專題4.3相似三角形的判定與性質（一）（舉一反三）（浙教版）（原卷版）

專題4.3相似三角形的判定與性質（一）【八大題型】【浙教版】TOC\o"13"\h\u【題型1利用相似三角形的性質求面積】 2【題型2添加條件使兩三角形相似】 3【題型3根據圖形數據判斷兩三角形相似】 4【題型4坐標系中確定坐標使兩三角形相似】 5【題型5確定相似三角形的對數】 7【題型6相似三角形的證明】 8【題型7找格點中的相似三角形】 9【題型8由圖形相似求線段長度】 10【知識點1相似三角形的性質】①相似三角形的對應角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對應邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對應邊上的中線，高線和對應角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有【題型1利用相似三角形的性質求面積】【例1】（2023春·遼寧沈陽·九年級校考期中）如圖，△OAB∽△OCD，且OA:OC=6:5,∠A=α,∠B=β,△OAB與△OCD的面積分別是S1和S2，△OAB與△OCD的周長分別是C1和C2，則一定成立的等式是（）A．OBCD=65 B．αβ=【變式11】（2023春·九年級上海市民辦文綺中學校考期中）兩個相似三角形的面積之差為3cm2，周長比是2：3，那么較小的三角形面積是cm【變式12】（2023春·四川成都·九年級成都實外?？计谥校┤鐖D所示的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，若ΔABC∽ΔDCE，則Δ【變式13】（2023春·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E，點F在線段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC=4cm，AD=33cm，AF=2（1）求DE的長；（2）求平行四邊形ABCD的面積．【知識點2相似三角形的判定】判定定理判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．簡稱為兩角對應相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．判定定理2：如果兩個三角形的三組對應邊成比例，那么這兩個三角形相似．簡稱為三邊對應成比例，兩個三角形相似．如圖，如果，則．判定定理3：如果兩個三角形的兩組對應邊成比例，并且對應的夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡稱為兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．【題型2添加條件使兩三角形相似】【例2】（2023春·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，ABCD是正方形，E是CD的中點，P是BC邊上的一動點，下列條件中，不能得到△ABP與△ECP相似的是（

）

A．ABCE=BPCP B．C．∠BAP=∠EPC D．AB:BP=3:2【變式21】（2023春·北京石景山·九年級校考期中）如圖，標記了△ABC與△DEF邊、角的一些數據，如果再添加一個條件使△ABC∽△DEF，那么這個條件可以是．（只填一個即可）【變式22】（2023春·四川雅安·九年級雅安中學?？计谥校└鶕铝懈鹘M條件，不能判定△ABC∽△A1B1C1的是（

）A．∠B＝∠B1＝60°，∠C＝50°，∠A1＝70°B．∠C＝∠C1＝90°，AB＝10，AC＝6，A1B1＝5，A1C1＝3C．∠A＝40°，AB＝2，AC＝3，∠A1＝40°，A1B1＝4，A1C1＝5D．AB＝12，BC＝15，AC＝24，A1B1＝8，A1C1＝16，B1C1＝10【變式23】（2023春·河南南陽·九年級南陽市第十三中學校校考期末）如圖，在△ABC中，P為AB上一點，下列四個條件中：①AC2=AP?AB；②AB?CP=AP?CB；③∠APC=∠ACB﹔④∠ACP=∠B能滿足△APC與△ACBA．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【題型3根據圖形數據判斷兩三角形相似】【例3】（2023春·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖中的虛線剪開，下列四種剪開的方法中，剪下的陰影三角形一定與原三角形相似的是（

）A．①②③ B．③④ C．①②③④ D．①②④【變式31】（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△MNP．下列四個三角形，與△MNP相似的是（）A．B． C．D．【變式32】（2023春·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖是老師畫出的△ABC，已標出三邊的長度．下面四位同學畫出的三角形與老師畫出的△ABC不一定相似的是（

）

A．

B．

C．

D．

【變式33】（2023春·河南商丘·九年級統(tǒng)考期末）已知圖中有兩組三角形，其邊長和角的度數已在圖上標注，對于各組中的兩個三角形而言，下列說法正確的是（）A．都相似 B．都不相似C．只有①相似 D．只有②相似【題型4坐標系中確定坐標使兩三角形相似】【例4】（2023春·浙江金華·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點A，B，C，D的坐標分別是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E為頂點的三角形與△ABC相似，則點E的坐標不可能是（

