專題1.6角的平分線-重難點題型（舉一反三）（北師大版）

專題1.6角的平分線重難點題型【北師大版】【知識點1角平分線的作法】①以O(shè)為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

②分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點C.

③畫射線OC.即射線OC即為所求.【題型1角平分線的作法及應(yīng)用】【例1】（2020秋?曲靖校級月考）如圖所示，已知∠AOB，求作射線OC，使OC平分∠AOB，作法的合理順序是．（將①②③重新排列）①作射線OC；②以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于D、E；③分別以D、E為圓心，大于12DE的長為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于點【解題思路】根據(jù)角平分線的作法進行解答．【解答過程】解：作法：（1）以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧交OA、OB于D、E；（2）分別以D、E為圓心，大于12DE的長為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于點（3）作射線OC，所以O(shè)C就是所求作的∠AOB的平分線．故題中的作法應(yīng)重新排列為：②③①．故答案為：②③①．【變式11】（2020?連城縣模擬）如圖，已知∠MON，點B，C分別在射線OM，ON上，且OB＝OC．（1）用直尺和圓規(guī)作出∠MON的角平分線OP，在射線OP上取一點A，分別連接AB、AC（只需保留作圖痕跡，不要求寫作法）．（2）在（1）的條件下求證：AB＝AC．【解題思路】（1）根據(jù)作角平分線的方法畫圖即可；（2）先判斷出∠POB＝∠POC，進而根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答過程】解：（1）如圖所示：射線OP即為所求；（2）由（1）知，OP是∠MON的角平分線，∴∠POB＝∠POC，在△ABO與△ACO中OB=OC∠AOB=∠AOC∴△ABO≌△ACO（SAS），∴AB＝AC．【變式12】（2020秋?沛縣期中）如圖，已知點D在△ABC的邊AB上，且AD＝CD，（1）用直尺和圓規(guī)作∠BDC的平分線DE，交BC于點E（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，判斷DE與AC的位置關(guān)系，并寫出證明過程．【解題思路】（1）根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖可得；（2）先由AD＝CD知∠A＝∠DCA，繼而得∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，再由DE平分∠BDC知∠BDC＝2∠BDE，從而得∠BDE＝∠A，從而得證．【解答過程】解：（1）如圖所示，DE即為所求．（2）DE∥AC．理由如下：因為AD＝CD，所以∠A＝∠DCA，所以∠BDC＝∠A+∠DCA＝2∠A，因為DE平分∠BDC，所以∠BDC＝2∠BDE，所以∠BDE＝∠A，所以DE∥AC．【變式13】（2021秋?孟州市校級期中）數(shù)學課上，探討角平分線的作法時，李老師用直尺和圓規(guī)作角平分線，方法如下：根據(jù)以上情境，解決下列問題：作法：（如圖1）①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE．②分別以D、E為圓心，以大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點C③作射線OC，則OC就是∠AOB的平分線．小聰只帶來直角三角板，他發(fā)現(xiàn)利用三角板也可以作角平分線（如圖2），方法如下：步驟：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分別截取OM、ON，使OM＝ON．②分別過M、N作OM、ON的垂線，交于點P．③作射線OP，則OP為∠AOB的平分線．小穎的身邊只有刻度尺，經(jīng)過嘗試，她發(fā)現(xiàn)利用刻度尺也可以作角平分線．①李老師用尺規(guī)作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是．②小聰?shù)淖鞣ㄕ_嗎？請說明理由．③請你幫小穎設(shè)計用刻度尺作角平分線的方法．（要求：作出圖形，寫出作圖步驟，不予證明）【解題思路】①根據(jù)全等三角形的判定即可求解；②根據(jù)HL可證Rt△OMP≌Rt△ONP，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可作出判斷；③根據(jù)用刻度尺作角平分線的方法作出圖形，寫出作圖步驟即可．【解答過程】解：①李老師用尺規(guī)作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法SSS；故答案為SSS；②小聰?shù)淖鞣ㄕ_．理由：∵PM⊥OM，PN⊥ON∴∠OMP＝∠ONP＝90°，在Rt△OMP和Rt△ONP中，∵OP=OPOM=ON∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP＝∠NOP，∴OP平分∠AOB．③如圖所示：步驟：①利用刻度尺在OA、OB上分別截取OG＝OH，②連接GH，利用刻度尺作出GH的中點Q，③作射線OQ，則OQ為∠AOB的平分線．【知識點2角平分線的性質(zhì)】角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等.

