專(zhuān)題1.6角的平分線(xiàn)-重難點(diǎn)題型（舉一反三）（北師大版）

專(zhuān)題1.6角的平分線(xiàn)重難點(diǎn)題型【北師大版】【知識(shí)點(diǎn)1角平分線(xiàn)的作法】①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于D，交OB于E.

②分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

③畫(huà)射線(xiàn)OC.即射線(xiàn)OC即為所求.【題型1角平分線(xiàn)的作法及應(yīng)用】【例1】（2020秋?曲靖校級(jí)月考）如圖所示，已知∠AOB，求作射線(xiàn)OC，使OC平分∠AOB，作法的合理順序是．（將①②③重新排列）①作射線(xiàn)OC；②以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交OA、OB于D、E；③分別以D、E為圓心，大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)【解題思路】根據(jù)角平分線(xiàn)的作法進(jìn)行解答．【解答過(guò)程】解：作法：（1）以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交OA、OB于D、E；（2）分別以D、E為圓心，大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)（3）作射線(xiàn)OC，所以O(shè)C就是所求作的∠AOB的平分線(xiàn)．故題中的作法應(yīng)重新排列為：②③①．故答案為：②③①．【變式11】（2020?連城縣模擬）如圖，已知∠MON，點(diǎn)B，C分別在射線(xiàn)OM，ON上，且OB＝OC．（1）用直尺和圓規(guī)作出∠MON的角平分線(xiàn)OP，在射線(xiàn)OP上取一點(diǎn)A，分別連接AB、AC（只需保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）．（2）在（1）的條件下求證：AB＝AC．【解題思路】（1）根據(jù)作角平分線(xiàn)的方法畫(huà)圖即可；（2）先判斷出∠POB＝∠POC，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答過(guò)程】解：（1）如圖所示：射線(xiàn)OP即為所求；（2）由（1）知，OP是∠MON的角平分線(xiàn)，∴∠POB＝∠POC，在△ABO與△ACO中OB=OC∠AOB=∠AOC∴△ABO≌△ACO（SAS），∴AB＝AC．【變式12】（2020秋?沛縣期中）如圖，已知點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，且AD＝CD，（1）用直尺和圓規(guī)作∠BDC的平分線(xiàn)DE，交BC于點(diǎn)E（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，判斷DE與AC的位置關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．【解題思路】（1）根據(jù)角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖可得；（2）先由AD＝CD知∠A＝∠DCA，繼而得∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，再由DE平分∠BDC知∠BDC＝2∠BDE，從而得∠BDE＝∠A，從而得證．【解答過(guò)程】解：（1）如圖所示，DE即為所求．（2）DE∥AC．理由如下：因?yàn)锳D＝CD，所以∠A＝∠DCA，所以∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，因?yàn)镈E平分∠BDC，所以∠BDC＝2∠BDE，所以∠BDE＝∠A，所以DE∥AC．【變式13】（2021秋?孟州市校級(jí)期中）數(shù)學(xué)課上，探討角平分線(xiàn)的作法時(shí)，李老師用直尺和圓規(guī)作角平分線(xiàn)，方法如下：根據(jù)以上情境，解決下列問(wèn)題：作法：（如圖1）①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE．②分別以D、E為圓心，以大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C③作射線(xiàn)OC，則OC就是∠AOB的平分線(xiàn)．小聰只帶來(lái)直角三角板，他發(fā)現(xiàn)利用三角板也可以作角平分線(xiàn)（如圖2），方法如下：步驟：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分別截取OM、ON，使OM＝ON．②分別過(guò)M、N作OM、ON的垂線(xiàn)，交于點(diǎn)P．③作射線(xiàn)OP，則OP為∠AOB的平分線(xiàn)．小穎的身邊只有刻度尺，經(jīng)過(guò)嘗試，她發(fā)現(xiàn)利用刻度尺也可以作角平分線(xiàn)．①李老師用尺規(guī)作角平分線(xiàn)時(shí)，用到的三角形全等的判定方法是．②小聰?shù)淖鞣ㄕ_嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．③請(qǐng)你幫小穎設(shè)計(jì)用刻度尺作角平分線(xiàn)的方法．（要求：作出圖形，寫(xiě)出作圖步驟，不予證明）【解題思路】①根據(jù)全等三角形的判定即可求解；②根據(jù)HL可證Rt△OMP≌Rt△ONP，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可作出判斷；③根據(jù)用刻度尺作角平分線(xiàn)的方法作出圖形，寫(xiě)出作圖步驟即可．【解答過(guò)程】解：①李老師用尺規(guī)作角平分線(xiàn)時(shí)，用到的三角形全等的判定方法SSS；故答案為SSS；②小聰?shù)淖鞣ㄕ_．理由：∵PM⊥OM，PN⊥ON∴∠OMP＝∠ONP＝90°，在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵OP=OPOM=ON∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP＝∠NOP，∴OP平分∠AOB．③如圖所示：步驟：①利用刻度尺在OA、OB上分別截取OG＝OH，②連接GH，利用刻度尺作出GH的中點(diǎn)Q，③作射線(xiàn)OQ，則OQ為∠AOB的平分線(xiàn)．【知識(shí)點(diǎn)2角平分線(xiàn)的性質(zhì)】角的平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.