）

A．（6，0） B．（6，3） C．（6，5） D．（4，2）【變式41】（2023春·河南南陽·九年級校考階段練習）如圖，A、B、C、D都是格點（小正方形的頂點），動點E在線段AC上，若點A的坐標是1,1，則當△ADE與△ABC相似時，動點E的坐標是．

【變式42】（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐標軸上有一點P，它與A,C兩點形成的三角形與△ABC相似，則P

【變式43】（2023春·山東淄博·九年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標系中，直線y=?12x+2

A．2 B．3 C．4 D．5【題型5確定相似三角形的對數】【例5】（2023·安徽淮南·統(tǒng)考模擬預測）如圖，把ΔABC繞點A旋轉到ΔADE，當點D剛好落在BC上時，連結CE，設AC,DE，相交于點F，則圖中相似三角形（不含全等）的對數有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式51】（2023春·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，E為矩形ABCD的CD邊延長線上一點，BE交AD于G

，AF⊥BE于F

，圖中相似三角形的對數是（）A．5 B．7 C．8 D．10【變式52】（2023春·內蒙古呼倫貝爾·九年級?？计谥校┤鐖D，AB與CD相交于點O，且∠OAD=∠OCB，延長AD、CB交于點P，那么圖中的相似三角形的對數為．【變式53】（2023春·全國·九年級專題練習）如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點，F是CD上一點，且CF=3FD．則圖中相似三角形的對數是（）A．1 B．2 C．3 D．)4【題型6相似三角形的證明】【例6】（2023春·九年級課時練習）如圖，已知∠B=∠E=90°，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25．(1)求CE的長；(2)求證：△ABC∽△DEF．【變式61】（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點D，點E是AB上一點，連接DE，BD2=BC·BE.證明：△BCD∽△BDE.

【變式62】（2013·廣西河池·中考真題）請在圖中補全坐標系及缺失的部分，并在橫線上寫恰當的內容．圖中各點坐標如下：A1，0，B6，0，C1，3，D

解：M（，）證明：∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴∠CAM=∠DBM=度．∵CA=AM=3，DB=BM=2，∴∠ACM=∠AMC（），∠BDM=∠BMD（同理），∴∠ACM=12(180°?)∴∠ACM＝在△ACM與△BDM中，∠ACNM=∠BDM_______________∴△ACM∽【題型7找格點中的相似三角形】【例7】（2023春·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）如圖，每個小正方形邊長均為1，則圖中的三角形中與△ABC相似的是（

）

A．△FBE B．△BED C．△DFE D．△ABE【變式71】（2023春·湖南衡陽·九年級?？计谥校┤鐖D，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是．

【變式72】（2023·上海·九年級假期作業(yè)）新定義：由邊長為1的小正方形構成的網格圖中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都在格點上的三角形稱為格點三角形．如圖，已知△ABC是6×6的網格圖中的格點三角形，那么該網格中所有與△ABC相似且有一個公共角的格點三角形的個數是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【變式73】（2023春·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）定義：我們知道，凸四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），我們就把這個凸四邊形叫做“自相似四邊形”．如圖，點A、B、C是正方網格中的格點，在網格中確定格點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是“自相似四邊形”，符合條件的格點D的個數是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【題型8由圖形相似求線段長度】【例8】（2023春·安徽·九年級專題練習）矩形ABCD對角線的交點為O，點E在邊AB上，點F在AD的延長線上，連接EF，EO，FO，∠EOF=90°．試探究：

(1)如圖1，若EF垂直平分AO，AB=8，AD=4，則AE的長為；(2)如圖2，若BE=3，FD=1，則EF的長為．【變式81】（2023·陜西榆林·校考三模）如圖，在等邊△ABC中，點D,E分別在邊BC,AC上，∠ADE=60°，若AD=4,BDCE=32

A．1 B．43 C．2 D．【變式82】（2023春·四川南充·九年級校考階段練習）在矩形ABCD中，點E是對角線AC上一動點，連接DE，過點E作EF⊥DE交AB于點F．

(1)如圖1，當DE=DA時，求證：AF=EF；(2)如圖2，點E在運動過程中DEEF(3)如圖3，若點F為AB的中點，連接DF交AC于點G，將△GEF沿EF翻折得到△HEF，連接DH交EF于點K，當AD=2，CD=23時，求KH【變式83】（2023春·廣東深圳·九年級校聯(lián)考