第34課直線的相交（教師版）七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義（浙教版）

第34課直線的相交目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解相交線和對(duì)頂角的概念.2.理解對(duì)頂角相等.3.會(huì)利用余角、補(bǔ)角和對(duì)頂角的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)角的計(jì)算.4.解垂線的概念，會(huì)用符號(hào)表示兩條直線互相垂直，會(huì)用三角尺或量角器過已知點(diǎn)畫已知直線的垂線.5.了解“過一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線和已知直線垂直”6.了解“垂線段最短”的性質(zhì)，理解點(diǎn)到直線的距離的概念.知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01相交線和對(duì)頂角的概念1.如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，就稱這兩條直線相交.該公共點(diǎn)就叫做這兩條直線的交點(diǎn).2.對(duì)頂角：頂點(diǎn)相同，角的兩邊互為反向延長線.知識(shí)點(diǎn)02對(duì)頂角的性質(zhì)對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等知識(shí)點(diǎn)03垂線及其性質(zhì)1.垂線：如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線；互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。2.垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且僅有一條直線垂直于已知直線.連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。3.從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。能力拓展考點(diǎn)01相交線和對(duì)頂角的概念能力拓展【典例1】下面的四個(gè)圖形中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（）A．B． C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)頂角的定義作出判斷即可．【解析】解：根據(jù)對(duì)頂角的定義可知：只有C圖中的∠1與∠2是對(duì)頂角，其它都不是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角的定義，兩條直線相交后所得的只有一個(gè)公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長線，這樣的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角．【即學(xué)即練1】下列圖中是對(duì)頂角的為（）A．B．C．D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩條直線相交，所成的角中，相對(duì)的一組是對(duì)頂角，可判斷對(duì)頂角．【解析】解：A、不是兩條直線相交所成的角，不是對(duì)頂角，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不是兩條直線相交所成的角，不是對(duì)頂角，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是兩條直線相交所成的角，不是對(duì)頂角，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∠1和∠2是對(duì)頂角，故選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角，兩條直線相交所成的角，位置相對(duì)是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)02對(duì)頂角的性質(zhì)【典例2】∠1的對(duì)頂角是∠2，∠2的鄰補(bǔ)角是∠3，若∠3＝50°，則∠1的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．130° D．50°或130°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)頂角相等、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的性質(zhì)求解．【解析】解：∵∠2的鄰補(bǔ)角是∠3，∠3＝50°，∴∠2＝130°，∵∠1的對(duì)頂角是∠2，∴∠1＝130°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角的性質(zhì)以及鄰補(bǔ)角的定義，解決本題的根據(jù)是熟記對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的定義．【即學(xué)即練2】如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，OB平分∠DOE，若∠DOE＝60°，則∠AOC的度數(shù)是30度．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角平分線的定義和對(duì)頂角相等可求得．【解析】解：∵AB、CD相交于點(diǎn)O，∠DOE＝60°，OB平分∠DOE，∴∠BOD＝∠DOE＝×60°＝30°，又∵∠AOC與∠BOD是對(duì)頂角，∴∠AOC＝∠BOD＝30°．故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)及對(duì)頂角的性質(zhì)，比較簡單．