第05講乘法公式（教師版）八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊講義（華師大版）

第5講乘法公式目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航掌握平方差公式跟完全平方知識(shí)和應(yīng)用應(yīng)用平方差公式和完全平方解決問題知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.【知識(shí)拓展】考點(diǎn)詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號(hào)變化：如（5）增項(xiàng)變化：如（6）增因式變化：如【即學(xué)即練1】下列兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式計(jì)算的，寫出計(jì)算結(jié)果．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【思路】兩個(gè)多項(xiàng)式因式中，如果一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)就可以用平方差公式.【答案】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式計(jì)算，(1)、(6)不能用平方差公式計(jì)算．(2)＝－＝．(3)＝－＝．(4)＝－＝．(5)＝－＝．【總結(jié)】利用平方差公式進(jìn)行乘法運(yùn)算，一定要注意找準(zhǔn)相同項(xiàng)和相反項(xiàng)（系數(shù)為相反數(shù)的同類項(xiàng)）．知識(shí)點(diǎn)02完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.考點(diǎn)詮釋：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：【知識(shí)拓展】補(bǔ)充公式；；；.【即學(xué)即練2】計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【思路】此題都可以用完全平方公式計(jì)算，區(qū)別在于是選“和”還是“差”的完全平方公式.【答案】解：(1)．(2)．(3)．(4)．【總結(jié)】(1)在運(yùn)用完全平方公式時(shí)要注意運(yùn)用以下規(guī)律：當(dāng)所給的二項(xiàng)式符號(hào)相同時(shí)，結(jié)果中三項(xiàng)的符號(hào)都為正，當(dāng)所給的二項(xiàng)式符號(hào)相反時(shí)，結(jié)果中兩平方項(xiàng)為正，乘積項(xiàng)的符號(hào)為負(fù)．(2)注意之間的轉(zhuǎn)化．能力拓展能力拓展考法01平方差公式應(yīng)用1.計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【答案】解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．2、計(jì)算：(1)59.9×60.1；(2)102×98．【答案】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996．【總結(jié)】用構(gòu)造平方差公式計(jì)算的方法是快速計(jì)算有些有理數(shù)乘法的好方法，構(gòu)造時(shí)可利用兩數(shù)的平均數(shù)，通過兩式(兩數(shù))的平均值，可以把原式寫成兩數(shù)和差之積的形式．這樣可順利地利用平方差公式來計(jì)算．3.怎樣簡便就怎樣計(jì)算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）【答案】解：（1）1232﹣124×122=1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1=1；（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）=（2a+b）（2a﹣b）（4a2+b2）=（4a2﹣b2）（4a2+b2）=（4a2）2﹣（b2）2=16a4﹣b4．考法02完全平方公式應(yīng)用1.圖a是由4個(gè)長為m，寬為n的長方形拼成的，圖b是由這四個(gè)長方形拼成的正方形，中間的空隙，恰好是一個(gè)小正方形．（1）用m、n表示圖b中小正方形的邊長為．（2）用兩種不同方法表示出圖b中陰影部分的面積；（3）觀察圖b，利用（2）中的結(jié)論，寫出下列三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系，代數(shù)式（m+n）2，（m﹣n）2，mn；（4）根據(jù)（3）中的等量關(guān)系，解決如下問題：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．【答案】解：（1）圖b中小正方形的邊長為m﹣n．故答案為m﹣n；（2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2；方法②：（m+n）2﹣4mn；（3）因?yàn)閳D中陰影部分的面積不變，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；（4）由（3）得：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，∵a+b=7，ab=5，∴（a﹣b）2=72﹣4×5=49﹣20=29．【總結(jié)】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，列代數(shù)式，可以根據(jù)題中的已知數(shù)量利用代數(shù)式表示其他相關(guān)的量．2.已知，＝12．