比接收到點(diǎn)的信號晚秒(注:信號每秒傳播米).在時刻時,測得機(jī)器鼠距離點(diǎn)為米.(1)以為原點(diǎn),直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),求時刻時機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo);(2)游戲設(shè)定:機(jī)器鼠在距離直線不超過米的區(qū)域運(yùn)動時,有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動軌跡不變,是否有“被抓”風(fēng)險(xiǎn)?
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為,設(shè)公差為,可得,,求出,根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,得到關(guān)于關(guān)系式,即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為,設(shè)公差為,依題意可得,,,,解得,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和、通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算,等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.2、C【解析】按照分層抽樣的定義進(jìn)行抽取.【詳解】按照分層抽樣的定義有,糧食類:植物油類:動物性食品類:果蔬類=4:1:3:2,抽20個出來,則糧食類8個,植物油類2個,動物性食品類6個,果蔬類4個,則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是6個.故選:C.3、B【解析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則即可求導(dǎo).【詳解】,故選:B.4、C【解析】由題意,設(shè),直線方程為,則由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離,再聯(lián)立直線與拋物線方程,由韋達(dá)定理及弦長公式求出,進(jìn)而可得,結(jié)合即可得答案.【詳解】解:因?yàn)閽佄锞€的性質(zhì):在拋物線上任意一點(diǎn)處的切線方程為,設(shè),所以在點(diǎn)處的切線方程為,在點(diǎn)B處的切線方程為,因?yàn)閮蓷l切線都經(jīng)過點(diǎn),所以,,所以直線的方程為,即,點(diǎn)到直線的距離為,聯(lián)立直線與拋物線方程有,消去得,由得,,由韋達(dá)定理得,所以弦長,所以,整理得,即,解得,又所以.故選:C.5、A【解析】先找出“雙曲線的焦距大于4”的充要條件,再進(jìn)行判斷即可【詳解】若的焦距,則;若,則故選:A6、C【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】如圖所示:焦點(diǎn)為,設(shè)光線第一次交拋物線于點(diǎn),第二次交拋物線于點(diǎn),過焦點(diǎn)F,準(zhǔn)線方程為:,作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn),作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn),則,,,,故選:C7、A【解析】根據(jù)空間向量平行求出x,y,進(jìn)而求得答案.【詳解】因?yàn)椋源嬖趯?shí)數(shù),使得,則.故選:A.8、B【解析】根據(jù)題意得到,根據(jù),化簡得到,進(jìn)而得到離心率的不等式,即可求解.【詳解】由題意,橢圓的左頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為,所以,,因?yàn)?,可得,即,又由,可得,可得,解得,又因?yàn)闄E圓的離心率,所以,即橢圓的離心率為.故選:B.【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線離心率的三種方法:1、定義法:通過已知條件列出方程組,求得得值,根據(jù)離心率的定義求解離心率;2、齊次式法:由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解;3、特殊值法:通過取特殊值或特殊位置,求出離心率.9、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,列出方程組,即可求得,進(jìn)而可求得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q,則,解得,所以.故選:B10、C【解析】根據(jù)嚴(yán)格遞增數(shù)列定義可判斷必要性,分類討論可判斷充分性.【詳解】若是嚴(yán)格遞增數(shù)列,顯然,所以“對于任意的正整數(shù)n,都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”必要條件;對任意的正整數(shù)n都成立,所以中不可能同時含正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng),,即,或,即,當(dāng)時,有,即,是嚴(yán)格遞增數(shù)列,當(dāng)時,有,即,是嚴(yán)格遞增數(shù)列,所以“對于任意的正整數(shù)n,都有”是“是嚴(yán)格遞增數(shù)列”充分條件故選:C11、B【解析】利用古典概型的概率求解.【詳解】解:點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),每次向右或向下跳一個單位長度,跳3次,則樣本空間{(右,右,右),(右,右,下),(右,下,右),(下,右,右),(右,下,下),(下,右,下),(下,下,右),(下,下,下)},記“3次跳動后,恰好是沿著饕餮紋的路線到達(dá)點(diǎn)B”為事件,則{(下,下,右)},由古典概型的概率公式可知故選:B12、B【解析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:由,得,反之不成立,如,,滿足,但是不滿足,故“”是“”的充分不必要條件故選:B二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、(答案不唯一)【解析】觀察數(shù)列前幾項(xiàng),找出規(guī)律即可寫出通項(xiàng)公式.