第13章《軸對稱》知識講練（學生版）

20232024學年人教版數(shù)學八年級上冊章節(jié)知識講練知識點01：軸對稱1.軸對稱圖形和軸對稱（1）軸對稱圖形

如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.軸對稱圖形的性質(zhì)：軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.（2）軸對稱定義：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸.成軸對稱的兩個圖形的性質(zhì)：①關于某條直線對稱的兩個圖形形狀相同，大小相等，是全等形；②如果兩個圖形關于某條直線對稱，則對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線；③兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么它們的交點在對稱軸上.（3）軸對稱圖形與軸對稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別:軸對稱是指兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是指具有特殊形狀的一個圖形；軸對稱涉及兩個圖形，而軸對稱圖形是對一個圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條軸對稱；如果把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形．2.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.反過來，與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.知識點02：作軸對稱圖形1.作軸對稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關于對稱軸的對應點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形；（2）對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.2.用坐標表示軸對稱點（,）關于軸對稱的點的坐標為（,－）；點（,）關于軸對稱的點的坐標為（－,）；點（,）關于原點對稱的點的坐標為（－,－）.知識點03：等腰三角形1.等腰三角形

（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性質(zhì)①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.2.等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個角相等，并且每個角都等于60°.（3）等邊三角形的判定：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形.3.直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?市期中）如圖，△ABC中，邊AB的垂直平分線分別交BC、AB于點D、E，AE＝3cm，△ADC的周長為8cm，則△ABC的周長是（）?A．14cm B．17cm C．19cm D．20cm2．（2分）（2023春?福田區(qū)校級期末）如圖，三座商場分別坐落在A、B、C所在位置，現(xiàn)要規(guī)劃一個地鐵站，使得該地鐵站到三座商場的距離相等，該地鐵站應建在（）A．三角形三條中線的交點 B．三角形三條高所在直線的交點 C．三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點 D．三角形三條邊的垂直平分線的交點3．（2分）（2022秋?晉州市期末）等腰三角形的頂角為40°，則底角的度數(shù)為（）A．25° B．60° C．70° D．140°4．（2分）（2022秋?西寧期末）如圖，MN是線段AB的垂直平分線，點C在MN外，且與A點在MN的同一側(cè)，連接BC交MN于點P，連接AP，則（）A．BC＞PC+AP B．BC＝PC+AP C．BC＜PC+AP D．BC≤PC+AP5．（2分）（2022秋?西寧期末）如圖，直線l，m相交于點O．P為這兩直線外一點，且OP＝3.6．若點P關于直線l，m的對稱點分別是點P1，P2，則P1，P2之間的距離不可能是（）A．8 B．7 C．6 D．56．（2分）（2023春?永春縣期末）如圖為一張銳角三角形紙片ABC，小明想要通過折紙的方式折出如下線段：①BC邊上的中線AD；②∠A的平分線AE；③BC邊上的高AF．根據(jù)所學知識與相關活動經(jīng)驗可知：上述三條線中，能夠通過折紙折出的有（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③7．（2分）（2022秋?岳麓區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∠BCD＞∠CBD，BC＝24，P，Q分別是BD，BC上的動點，當CP+PQ取得最小值時，BQ的長是（）A．8 B．10 C．12 D．168．（2分）（2023?洪澤區(qū)一模）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，點B關于AC的對稱點B'恰好落在CD上，若∠BAD＝α，則∠ACB的度數(shù)為（）A．45° B．α﹣45° C．α D．90°﹣α9．（2分）（2022秋?龍江縣期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC于點E，交AB于點M且AE＝CE，以點C為圓心，CA長為半徑作弧，交DE于點F，連接CF交AB于點G．若CG＝FG，則∠B的度數(shù)為（）A．75° B．70° C．65° D．60°10．（2分）（2022秋?武昌區(qū)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝12，BC＝DC，∠A＝60°，點E在AD上，連接BD，CE相交于點F，CE∥AB．若CE＝9，則CF的長為（）A．4 B．5 C．6 D．8二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?