【題型2角平分線(xiàn)的性質(zhì)的應(yīng)用】【例2】（2021春?畢節(jié)市期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且AB＝10，則△DEB的周長(zhǎng)為（）A．9 B．5 C．10 D．不能確定【解題思路】先利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DE＝DC，再證明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，然后利用等線(xiàn)段代換得到△DEB的周長(zhǎng)＝AB．【解答過(guò)程】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADDC=DE∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∵AC＝BC，∴BC＝AE，∴△DEB的周長(zhǎng)＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10．故選：C．【變式21】（2021春?漢壽縣期中）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，點(diǎn)P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DP的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)等角的余角相等求出∠ABD＝∠CBD，再根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知DP⊥BC時(shí)DP最小，然后根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DP＝AD．【解答過(guò)程】解：∵BD⊥CD，∠A＝90°∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠CBD+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，由垂線(xiàn)段最短得，DP⊥BC時(shí)DP最小，此時(shí)，DP＝AD＝3．故選：C．【變式22】（2020秋?增城區(qū)期末）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，OD⊥BC于點(diǎn)D，若OD＝3cm，則△ABC的面積是（）cm2．A．24 B．27 C．30 D．33【解題思路】過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，如圖，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根據(jù)三角形的面積公式可計(jì)算出△ABC的面積．【解答過(guò)程】解：過(guò)O點(diǎn)作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，如圖，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC=12×OE×AB+12×OD=32（AB+BC+∵△ABC的周長(zhǎng)是18，∴S△ABC=32×18＝27（故選：B．【變式23】（2021春?武侯區(qū)校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DF⊥AB于點(diǎn)F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，則△DEF的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．6【解題思路】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DH＝DF，進(jìn)而證明Rt△DEF≌Rt△DGH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到△DEF的面積＝△DGH的面積，根據(jù)題意列出方程，解方程得到答案．【解答過(guò)程】解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DH＝DF，在Rt△DEF和Rt△DGH中，DF=DHDE=DG∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴△DEF的面積＝△DGH的面積，設(shè)△DEF的面積＝△DGH的面積＝S，同理可證，Rt△ADF≌Rt△ADH，∴△ADF的面積＝△ADH的面積，∴24﹣S＝18+S，解得，S＝3，故選：B．【題型3角平分線(xiàn)的性質(zhì)與等積法】【例3】（2020秋?云南期末）如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線(xiàn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面積是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的長(zhǎng)．【解題思路】根據(jù)S△ABC＝S△ABD+S△ACD，再利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答過(guò)程】解：∵AD為∠BAC的平分線(xiàn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴S△ABC=1∵△ABC面積是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，∴152=1∴10DE+9DF＝152，∵DE＝DF，∴19DE＝152，∴DE＝8．【變式31】（2021春?浦江縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng)．【解題思路】過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC于H，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如圖，利用面積法先求出AH=245，再根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DE＝DF，接著利用面積法得到12AB?DE+12AC?DF=12AB?AC，則可求出DE=247，然后利用12【解答過(guò)程】解：過(guò)A點(diǎn)作AH⊥BC于H，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如圖，∵12AH?BC=12AC∴AH=6×8∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∵12AB?DE+12AC?DF=1∴3DE+4DF＝24，∴DE=24∵S△ABD=12AH?BD=12∴BD=6×【變式32】（2020春?番禺區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)P為△ABC三內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：點(diǎn)P到三邊的距離．