【詳解】根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng),先不考慮正負(fù),可知,再由奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),偶數(shù)項(xiàng)為正,可得到一個通項(xiàng)公式,故答案為:(不唯一)14、【解析】先證明A1B1∥平面D1EF,進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)A1到平面D1EF的距離,然后建立空間直角坐標(biāo)系,通過空間向量的運(yùn)算求得答案.【詳解】由題意得A1B1∥EF,A1B1?平面D1EF,EF?平面D1EF,所以A1B1∥平面D1EF,則點(diǎn)G到平面D1EF的距離等于點(diǎn)A1到平面D1EF的距離.以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則D1(0,0,2),E(2,0,1),F(xiàn)(2,2,1),A1(2,0,2),所以,,.設(shè)平面D1EF的法向量為,則,令x=1,則y=0,z=2,所以平面D1EF的一個法向量.點(diǎn)A1到平面D1EF的距離==,即點(diǎn)G到平面D1EF的距離為.故答案為:.15、【解析】由題意,即,∴考點(diǎn):直線的傾斜角.16、【解析】設(shè)圓錐的高為,可得出圓錐的母線長為,以及圓錐的底面半徑為,利用圓錐的側(cè)面積公式求出的值,再利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的高為,由于圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形,則軸截面三角形的底角為,故該圓錐的母線長為,底面半徑為,圓錐的側(cè)面積為,可得,因此,該圓錐的體積為.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);;(2)【解析】(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式主要利用求解,分情況求解后要驗(yàn)證是否滿足的通項(xiàng)公式,將求得的代入整理即可得到的通項(xiàng)公式;(2)整理數(shù)列的通項(xiàng)公式得,依據(jù)特點(diǎn)采用錯位相減法求和試題解析:(1)∵,∴當(dāng)時,.當(dāng)時,.∵時,滿足上式,∴.又∵,∴,解得:.故,,.(2)∵,,∴①②由①-②得:∴,.考點(diǎn):1.數(shù)列通項(xiàng)公式求解;2.錯位相減法求和【方法點(diǎn)睛】求數(shù)列的通項(xiàng)公式主要利用,分情況求解后,驗(yàn)證的值是否滿足關(guān)系式,解決非等差等比數(shù)列求和問題,主要有兩種思路:其一,轉(zhuǎn)化的思想,即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列,這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解(即分組求和)或錯位相減來完成,其二,不能轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列的,往往通過裂項(xiàng)相消法,倒序相加法來求和,本題中,根據(jù)特點(diǎn)采用錯位相減法求和18、(1);(2),.【解析】(1)由的最小值為1,得到,再由,結(jié)合,求得的值,即可求得橢圓的方程.(2)設(shè)切線的方程為,聯(lián)立方程組,根據(jù)直線與橢圓相切,求得,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長公式,求得的面積的表示,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求解.【詳解】(1)由題意,點(diǎn)橢圓上的一動點(diǎn),且的最小值是1,得,因?yàn)楫?dāng)垂直長軸時,可得,所以,即,又由,解得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由題意知切線的斜率一定存在,否則不能形成,設(shè)切線的方程為,聯(lián)立,整理得,因?yàn)橹本€與橢圓相切,所以,化簡得,則,因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離,所以,即,故的面積為,因?yàn)椋傻?,即,函?shù)在上單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時取等號,則,即面積的最大值為.當(dāng)時,此時,所以直線的方程為.【點(diǎn)睛】對于直線與橢圓的位置關(guān)系的處理方法:1、判定與應(yīng)用直線與橢圓的位置關(guān)系,一把轉(zhuǎn)化為研究直線方程與橢圓組成的方程組的解得個數(shù),結(jié)合判別式求解;2、對于過定點(diǎn)的直線,也可以通過定點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上,判定直線與橢圓的位置關(guān)系.19、(1);(2)【解析】(1)先根據(jù)已知求出,再求及.(2)先根據(jù)已知得到,再利用分組求和求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,因?yàn)?,,所以,解得,所以?=.(2)由已知得,由(1)知,所以,=.【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和求法,考查分組求和和等比數(shù)列的求和公式,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2)有一類數(shù)列,它既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,但是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列或常見特殊數(shù)列,則可以將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的特殊數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可.這叫分組求和法.20、(1)答案見解析(2)答案見解析【解析】(1)由展開圖及直觀圖直接觀察可得;(2)選擇②,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明DF⊥平面.【小問1詳解】如圖,【小問2詳解】若選擇①,若此時有平面,則由平面可得,而平面,而平面,故,因?yàn)?,則平面,由平面可得,故此時矩形為正方形,,矛盾.選擇條件②,使得平面,下面證明如圖,連接,在長方體中,平面,而平面,故,而,故矩形為正方形,故,而,故平面,而平面,故,同理,又,所以平面.21、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)
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