專題06全等三角形的性質與判定篇

專題06全等三角形的判定與性質知識回顧知識回顧三角形的三邊關系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。三角形的三邊一旦確定，這三角形就固定了，這是三角形具有穩(wěn)定性。三角形的內角和定理：三角形的三個內角之和等于180°。三角形的外角定理：三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內角之和。大于它不相鄰的任意一個內角。全等三角形的性質：若兩個三角形全等，則他們的對應邊相等；對應角相等；對應邊上的中線相等，高線相等，角平分線也相等；且這兩個三角形的周長和面積均相等。全等三角形的判定：①邊邊邊（SSS）：三條邊分別對應性相等的兩個三角形全等。②邊角邊（SAS）：兩邊及其這兩邊的夾角對應相等的兩個三角形全等。③角邊角（ASA）：兩角及其這兩角的夾邊對應相等的兩個三角形全等。④角角邊（AAS）：兩角及其其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜邊與其中任意一直角邊分別對應相等的兩個直角三角形全等。全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件。在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形。微專題微專題1．已知：如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求證：AB＝AD．【分析】根據(jù)鄰補角的定義得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA證明△ACB≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質即可得解．【解答】證明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（ASA），∴AB＝AD．2．如圖，△ABC是等腰三角形，點D，E分別在腰AC，AB上，且BE＝CD，連接BD，CE．求證：BD＝CE．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質得出∠EBC＝∠DCB，進而利用SAS證明△EBC與△DCB全等，再利用全等三角形的性質解答即可．【解答】證明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC與△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．3．如圖1是小軍制作的燕子風箏，燕子風箏的骨架圖如圖2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大?。痉治觥坑伞螧AD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根據(jù)SAS可證△BAC≌△EAD，再根據(jù)全等三角形的性質即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC與△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．4．如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為B，D．（1）求證：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根據(jù)CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS可得△ABC≌△ADC；（2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，求出S△ABC＝AB?BC＝6，即可得四邊形ABCD的面積是12．【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B＝90°＝∠D，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）；（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC＝AB?BC＝×4×3＝6，∴S△ADC＝6，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，答：四邊形ABCD的面積是12．5．如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求證：DE＝BC．【分析】利用平行線的性質得∠EDC＝∠B，再利用ASA證明△CDE≌△ABC，可得結論．【解答】證明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（ASA），∴DE＝BC．6．如圖，在等邊三角形ABC中，點M為AB邊上任意一點，延長BC至點N，使CN＝AM，連接MN交AC于點P，MH⊥AC于點H．（1）求證：MP＝NP；（2）若AB＝a，求線段PH的長（結果用含a的代數(shù)式表示）．【分析】（1）過點M作MQ∥BC，交AC于點Q，根據(jù)等邊三角形的性質以及平行線的性質可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等邊三角形，易證△QMP≌△CNP（AAS），即可得證；（2）根據(jù)等邊三角形的性質可知AH＝HQ，根據(jù)全等三角形的性質可知QP＝PC，即可表示出HP的長．【解答】（1）證明：過點M作MQ∥BC，交AC于點Q，如圖所示：在等邊△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等邊三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等邊三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．7．如圖，點A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）請在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號）（只需選一個條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的結論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．【分析】（1）根據(jù)SSS即可證明△ABC≌△DEF，即可解決問題；（2）根據(jù)全等三角形的性質可得∠A＝∠EDF，再根據(jù)平行線的判定即可解決問題．【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF，選取的條件為①，判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是SSS．故答案為：①，SSS；（答案不唯一）．（2）證明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，D為△ABC內一點，連接BD，DC，延長DC到點E，使得CE＝DC．（1）如圖1，延長BC到點F，使得CF＝BC，連接AF，EF．若AF⊥EF，求證：BD⊥AF；（2）連接AE，交BD的延長線于點H，連接CH，依題意補全圖2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示線段CD與CH的數(shù)量關系，并證明．【分析】（1）證明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性質得出∠DBC＝∠EFC，證出BD∥EF，則可得出結論；（2）由題意畫出圖形，延長BC到F，使CF＝BC，連接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，證出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性質可得出結論．【解答】（1）證明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由題意補全圖形如下：CD＝CH．證明：延長BC到F，使CF＝BC，連接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．9．如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且點D在線段BC上，連CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度數(shù)．