【解題思路】根據(jù)點(diǎn)P為三角形三個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，連接PA，PB，PC，可得PD＝PE＝PF，根據(jù)三角形的面積公式即可求出點(diǎn)P到三邊的距離．【解答過(guò)程】解：∵點(diǎn)P為三角形三個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，連接PA，PB，PC，如圖，∴PD＝PE＝PF，設(shè)PD＝PE＝PF＝R，由三角形的面積公式得：S△ACB＝S△APC+S△APB+S△BPC，∴12×AC×BC=12×AC×R+12×6×8＝6R+8R+10R，R＝2，即PD＝2cm．答：點(diǎn)P到三邊的距離為2cm．【變式33】（2020秋?渝水區(qū)校級(jí)期中）知識(shí)儲(chǔ)備：（1）如圖1，AD是△ABC的高，則△ABC的面積S△ABC=12BC?比例的性質(zhì)：若ba=d知識(shí)運(yùn)用：（2）如圖2，BE是△ABC的角平分線(xiàn)，運(yùn)用上述知識(shí)，求證：ABBC知識(shí)延展：如圖3，△ABC的角平分線(xiàn)BE平分△ABC的周長(zhǎng)，求證：△ABC是等腰三角形．【解題思路】2．作EF⊥AB，EG⊥BC，BH⊥AC，垂足分別是F，G，H，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到EF＝EG，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；3．由（1）得到ABBC【解答過(guò)程】2．證明：作EF⊥AB，EG⊥BC，BH⊥AC，垂足分別是F，G，H，∵BE平分∠ABC，∴EF＝EG，∵S△ABE=1∴S△ABE∵S△ABE=1∴S△ABE∴ABBC3．證明：由（1）知ABBC∴ABBC∵AB+AE＝BC+CE，∴ABBC∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形．【題型4角平分線(xiàn)的性質(zhì)與全等】【例4】（2020秋?肇源縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BE＝FC．求證：BD＝DF．【解題思路】因?yàn)椤螩＝90°，DE⊥AB，所以∠C＝∠DEB，又因?yàn)锳D平分∠BAC，所以CD＝DE，已知BE＝FC，則可根據(jù)SAS判定△CDF≌△EDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答過(guò)程】證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，DC=DE∠C=∠BED∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．【變式41】（2020秋?平山縣期中）如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，將直角三角板的頂點(diǎn)P在射線(xiàn)OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)C、D，問(wèn)PC與PD相等嗎？試說(shuō)明理由．【解題思路】先過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，構(gòu)造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，這兩個(gè)三角形已具備兩個(gè)條件：90°的角以及PE＝PF，只需再證∠EPC＝∠FPD，根據(jù)已知，兩個(gè)角都等于90°減去∠CPF，那么三角形全等就可證．【解答過(guò)程】解：PC與PD相等．理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F．∵OM平分∠AOB，點(diǎn)P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，∴四邊形OEPF為矩形，∴∠EPF＝90°，∴∠EPC+∠CPF＝90°，又∵∠CPD＝90°，∴∠CPF+∠FPD＝90°，∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．在△PCE與△PDF中，∵∠PEC=∠PFDPE=PF∴△PCE≌△PDF（ASA），∴PC＝PD．【變式42】（2021春?鹽田區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn)，P是OC上的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，點(diǎn)F是OC上的另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF＝EF．【解題思路】根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PD＝PE，利用“HL”證明Rt△OPD和Rt△OPE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OD＝OE，再利用“邊角邊”證明△ODF和△OEF全等，然后利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．【解答過(guò)程】證明：∵OC是∠AOB的平分線(xiàn)，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OPPD=PE∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OD＝OE，∵OC是∠AOB的平分線(xiàn)，∴∠DOF＝∠EOF，在△ODF和△OEF中，OD=OE∠DOF=∠EOF∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．【變式43】如圖，AB∥CD，以點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于12EF長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)AP，交CD于點(diǎn)（1）求證：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度數(shù)；（3）若CN⊥AM，垂足為N，求證：△CAN≌△CMN．【解題思路】（1）利用基本作圖得到AE＝AF，PE＝PF，則可根據(jù)“SSS“判斷△AEP≌△AFP，從而得到∠EAP＝∠FAP；（2）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可計(jì)算出∠BAC＝66°，然后利用角平分線(xiàn)的定義可計(jì)算出∠MAB的度數(shù)；（3）利用CD∥AB得到∠BAM＝∠CMA，加上∠CAM＝∠BAM，所以∠CAM＝∠CMA，則CA＝CM，則可利用“AAS”判斷△CAN≌△CMN．【解答過(guò)程】（1）證明：連接PE、PF，如圖，由作法得AE＝AF，PE＝PF，而AP＝AP，∴△AEP≌△AFP（SSS），∴∠EAP＝∠FAP，即AP平分∠CAB；（2）解：∵CD∥AB，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠BAC＝180°﹣114°＝66°，∵AP平分∠CAB，∴∠MAB=12∠BAC＝（3）解：∵CD∥AB，∴∠BAM＝∠CMA，∵∠CAM＝∠BAM，∴∠CAM＝∠CMA，∴CA＝CM，∵CN⊥AM，∴∠CNA＝∠CNM，在△CAN和△CMN中∠CAN=∠CMN∠ANC=∠MNC∴△CAN≌△CMN（AAS）．【知識(shí)點(diǎn)3角平分線(xiàn)的判定】角平分線(xiàn)的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上.用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線(xiàn)的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

