2.5.3-直線與圓的綜合-課件

第二章2.5.3直線與圓的綜合1.理解直線與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)；2.會建立平面直角坐標(biāo)系，利用直線與圓的位置關(guān)系及圓與圓的位置關(guān)系解決一些實(shí)際問題；3.會用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題.問題導(dǎo)學(xué)題型探究達(dá)標(biāo)檢測學(xué)習(xí)目標(biāo)問題導(dǎo)學(xué)

新知探究點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)知識點(diǎn)坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”：第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過

，解決代數(shù)問題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.代數(shù)運(yùn)算題型探究

重點(diǎn)難點(diǎn)個個擊破類型一直線與圓的方程的應(yīng)用例1某圓拱橋的水面跨度20m，拱高4m.現(xiàn)有一船，寬10m，水面以上高3m，這條船能否從橋下通過？解建立如圖所示的坐標(biāo)系.依題意，有A(－10,0)，B(10,0)，P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0).設(shè)所求圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，所以這座圓拱橋的拱圓的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).把點(diǎn)D的橫坐標(biāo)x＝－5代入上式，得y≈3.1.由于船在水面以上高3m,3＜3.1，所以該船可以從橋下通過.解此方程組，得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.反思與感悟解決直線與圓的實(shí)際應(yīng)用題的步驟：(1)審題：從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知；(2)建系：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示幾何模型中的基本元素；(3)求解：利用直線與圓的有關(guān)知識求出未知；(4)還原：將運(yùn)算結(jié)果還原到實(shí)際問題中去.跟蹤訓(xùn)練1如圖，一座圓拱橋的截面圖，當(dāng)水面在某位置時，拱頂離水面2m，水面寬12m，當(dāng)水面下降1m后，水面寬為________米.解析如圖，以圓拱橋頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過圓拱頂點(diǎn)的豎直直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心為C，圓的方程設(shè)為x2＋(y＋r)2＝r2，水面所在弦的端點(diǎn)為A，B，則A(6，－2)，將A(6，－2)代入圓的方程，得r＝10，∴圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100.當(dāng)水面下降1米后，可設(shè)點(diǎn)A′(x0，－3)(x0＞0)，將A′(x0，－3)代入圓的方程，得x0＝

，∴當(dāng)水面下降1米后，水面寬為2x0＝

米.類型二坐標(biāo)法證明幾何問題例2如圖所示，在圓O上任取C點(diǎn)為圓心，作圓C與圓O的直徑AB相切于D，圓C與圓O交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF與CD相交于H，求證：EF平分CD.證明以AB所在直線為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)|AB|＝2r，D(a,0)，∴圓O：x2＋y2＝r2，∴EF平分CD.反思與感悟(1)平面幾何問題通常要用坐標(biāo)法來解決，具體步驟如下：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題的幾何元素，將實(shí)際或平面問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.②通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題.③把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成實(shí)際或幾何結(jié)論.(2)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系應(yīng)遵循的三個原則：①若曲線是軸對稱圖形，則可選它的對稱軸為坐標(biāo)軸.②常選特殊點(diǎn)作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn).③盡量使已知點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，會簡化運(yùn)算過程.跟蹤訓(xùn)練2如圖，直角△ABC的斜邊長為定值2m，以斜邊的中點(diǎn)O為圓心作半徑為n的圓，直線BC交圓于P，Q兩點(diǎn)，求證：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2為定值.證明如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線BC為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，于是有B(－m,0)，C(m,0)，P(－n,0)，Q(n,0).設(shè)A(x，y)，由已知，點(diǎn)A在圓x2＋y2＝m2上.|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值).類型三直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用例3一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風(fēng)預(yù)報：臺風(fēng)中心位于輪船正西60km處，受影響的范圍是半徑長為20km的圓形區(qū)域(如圖).已知港口位于臺風(fēng)中心正北30km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風(fēng)的影響？解建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，取10km為單位長度，由題意知輪船的起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為(6,0)，(0,3)，即x＋2y－6＝0，臺風(fēng)區(qū)域邊界所在圓的方程為x2＋y2＝4.由點(diǎn)到直線的距離公式，得圓心到直線的距離所以直線x＋2y－6＝0與圓x2＋y2＝4相離，因此這艘輪船即使不改變航線，那么它也不會受到臺風(fēng)的影響.反思與感悟針對這種類型的題目，即直線與圓的方程在生產(chǎn)、生活實(shí)踐中的應(yīng)用問題，關(guān)鍵是用坐標(biāo)法將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，最后再還原為實(shí)際問題.跟蹤訓(xùn)練3設(shè)半徑為3km的圓形村落，A、B兩人同時從村落中心出發(fā)，A向東，B向北，A出村后不久改變前進(jìn)方向，斜著沿切于村落圓周的方向前進(jìn)，后來恰好與B相遇，設(shè)A、B兩人的速度一定，其比為3∶1，問A、B兩人在何處相遇？解由題意以村中心為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正方向，正北方向?yàn)閥軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)A、B兩人的速度分別為3vkm/h，vkm/h，設(shè)A出發(fā)ah，在P處改變方向，又經(jīng)過bh到達(dá)相遇點(diǎn)Q，則P(3av,0)，Q(0，(a＋b)v)，則|PQ|＝3bv，|OP|＝3av，|OQ|＝(a＋b)v.在Rt△OPQ中，|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4b.由PQ與圓x2＋y2＝9相切，123達(dá)標(biāo)檢測

41.一輛卡車寬1.6m，要經(jīng)過一個半圓形隧道(半徑為3.6m)，則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過(

)A.1.4m B.3.5m C.3.6m D.2.0m解析如圖，圓半徑|OA|＝3.6，卡車寬1.6，所以|AB|＝0.8，

B12342.據(jù)氣象臺預(yù)報：在A城正東方300km的海面B處有一臺風(fēng)中心，正以每小時40km的速度向西北方向移動，在距臺風(fēng)中心250km以內(nèi)的地區(qū)將受其影響.從現(xiàn)在起經(jīng)過約________h，臺風(fēng)將影響A城，持續(xù)時間約為________h(結(jié)果精確到0.1h).1234解析以B為原點(diǎn)，正東方向所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則臺風(fēng)中心的移動軌跡是y＝－x，受臺風(fēng)影響的區(qū)域邊界的曲線方程是(x－a)2＋(y＋a)2＝2502.依題意有(－300－a)2＋a2≤2502，∴從現(xiàn)在起經(jīng)過約2.0h，臺風(fēng)將影響A城，持續(xù)時間約為6.6h.答案

2.0

6.612343.設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，則從村莊外圍到小路的最短距離為________.12344.已知集合A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}.若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.解析如圖，A＝{(x，y)|x－y＋m≥0}表示直線x－y＋m＝0及其右下方區(qū)域，B＝{(x，y)|x2＋y2≤1}表示圓x2＋y2＝1及其內(nèi)部，要使A∩B＝?，則直線x－y＋m＝0在圓x2＋y2＝1的下方，規(guī)律與方法1.利用坐標(biāo)法解決平面幾何問題，是將幾何中“形”的問題轉(zhuǎn)化為