【分析】（1）可利用SAS證明結論；（2）由全等三角形的性質可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性質可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，再根據(jù)三角形的內角和定理可求解∠AEC的度數(shù)，進而可求可求解【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．10．如圖，在△ABC中（AB＜BC），過點C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，連接DE、DB．（1）求證：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面積．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根據(jù)全等三角形的對應角相等證明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，設BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合題意的x的值為2，則BC＝5，再根據(jù)勾股定理求出DE的長，即可求出△BCD的面積．【解答】（1）證明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，設BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合題意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，∴S△BCD＝BC?DE＝×5×4＝10，∴△BCD的面積為10．11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC邊上的一點，以AD為直角邊作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，連接CE．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°時，求BD的長．【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△ACE；（2）由等腰三角形三角形的性質可得BC的長，由角度關系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，可得AC＝CD＝1，即可求解．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝﹣1．12．如圖，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），將△ACB沿AC對折到△ACE的位置，AE和CD交于點F．（1）求證：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代換得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根據(jù)AAS證明三角形全等即可；（2）設DF＝a，則CF＝8﹣a，根據(jù)矩形的性質和折疊的性質證明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理表示出DF的長，根據(jù)正切的定義即可得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF與△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：設DF＝a，則CF＝8﹣a，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根據(jù)折疊的性質得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．13．如圖，△ABC和△DEF，點E，F(xiàn)在直線BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如圖①，易證：BC+BE＝BF．請解答下列問題：（1）如圖②，如圖③，請猜想BC，BE，BF之間的數(shù)量關系，并直接寫出猜想結論；（2）請選擇（1）中任意一種結論進行證明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝12，則BC＝，BF＝．【分析】（1）根據(jù)圖形分別得出答案；（2）利用AAS證明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根據(jù)圖形可得結論；（3）首先利用含30°角的直角三角形的性質求出BH和AH的長，從而得出BC，再對點E的位置進行分類即可．【解答】解：（1）圖②：BC+BE＝BF，圖③：BE﹣BC＝BF；（2）圖②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BC+CE，∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；圖③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BF+EF，∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；（3）當點E在BC上時，如圖，作AH⊥BC于H，∵∠B＝∠F＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，∴AH＝3，∵S△ABC＝12，∴＝12，∴BC＝8，∵CE＝2，∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；同理，當點E在BC延長線上時，如圖②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，故答案為：8，14或18．14．△ABC和△ADE都是等邊三角形．（1）將△ADE繞點A旋轉到圖①的位置時，連接BD，CE并延長相交于點P（點P與點A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需證明）；（2）將△ADE繞點A旋轉到圖②的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關系？并加以證明；（3）將△ADE繞點A旋轉到圖③的位置時，連接BD，CE相交于點P，連接PA，猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關系？直接寫出結論，不需要證明．【分析】（2）證明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再證明△AFP是等邊三角形，最后由線段的和可得結論；（3）如圖③，在PC上截取CM＝PB，連接AM，同理可得結論．【解答】解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：如圖②，在BP上截取BF＝PC，連接AF，∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAF＝60°，∴△AFP是等邊三角形，∴PF＝PA，∴PB＝BF+PF＝PC+PA；（3）PC＝PA+PB，理由如下：如圖③，在PC上截取CM＝PB，連接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠PAM＝60°，∴△AMP是等邊三角形，∴PM＝PA，∴PC＝PM+CM＝PA+PB．15．【情境再現(xiàn)】甲、乙兩個含45°角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足O處．將甲繞點O順時針旋轉一個銳角到圖②位置．小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接AG，BH，如圖③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通過證明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．請你證明：AG＝BH．【遷移應用】延長GA分別交HO，HB所在直線于點P，D，如圖④，猜想并證明DG與BH的位置關系．【拓展延伸】小亮將圖②中的甲、乙換成含30°角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接HB，AG，如圖⑥所示，其他條件不變，請你猜想并證明AG與BH的數(shù)量關系．【分析】【情境再現(xiàn)】由△OBE≌△OAF，得BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，