【題型5角平分線(xiàn)的判定】【例5】（2020秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，l3與兩條平行公路l1，l2三條公路相交，若要在l1上確定某個(gè)位置，使其到另兩條公路的距離相等，這樣的位置有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【解題思路】根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可作直線(xiàn)l2與l3夾角的平分線(xiàn)與直線(xiàn)l1的交點(diǎn)即為符合條件的點(diǎn)．【解答過(guò)程】解：作直線(xiàn)l2與l3夾角的平分線(xiàn)OA，OB，交直線(xiàn)l1于A，B兩點(diǎn)，則在l1上到另兩條公路的距離相等的位置有點(diǎn)A和點(diǎn)B兩個(gè)位置．故選：B．【變式51】（2020秋?長(zhǎng)垣市月考）如圖為三條兩兩相交的公路，某石化公司擬建立一個(gè)加油站，計(jì)劃使得該加油站到三條公路的距離相等，則加油站的可選位置有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解題思路】從已知提供的條件結(jié)合角平分線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行思考，在三角形內(nèi)部三條角平分線(xiàn)相交于同一點(diǎn)，三外角平分線(xiàn)有三交點(diǎn)，除去深水湖泊那里的交點(diǎn)，共有三個(gè)；【解答過(guò)程】解：在三角形內(nèi)部三條角平分線(xiàn)相交于同一點(diǎn)，三外角平分線(xiàn)有三交點(diǎn)，除去深水湖泊那里的交點(diǎn)，共有三個(gè)，故選：C．【變式52】（2020秋?夏津縣期末）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線(xiàn)．如圖：一把直尺壓住射線(xiàn)OB，另一把直尺壓住射線(xiàn)OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說(shuō)：“射線(xiàn)OP就是∠BOA的角平分線(xiàn)．”他這樣做的依據(jù)是（）A．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上 B．角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等 C．三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三條邊的距離相等 D．以上均不正確【解題思路】過(guò)兩把直尺的交點(diǎn)P作PE⊥AO，PF⊥BO，根據(jù)題意可得PE＝PF，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上可得OP平分∠AOB；【解答過(guò)程】解：如圖所示：過(guò)兩把直尺的交點(diǎn)P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上），故選：A．【變式53】（2021春?道縣期末）如圖，已知點(diǎn)P到AE、AD、BC的距離相等，下列說(shuō)法：①點(diǎn)P在∠BAC的平分線(xiàn)上；②點(diǎn)P在∠CBE的平分線(xiàn)上；③點(diǎn)P在∠BCD的平分線(xiàn)上；④點(diǎn)P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分線(xiàn)的交點(diǎn)上．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③【解題思路】根據(jù)在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上對(duì)各小題分析判斷即可得解．【解答過(guò)程】解：∵點(diǎn)P到AE、AD、BC的距離相等，∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線(xiàn)上，故①正確；點(diǎn)P在∠CBE的平分線(xiàn)上，故②正確；點(diǎn)P在∠BCD的平分線(xiàn)上，故③正確；點(diǎn)P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分線(xiàn)的交點(diǎn)上，故④正確，綜上所述，正確的是①②③④．故選：A．【題型6角平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定綜合】【例6】（2020秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，OD平分∠AOB，OA＝OB，P是OD上一點(diǎn)，PM⊥BD于點(diǎn)M，PN⊥AD于點(diǎn)N．求證：PM＝PN．【解題思路】由已知容易求證△OBD≌△OAD（SAS），可得∠3＝∠4，再根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)的逆定理，可證PM＝PN．【解答過(guò)程】證明：∵OD平分∠AOB，∴∠1＝∠2．在△OBD和△OAD中，OB=OA∠1=∠2∴△OBD≌△OAD（SAS）．∴∠3＝∠4．∵PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM＝PN．【變式61】（2020秋?臨西縣期末）已知：如圖，BP、CP分別是△ABC的外角平分線(xiàn)，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．求證：PA平分∠MAN．【解題思路】作PD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到PM＝PD，PN＝PD，得到PM＝PN，根據(jù)角平分線(xiàn)的判定定理證明即可．【解答過(guò)程】證明：作PD⊥BC于點(diǎn)D，∵BP是△ABC的外角平分線(xiàn)，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝PD，同理，PN＝PD，∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴PA平分∠MAN．【