考點(diǎn)03垂線及其性質(zhì)【典例3】1.如圖，直線AE與CD相交于點(diǎn)B，BF⊥AE．（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度數(shù)；（2）猜想∠CBE與∠DBF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）由BF⊥AE得∠EBF＝90°，即可計(jì)算；（2）由∠CBE＝∠ABD，∠ABF＝90°，即可解決問題．【解析】（1）解：∵BF⊥AE，∴∠EBF＝∠ABF＝90°，∵∠FBD＝∠EBF﹣∠DBE，∴∠FBD＝90°﹣60°＝30°；（2）∠CBE﹣∠DBF＝90°．證明：∵∠ABD﹣∠FBD＝∠ABF，∴∠ABD﹣∠FBD＝90°，∵∠CBE＝∠ABD，∴∠CBE﹣∠DBF＝90°．【點(diǎn)睛】本題考查角度的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握垂直的定義，對(duì)頂角相等．2.如圖，設(shè)點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，PQ⊥l，垂足為點(diǎn)Q，點(diǎn)T是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PT，則（）A．PT≥2PQ B．PT≤2PQ C．PT≥PQ D．PT≤PQ【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂線的性質(zhì)“垂線段最短”即可得到結(jié)論．【解析】解：∵PQ⊥l，點(diǎn)T是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PT，∴PT≥PQ，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短，熟練掌握垂線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】1.小明參加跳遠(yuǎn)比賽，他從地面踏板P處起跳落到沙坑中，兩腳后跟與沙坑的接觸點(diǎn)分別為A，B，小明未站穩(wěn)，一只手撐到沙坑C點(diǎn)，則跳遠(yuǎn)成績測(cè)量正確的圖是（）A．B． C． D．【思路點(diǎn)撥】由于C點(diǎn)到踏板P最近，則C點(diǎn)到踏板P的垂線段的長為跳遠(yuǎn)成績．【解析】解：跳遠(yuǎn)成績應(yīng)該為身體的接觸點(diǎn)中到踏板P的垂線段長的最小值．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短：實(shí)際問題中涉及線路最短問題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)中去選擇．2.如圖，直線AB與CD相交于，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）若∠BOD＝40°，求∠EOF的度數(shù)；（2）若∠AOC＝∠EOD，求∠AOC的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）由已知可得∠EOF＝360°﹣（∠BOE+∠DOF+∠BOD），再將已知代入即可；（2）令∠AOC＝x，則∠BOD＝x，由已知可得∠EOD＝4x，再由∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE，得到x＝4x﹣90°，求出x即為所求．【解析】解：（1）∵OE⊥AB，OF⊥CD，∴∠BOE＝90°，∠COF＝90°，∵∠BOD＝40°，∴∠EOF＝360°﹣（∠BOE+∠DOF+∠BOD）＝360°﹣（90°+90°+40°）＝140°；（2）令∠AOC＝x，∵∠BOD與∠AOC是對(duì)頂角，∴∠BOD＝x，∵∠AOC＝∠EOD，∴∠EOD＝4x，∵∠BOD＝∠EOD﹣∠BOE，∴x＝4x﹣90°，∴x＝30°，∴∠AOC＝30°．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角，垂直的定義，熟練掌握對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角，垂直的定義，數(shù)形結(jié)合解題是關(guān)鍵．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1.下列各圖中，∠1與∠2是對(duì)頂角的是（）A．B．C．D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)頂角的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解析】解：A、∠1與∠2是對(duì)頂角，故A選項(xiàng)正確；B、∠1與∠2不是對(duì)頂角，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∠1與∠2不是對(duì)頂角，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∠1與∠2不是對(duì)頂角，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)頂角的定義，熟記對(duì)頂角的圖形是解題的關(guān)鍵．2.在下列圖形中，線段PQ的長度表示點(diǎn)P到直線L的距離的是（）A．B．C． D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離的概念判斷．【解析】解：圖A、B、D中，線段PQ不與直線L垂直，故線段PQ不能表示點(diǎn)P到直線L的距離；圖C中，線段PQ與直線L垂直，垂足為點(diǎn)Q，故線段PQ能表示點(diǎn)P到直線L的距離；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的概念．3.如圖，已知AB、CD相交于O，OE⊥CD于O，∠AOC＝30°，則∠BOE＝（）A．30° B．60° C．120° D．