用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點P是CD上一點，且PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，則PE＝PF.

【題型2角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用】【例2】（2021春?畢節(jié)市期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于點D，DE⊥AB于點E，且AB＝10，則△DEB的周長為（）A．9 B．5 C．10 D．不能確定【解題思路】先利用角平分線的性質(zhì)得到DE＝DC，再證明Rt△ACD≌Rt△AED得到AC＝AE，然后利用等線段代換得到△DEB的周長＝AB．【解答過程】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△ACD和Rt△AED中，AD=ADDC=DE∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∵AC＝BC，∴BC＝AE，∴△DEB的周長＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10．故選：C．【變式21】（2021春?漢壽縣期中）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，點P是邊BC上的一動點，則DP的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)等角的余角相等求出∠ABD＝∠CBD，再根據(jù)垂線段最短可知DP⊥BC時DP最小，然后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DP＝AD．【解答過程】解：∵BD⊥CD，∠A＝90°∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠CBD+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠CBD，由垂線段最短得，DP⊥BC時DP最小，此時，DP＝AD＝3．故選：C．【變式22】（2020秋?增城區(qū)期末）如圖，已知△ABC的周長是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，OD⊥BC于點D，若OD＝3cm，則△ABC的面積是（）cm2．A．24 B．27 C．30 D．33【解題思路】過O點作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，由于S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC，所以根據(jù)三角形的面積公式可計算出△ABC的面積．【解答過程】解：過O點作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，如圖，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC=12×OE×AB+12×OD=32（AB+BC+∵△ABC的周長是18，∴S△ABC=32×18＝27（故選：B．【變式23】（2021春?武侯區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB于點F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，則△DEF的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．6【解題思路】過點D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH＝DF，進而證明Rt△DEF≌Rt△DGH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到△DEF的面積＝△DGH的面積，根據(jù)題意列出方程，解方程得到答案．【解答過程】解：過點D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DH＝DF，在Rt△DEF和Rt△DGH中，DF=DHDE=DG∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴△DEF的面積＝△DGH的面積，設(shè)△DEF的面積＝△DGH的面積＝S，同理可證，Rt△ADF≌Rt△ADH，∴△ADF的面積＝△ADH的面積，∴24﹣S＝18+S，解得，S＝3，故選：B．【題型3角平分線的性質(zhì)與等積法】【例3】（2020秋?云南期末）如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面積是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的長．【解題思路】根據(jù)S△ABC＝S△ABD+S△ACD，再利用角平分線的性質(zhì)即可解決問題．【解答過程】解：∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴S△ABC=1∵△ABC面積是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，∴152=1∴10DE+9DF＝152，∵DE＝DF，∴19DE＝152，∴DE＝8．【變式31】（2021春?浦江縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于點D，求BD的長．【解題思路】過A點作AH⊥BC于H，過D點作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如圖，利用面積法先求出AH=245，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DF，接著利用面積法得到12AB?DE+12AC?DF=12AB?AC，則可求出DE=247，然后利用12【解答過程】解：過A點作AH⊥BC于H，過D點作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如圖，∵12AH?BC=12AC∴AH=6×8∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∵12AB?DE+12AC?DF=1∴3DE+4DF＝24，∴DE=24∵S△ABD=12AH?BD=12∴BD=6×【變式32】（2020春?