袁州區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，圖中線段上一動點E，若滿足AE＝CE，AB＝6，∠BAC＝30°，則以AE為邊長的正方形面積是．12．（2分）（2023春?達州期末）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝44°，點D是邊AB上一點，點B關于直線CD的對稱點為B′，當B′D∥AC時，則∠BCD的度數(shù)為．13．（2分）（2022秋?晉州市期末）如圖所示，圖中所有的三角形都是等邊三角形．若其中最小的等邊三角形的邊長為1cm，則圖中涂有陰影的等邊三角形的邊長為cm，周長為cm，面積為cm2．14．（2分）（2023春?渝中區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC內(nèi)的兩點，AE平分∠BAC，∠D＝∠DBC＝60°，若BD＝10cm，DE＝6cm，則BC的長是cm．15．（2分）（2022秋?湖里區(qū)校級期末）如圖，所示，點O在一塊直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥Ab于點M，0M⊥BC于點N；若OM＝ON，則∠ABO＝度．16．（2分）（2022秋?龍?zhí)秴^(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD⊥AB交BC于點D，BC＝30，則AD＝．17．（2分）（2023?桐柏縣一模）如圖，點P是∠AOB內(nèi)一點，OP＝m，∠AOB＝α，點P關于直線OA的對稱點為點Q，關于直線OB的對稱點為點T，連接QT，分別交OA，OB于點M，N，連接PM，PN，下列結(jié)論：①∠OTQ＝90°﹣α；②當α＝30°時，△PMN的周長為m；③0＜QT＜2m；④∠MPN＝180°﹣2α，其中正確的有（填序號）．18．（2分）（2023?東莞市三模）如圖，等腰△ABC的底邊BC長為6，面積是30，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于點E，F(xiàn)，若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為．19．（2分）（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，D在AB上，E在CB上，A，C關于DE的對稱點分別是G，F(xiàn)，若F在AB上，DG⊥AB，DG＝+1，則DE的長是．20．（2分）（2022秋?道縣期末）如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ．以下五個結(jié)論：①AD＝BE；②PQ∥AE；③OP＝OQ；④△CPQ為等邊三角形；⑤∠AOB＝60°．其中正確的有．（注：把你認為正確的答案序號都寫上）三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023春?福田區(qū)校級期末）如圖，在所給正方形網(wǎng)格圖中完成下列各題：（用直尺畫圖，保留痕跡）（1）畫出格點△ABC（頂點均在格點上）關于直線DE對稱的△A1B1C1；（2）在DE上畫出點Q，使QA+QC最?。唬?）求△ABC的面積．22．（6分）（2023春?漢陽區(qū)期末）如圖1，D為BA延長線上一點，∠CAD的角平分線交BC垂直平分線于點E，交BC延長線上一點F．（1）作△AEC關于直線EF的軸對稱圖形△AEG；（2）求證：∠BEC＝∠BAC；（3）如圖2，P為線段EF（不與E、F點重合）上異于A點的任一點，試比較PB+PC與AB+AC的大小關系，并說明理由．23．（8分）（2022秋??？悼h期末）如圖，在9×9的正方形網(wǎng)格中，△ABC三個頂點在格點上，每個小正方形的邊長為1．（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼岛螅酎cA的坐標為（2，1），點C的坐標為（5，2），畫出平面直角坐標系并寫出點B的坐標；（2）直線l經(jīng)過點A且與y軸平行，寫出點B、C關于直線l對稱點B1、C1的坐標；（3）直接寫出BC上一點P（a，b）關于直線l對稱點P1的坐標．24．（8分）（2023春?揭東區(qū)期末）已知，在等邊三角形ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且ED＝EC．（1）【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當點E為AB的中點時，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結(jié)論：AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當點E為AB邊上任意一點時，確定線段AE與DB的大小關系，請你直接寫出結(jié)論，AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點E作EF∥BC，交AC于點F．（請你完成以下解答過程）．（3）【拓展結(jié)論，設計新題】在等邊三角形ABC中，點E在直線AB上，點D在線段CB的延長線上，且ED＝EC，若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請你畫出相應圖形，并直接寫出結(jié)果）．25．（8分）（2022秋?襄州區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）．（1）作出△ABC關于y軸的對稱圖形△A'B'C'；（2）寫出點A'，B'，C'的坐標．（3）在y軸上找一點P，使PA+PC的長最短．26．（8分）（2022秋?潛江期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝60cm，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，當點P到達點B時，P、Q兩點同時停止運動，設點P的運動時間為ts．（1）當t為何值時，△PBQ為等邊三角形？（2）當t為何值時，△PBQ為直角三角形？27．（8分）（2023春?丹東期末）在△ABC和△DCE中，CA＝CB，CD＝CE，∠CAB＝∠CED＝α．（1）如圖1，將AD、EB延長，延長線相交于點O：①求證：BE＝AD；②用