130°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂直的定義和對(duì)頂角相等即可求出∠BOE的度數(shù)．【解析】解：∵OE⊥CD，∴∠EOD＝90°，∵∠AOC＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝30°，∴∠BOE＝∠EOD+∠BOD＝90°+30°＝120°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等的性質(zhì)，垂直的定義，根據(jù)圖形找出角的關(guān)系代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可，比較簡單．4.如圖，點(diǎn)O在直線BD上，已知∠1＝20°，OC⊥OA，則∠BOC的度數(shù)為（）A．20° B．70° C．80° D．90°【思路點(diǎn)撥】由垂直的定義可知∠AOC＝90°，再余角的定義可得∠BOC的度數(shù)．【解析】解：∵OC⊥OA，∴∠AOC＝90°，∵∠1＝20°，∴∠BOC＝90°﹣∠1＝70°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了余角的定義，角的和差及角的計(jì)算，求出∠AOC＝90°是解題的關(guān)鍵．5.下列圖形中，線段AD的長表示點(diǎn)A到直線BC距離的是（）A．B．C． D．【思路點(diǎn)撥】點(diǎn)到直線的距離是指垂線段的長度．【解析】解：線段AD的長表示點(diǎn)A到直線BC距離的是圖D，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，注意是垂線段的長度，不是垂線段．6.如圖，要把河中的水引到村莊A，小凡先作AB⊥CD，垂足為點(diǎn)B，然后沿AB開挖水渠，就能使所開挖的水渠最短，其依據(jù)是（）A．兩點(diǎn)確定一條直線B．兩點(diǎn)之間線段最短 C．在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有一條而且僅有一條直線垂直于已知直線 D．連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂線段的性質(zhì)，可得答案．【解析】解：先過點(diǎn)A作AB⊥CD，垂足為點(diǎn)B，然后沿AB開渠，能使所開的渠道最短，這樣設(shè)計(jì)的依據(jù)是垂線段最短；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線的性質(zhì)，線段的性質(zhì)，垂線段最短，點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)點(diǎn)，能熟記知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．7.如圖，OA⊥OB，OC⊥OD．若∠AOD＝144°，則∠BOC＝36°．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂直的定義知∠AOB＝∠COD＝90°，然后由周角的定義即可求得∠BOC的度數(shù)．【解析】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，∴∠AOB＝∠COD＝90°；又∵∠AOD+∠AOB+∠BOC+∠COD＝360°，∠AOD＝144°，∴∠BOC＝36°；故答案是：36°．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線的定義．要注意領(lǐng)會(huì)由垂直得直角這一要點(diǎn)．8.如圖，直線AB與CD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）圖中∠COE的余角是∠AOC，∠EOF，∠BOD．（請(qǐng)符合條件的角都寫出來）；（2）圖中除直角外，還有相等的角，請(qǐng)寫出三對(duì)；①∠AOC＝∠EOF；②∠AOC＝∠BOD；③∠EOF＝∠BOD．（3）若∠AOF＝3∠COE，求∠COE的度數(shù)（請(qǐng)寫出解答過程）．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)圖形及余角的定義可得出答案．（2）根據(jù)圖形可找出三對(duì)相等角．（3）觀察圖形根據(jù)∠AOF＝3∠COE，可知∠AOC＝∠EOC＝∠EOF，由此可得出答案．【解析】解：（1）圖中∠COE的余角是∠AOC，∠EOF，∠BOD．（請(qǐng)符合條件的角都寫出來）；（2）圖中除直角外，還有相等的角，請(qǐng)寫出三對(duì)；①∠AOC＝∠EOF；②∠AOC＝∠BOD；③∠EOF＝∠BOD．（3）∵∠AOF＝3∠COE，∠AOC＝∠EOF，∴∠COE＝∠AOC，∵OE⊥AB，∴∠COE+∠AOC＝90°，∴∠COE＝45°．故∠COE的度數(shù)是45°．故答案為：∠AOC，∠EOF，∠BOD；∠AOC＝∠EOF；∠AOC＝∠BOD；∠EOF＝∠BOD．【點(diǎn)睛】本題考查余角和補(bǔ)角的知識(shí)，有一定難度，關(guān)鍵是仔細(xì)地觀察圖形，注意不要遺漏滿足條件的角．9.如圖，OE⊥CD．OF⊥AB．（1）已知過直線AB上O點(diǎn)有OC，OD，OE，OF4條射線，∠DOF＝65°，求∠BOE，∠AOC的度數(shù)；（2）若直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∠DOF＝2∠DOB，求圖中各銳角的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）已知過直線AB上O點(diǎn)有OC，OD，OE，OF4條射線，∠DOF＝65°，求∠BOE，∠AOC的度數(shù)；（2）若直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∠DOF＝2∠DOB，求圖中各銳角的度數(shù)．【解析】解：（1）∵OE⊥CD．OF⊥AB，∴∠DOE＝90°，∠FOB＝90°，∵∠DOF＝65°，∴∠BOD＝∠FOB﹣DOF＝90°﹣65°＝25°，∴∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣25°＝65°，∠AOC＝∠BOD＝25°．