番禺區(qū)校級期中）點P為△ABC三內(nèi)角平分線的交點，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：點P到三邊的距離．【解題思路】根據(jù)點P為三角形三個內(nèi)角平分線的交點，作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，連接PA，PB，PC，可得PD＝PE＝PF，根據(jù)三角形的面積公式即可求出點P到三邊的距離．【解答過程】解：∵點P為三角形三個內(nèi)角平分線的交點，作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，連接PA，PB，PC，如圖，∴PD＝PE＝PF，設(shè)PD＝PE＝PF＝R，由三角形的面積公式得：S△ACB＝S△APC+S△APB+S△BPC，∴12×AC×BC=12×AC×R+12×6×8＝6R+8R+10R，R＝2，即PD＝2cm．答：點P到三邊的距離為2cm．【變式33】（2020秋?渝水區(qū)校級期中）知識儲備：（1）如圖1，AD是△ABC的高，則△ABC的面積S△ABC=12BC?比例的性質(zhì)：若ba=d知識運用：（2）如圖2，BE是△ABC的角平分線，運用上述知識，求證：ABBC知識延展：如圖3，△ABC的角平分線BE平分△ABC的周長，求證：△ABC是等腰三角形．【解題思路】2．作EF⊥AB，EG⊥BC，BH⊥AC，垂足分別是F，G，H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EF＝EG，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；3．由（1）得到ABBC【解答過程】2．證明：作EF⊥AB，EG⊥BC，BH⊥AC，垂足分別是F，G，H，∵BE平分∠ABC，∴EF＝EG，∵S△ABE=1∴S△ABE∵S△ABE=1∴S△ABE∴ABBC3．證明：由（1）知ABBC∴ABBC∵AB+AE＝BC+CE，∴ABBC∴AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形．【題型4角平分線的性質(zhì)與全等】【例4】（2020秋?肇源縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點E，點F在AC上，BE＝FC．求證：BD＝DF．【解題思路】因為∠C＝90°，DE⊥AB，所以∠C＝∠DEB，又因為AD平分∠BAC，所以CD＝DE，已知BE＝FC，則可根據(jù)SAS判定△CDF≌△EDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答過程】證明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，DC=DE∠C=∠BED∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．【變式41】（2020秋?平山縣期中）如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，將直角三角板的頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與OA、OB相交于點C、D，問PC與PD相等嗎？試說明理由．【解題思路】先過點P作PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，構(gòu)造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，這兩個三角形已具備兩個條件：90°的角以及PE＝PF，只需再證∠EPC＝∠FPD，根據(jù)已知，兩個角都等于90°減去∠CPF，那么三角形全等就可證．【解答過程】解：PC與PD相等．理由如下：過點P作PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F．∵OM平分∠AOB，點P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，∴四邊形OEPF為矩形，∴∠EPF＝90°，∴∠EPC+∠CPF＝90°，又∵∠CPD＝90°，∴∠CPF+∠FPD＝90°，∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．在△PCE與△PDF中，∵∠PEC=∠PFDPE=PF∴△PCE≌△PDF（ASA），∴PC＝PD．【變式42】（2021春?鹽田區(qū)校級期中）已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，點F是OC上的另一點，連接DF，EF．求證：DF＝EF．【解題思路】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PD＝PE，利用“HL”證明Rt△OPD和Rt△OPE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OD＝OE，再利用“邊角邊”證明△ODF和△OEF全等，然后利用全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．【解答過程】證明：∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，OP=OPPD=PE∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OD＝OE，∵OC是∠AOB的平分線，∴∠DOF＝∠EOF，在△ODF和△OEF中，OD=OE∠DOF=∠EOF∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．【變式43】如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于12EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點（1）求證：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度數(shù)；（3）若CN⊥AM，垂足為N，求證：△CAN≌△CMN．