求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】解：(1)∵＝－＝－3＝－3×12＝13．(2)∵＝－4＝－4×12＝1.【總結(jié)】由乘方公式常見的變形：①－＝4；②＝－2＝＋2．解答本題關(guān)鍵是不求出的值，主要利用完全平方公式的整體變換求代數(shù)式的值．3.已知，，求和的值．【答案】解：由，得；①由，得．②①＋②得，∴．①－②得，∴．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.在下列計(jì)算中，不能用平方差公式計(jì)算的是（）A.B.C.D.【答案】A；【解析】A中和符號(hào)相反，和符號(hào)相反，而平方差公式中需要有一項(xiàng)是符號(hào)相同的，另一項(xiàng)互為相反數(shù).2．下列多項(xiàng)式不是完全平方式的是()．A. B.C. D.【答案】A；【解析】；；.3．下列各多項(xiàng)式相乘，可以用平方差公式的有()．①②③④A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)【答案】B；【解析】①，②，③可用平方差公式.4．下列計(jì)算正確的是()．A.＝ B.＝C. D.()()＝【答案】C；【解析】＝；＝；()()＝.5．下列等式不能恒成立的是()．A. B.C. D.【答案】D；【解析】.6．(＋3)(＋9)(－3)的計(jì)算結(jié)果是()． A.＋81 B.－－81 C.－81 D.81－【答案】C；【解析】(＋3)(＋9)(－3)＝.7．下列式子不能成立的有()個(gè)．①②③④⑤A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B；【解析】②，③不成立.8．若＝6，＝5，則等于()．A.11 B.15 C.30 D.60【答案】C；【解析】＝6×5＝30.9.若是完全平方式，則值是（）A.B.C.D.1【答案】B；【解析】，所以＝±1.10.下面計(jì)算正確的是()．A.原式＝(－7＋＋)[－7－(＋)]＝－－B.原式＝(－7＋＋)[－7－(＋)]＝＋C.原式＝[－(7－－)][－(7＋＋)]＝－D.原式＝[－(7＋)＋][－(7＋)－]＝【答案】C11．計(jì)算20152﹣2014×2016的結(jié)果是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】D；【解析】解：原式=20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）=20152﹣（20152﹣1）=20152﹣20152+1=1，故選D.12．已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式4x2﹣mx+25是完全平方式，則常數(shù)m的值為（）A．10 B．±10 C．﹣20 D．±20【答案】D；【解析】解：∵關(guān)于x的二次三項(xiàng)式4x2﹣mx+25是完全平方式，∴﹣m=±20，即m=±20．故選：D．題組B能力提升練1．多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，則＝______．【答案】16；【解析】，∴＝16.2．若是一個(gè)完全平方式，則＝______．【答案】±4；【解析】，所以.3.若＝,則M＝______．【答案】；【解析】＝.4.若＝3，＝1，則＝_______.【答案】7；【解析】，.5.已知，則的結(jié)果是_______.【答案】23；【解析】.6.若把代數(shù)式化為的形式，其中，為常數(shù)，則＋＝_______.【答案】－3；【解析】，＝1，＝－4.7.若A=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，則A的末位數(shù)字是．【答案】6；【解析】解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1，=（24﹣1）（24+1）（28+1）+1，=（28﹣1）（28+1）+1，=（216﹣1）（216+1）+1，=232﹣1+1，因?yàn)?32的末位數(shù)字是6，所以原式末位數(shù)字是6．故答案為：6．8．對(duì)于任意的正整數(shù)，能整除代數(shù)式的最小正整數(shù)是_______.【答案】10；【解析】利用平方差公式化簡得10，故能被10整除.9.如果＝63，那么＋的值為_______.【答案】±4；【解析】.10.（1+x）（1﹣x）（1+x2）（1+x4）=．【答案】1﹣x8；【解析】解：（1+x）（1﹣x）（1+x2）（1+x4）=（1﹣x2）（1+x2）（1+x4）=（1﹣x4）（1+x4）=1﹣x8，故答案為：1﹣x811.___________.【答案】；【解析】.12.若，則代數(shù)式的值為________.【答案】6；【解析】因?yàn)?，所?題組C培優(yōu)拔尖練1.用平方差公式或完全平方公式計(jì)算（必須寫出運(yùn)算過程）．（1）69×71；（2）992．【解析】解：（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899；（2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801．2.先化簡，再求值：，其中．【解析】解：當(dāng).2.已知：，且求的值.【解析】解：∵，且∴，∴，∵∴∵即∴.4.如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4、12、20都是這種“神秘?cái)?shù)”．（1）28和2012這兩個(gè)數(shù)是“神秘?cái)?shù)”嗎？試說明理由；（2）試說明神秘?cái)?shù)能被4整除；（3）兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是神秘?cái)?shù)嗎？試說明理由．【解析】解：（1）是，理由如下：∵28=82﹣62，2012=5