答：∠BOE，∠AOC的度數(shù)為65°，25°；（2）∵∠DOF＝2∠DOB，∠FOB＝90°，∴∠DOF+∠DOB＝90°，∴3∠DOB＝90°，∴∠DOB＝30°，∴∠DOF＝∠BOE＝60°，∴∠AOC＝∠BOD＝30°．答：圖中各銳角的度數(shù)為∠DOF＝∠BOE＝60°，∠AOC＝∠BOD＝30°．【點(diǎn)睛】本題考查了垂線、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，解決本題的關(guān)鍵是掌握垂線、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角定義．題組B能力提升練10.如圖，表示點(diǎn)A到BC距離的是（）A．AD的長度 B．AE的長度 C．BE的長度 D．CE的長度【思路點(diǎn)撥】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的概念：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度即為該點(diǎn)到這條直線的距離作答．【解析】解：A．線段AD的長度表示點(diǎn)A到BC的距離，符合題意；B．線段AE的長度表示點(diǎn)A到CE的距離，不符合題意；C．線段的BE長度表示點(diǎn)B到CE的距離，不符合題意；D．線段CE的長度表示點(diǎn)C到AB的距離，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離的定義，能熟記點(diǎn)到直線的距離的定義的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．11.體育課上，老師測(cè)量跳遠(yuǎn)成績的依據(jù)是（）A．平行線間的距離相等 B．兩點(diǎn)之間，線段最短 C．垂線段最短 D．兩點(diǎn)確定一條直線【思路點(diǎn)撥】此題為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，由實(shí)際出發(fā)，老師測(cè)量跳遠(yuǎn)成績的依據(jù)是垂線段最短．【解析】解：體育課上，老師測(cè)量跳遠(yuǎn)成績的依據(jù)是垂線段最短．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查知識(shí)點(diǎn)垂線段最短．12.如圖，三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D，則下列結(jié)論正確的是（）A．點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AB B．AD＞AC C．點(diǎn)A到BC的距離是線段AD的長度 D．AD＜BD【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和垂線段最短即可得到結(jié)論．【解析】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴點(diǎn)C到AB的垂線段是線段AC，故A不符合題意；點(diǎn)A到BC的距離是線段AD的長度，故C符合題意；在Rt△ADC中，AD是直角邊，AC是斜邊，故AD＜AC，故B不符合題意；在Rt△ABD中，AD和BD都是直角邊，故無法判斷AD、BD的大小，故D不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，垂線段最短，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．13.如圖，直線AB和CD相交于O點(diǎn)，OE⊥CD，∠EOF＝142°，∠BOD：∠BOF＝1：3，則∠AOF的度數(shù)為（）A．138° B．128° C．117° D．102°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂直的定義，可得∠DOE的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得∠DOF的度數(shù)，根據(jù)角的倍分關(guān)系，可得∠BOF的度數(shù)，根據(jù)∠BOF與∠AOF是鄰補(bǔ)角，可得答案．【解析】解：∵OE⊥CD，∴∠EOD＝90°，∵∠EOF＝142°，∴∠DOF＝142°﹣90°＝52°．∵∠BOD：∠BOF＝1：3，∴∠BOD＝∠DOF＝26°，∴∠BOF＝∠BOD+∠DOF＝78°，∵∠AOF+∠BOF＝180°，∴∠AOF＝180°﹣∠BOF＝180°﹣78°＝102°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義，角的計(jì)算．解題的關(guān)鍵是掌握垂直的定義，角的計(jì)算方法，先求出∠DOF，再求出∠BOF，最后得出答案．14.如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，∠BOD＝40°，若過點(diǎn)O作OE⊥AB，則∠COE的度數(shù)為（）A．50° B．130° C．50°或90° D．50°或130°【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)垂直定義可得∠AOE＝90°，根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠AOC＝40°，然后可得答案．【解析】解：如圖1，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠BOD＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠EOC＝130°；如圖2，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠BOD＝40°，∴∠AOC＝40°，∴∠EOC＝50°，綜上所述：∠COE的度數(shù)為50°或130°．