【解題思路】（1）利用基本作圖得到AE＝AF，PE＝PF，則可根據(jù)“SSS“判斷△AEP≌△AFP，從而得到∠EAP＝∠FAP；（2）利用平行線的性質(zhì)可計算出∠BAC＝66°，然后利用角平分線的定義可計算出∠MAB的度數(shù)；（3）利用CD∥AB得到∠BAM＝∠CMA，加上∠CAM＝∠BAM，所以∠CAM＝∠CMA，則CA＝CM，則可利用“AAS”判斷△CAN≌△CMN．【解答過程】（1）證明：連接PE、PF，如圖，由作法得AE＝AF，PE＝PF，而AP＝AP，∴△AEP≌△AFP（SSS），∴∠EAP＝∠FAP，即AP平分∠CAB；（2）解：∵CD∥AB，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠BAC＝180°﹣114°＝66°，∵AP平分∠CAB，∴∠MAB=12∠BAC＝（3）解：∵CD∥AB，∴∠BAM＝∠CMA，∵∠CAM＝∠BAM，∴∠CAM＝∠CMA，∴CA＝CM，∵CN⊥AM，∴∠CNA＝∠CNM，在△CAN和△CMN中∠CAN=∠CMN∠ANC=∠MNC∴△CAN≌△CMN（AAS）．【知識點3角平分線的判定】角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點E，PF⊥BD于點F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

【題型5角平分線的判定】【例5】（2020秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，l3與兩條平行公路l1，l2三條公路相交，若要在l1上確定某個位置，使其到另兩條公路的距離相等，這樣的位置有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．無數(shù)個【解題思路】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可作直線l2與l3夾角的平分線與直線l1的交點即為符合條件的點．【解答過程】解：作直線l2與l3夾角的平分線OA，OB，交直線l1于A，B兩點，則在l1上到另兩條公路的距離相等的位置有點A和點B兩個位置．故選：B．【變式51】（2020秋?長垣市月考）如圖為三條兩兩相交的公路，某石化公司擬建立一個加油站，計劃使得該加油站到三條公路的距離相等，則加油站的可選位置有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】從已知提供的條件結(jié)合角平分線的性質(zhì)進行思考，在三角形內(nèi)部三條角平分線相交于同一點，三外角平分線有三交點，除去深水湖泊那里的交點，共有三個；【解答過程】解：在三角形內(nèi)部三條角平分線相交于同一點，三外角平分線有三交點，除去深水湖泊那里的交點，共有三個，故選：C．【變式52】（2020秋?夏津縣期末）小明同學在學習了全等三角形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（）A．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上 B．角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等 C．三角形三條角平分線的交點到三條邊的距離相等 D．以上均不正確【解題思路】過兩把直尺的交點P作PE⊥AO，PF⊥BO，根據(jù)題意可得PE＝PF，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上可得OP平分∠AOB；【解答過程】解：如圖所示：過兩把直尺的交點P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵兩把完全相同的長方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上），故選：A．【變式53】（2021春?道縣期末）如圖，已知點P到AE、AD、BC的距離相等，下列說法：①點P在∠BAC的平分線上；②點P在∠CBE的平分線上；③點P在∠BCD的平分線上；④點P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分線的交點上．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③【解題思路】根據(jù)在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上對各小題分析判斷即可得解．【解答過程】解：∵點P到AE、AD、BC的距離相等，∴點P在∠BAC的平分線上，故①正確；點P在∠CBE的平分線上，故②正確；點P在∠BCD的平分線上，故③正確；點P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分線的交點上，故④正確，綜上所述，正確的是①②③④．故選：A．【題型6角平分線的性質(zhì)與判定綜合】【例6】（2020秋?朝陽區(qū)校級期中）如圖，OD平分∠AOB，OA＝OB，P是OD上一點，PM⊥BD于點M，PN⊥AD于點N．求證：PM＝PN．【解題思路】由已知容易求證△OBD≌△OAD（SAS），可得∠3＝∠4，再根據(jù)角平分線性質(zhì)的逆定理，可證PM＝PN．【解答過程】證明：∵OD平分∠AOB，∴∠1＝∠2．在△OBD和△OAD中，OB=OA∠1=∠2∴△OBD≌△OAD（SAS）．∴∠3＝∠4．∵PM⊥BD，PN⊥AD，∴PM＝PN．【變式61】（2020秋?臨西縣期末）已知：如圖，BP、CP分別是△ABC的外角平分線，PM⊥AB于點M，PN⊥AC于點N．求證：PA平分∠MAN．【解題思路】作PD⊥BC于點D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PM＝PD，PN＝PD，得到PM＝PN，根據(jù)角平分線的判定定理證明即可．【解答過程】證明：作PD⊥BC于點D，∵BP是△ABC的外角平分線，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝PD，同理，PN＝PD，∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴PA平分∠MAN．【