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂線，關(guān)鍵是正確畫出圖形，分情況討論，不要漏解．15.有以下5個(gè)說法：①兩點(diǎn)之間，線段最短：②相等的角是對(duì)頂角：③互補(bǔ)的兩個(gè)角中必定一個(gè)是銳角一個(gè)鈍角；④兩個(gè)銳角的和一定是銳角：⑤同角或等角的余角相等．其中正確的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角的定義，線段的性質(zhì)，余角和補(bǔ)角的性質(zhì)判斷即可．【解析】解：①兩點(diǎn)之間，線段最短，正確；②相等的角，且兩邊分別互為反向延長線的兩個(gè)角是對(duì)頂角，故②是假命題；③互補(bǔ)的兩個(gè)角可能都是直角，所以互補(bǔ)的兩個(gè)角一定是一個(gè)銳角，另一個(gè)為鈍角是假命題；④兩個(gè)銳角的和不一定是銳角，故④是假命題；⑤同角或等角的余角相等，正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角，鄰補(bǔ)角的定義，線段的性質(zhì)，余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，熟記定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.如圖，AO⊥BO于點(diǎn)O，直線CD經(jīng)過點(diǎn)O，且∠BOD：∠AOC＝2：5，則∠AOD的度數(shù)為30度．【思路點(diǎn)撥】利用余角的定義計(jì)算即可．【解析】解：∵OA⊥OB，∴∠AOD+∠BOD＝90°，設(shè)∠AOD＝x，則∠BOD＝90°﹣x，∵∠AOC+∠AOD＝180°，∴∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣x，∵∠BOD：∠AOC＝2：5，∴（90°﹣x）：（180°﹣x）＝2：5，解得x＝30°，所以∠AOC＝30°，故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查的是平角、余角的定義，解題的關(guān)鍵是找到互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角．17.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，已知∠AOC＝80°，OE把∠BOD分成兩個(gè)角，且∠BOE：∠EOD＝2：3（1）求∠EOB的度數(shù)；（2）過點(diǎn)O作射線OF⊥OE，求∠DOF的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠BOD＝∠AOC，然后根據(jù)比例求解即可；（2）先求出∠DOE，再分OF在∠AOD的內(nèi)部時(shí)，∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE，OF在∠BOC的內(nèi)部時(shí)，∠DOF＝∠DOE+∠EOF進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解析】解：（1）∵∠AOC＝80°，∴∠BOD＝∠AOC＝80°，∵∠BOE：∠EOD＝2：3，∴∠BOE＝80°×＝32°；（2）∠DOE＝∠BOD﹣∠BOE＝80°﹣32°＝48°，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，OF在∠AOD的內(nèi)部時(shí)，∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE＝90°﹣48°，＝42°，OF在∠BOC的內(nèi)部時(shí)，∠DOF＝∠DOE+∠EOF＝90°+48°，＝138°，綜上所述∠DOF＝42°或138°．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角相等的性質(zhì)，角的計(jì)算，熟記概念并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練18．三條直線相交于一點(diǎn)，形成（）對(duì)頂角．A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)【思路點(diǎn)撥】兩條直線相交于一點(diǎn)，形成兩對(duì)對(duì)頂角，把三條直線相交于一點(diǎn)，拆開成三種兩條直線相交于一點(diǎn)的情況，再判斷對(duì)頂角的對(duì)數(shù)．【解析】解：三條直線相交于一點(diǎn)，拆開成三種兩條直線相交于一點(diǎn)的情況，因?yàn)閮蓷l直線相交于一點(diǎn)，形成兩對(duì)對(duì)頂角，所以三條直線相交于一點(diǎn)，有3個(gè)兩對(duì)對(duì)頂角，共6對(duì)對(duì)頂角．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)頂角的定義，注意對(duì)頂角是兩條直線相交而成的四個(gè)角中，沒有公共邊的兩個(gè)角．19.如圖，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝3，BC＝4，則點(diǎn)B到直線AC的距離等于；點(diǎn)C到直線AB的垂線段是線段．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)“從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離．”“從直線外一點(diǎn)作直線的垂線，這一點(diǎn)與垂足之間的線段，叫做垂線段．”填空．【解析】解：根據(jù)垂線段、點(diǎn)到直線距離的定義可知，點(diǎn)B到直線AC的距離等于BC的長度，即為4．點(diǎn)C到直線AB的垂線段是線段CD．故填4，CD．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂線段、點(diǎn)到直線距離的定義．20.已知∠AOB＝110°，∠AOD＝∠AOC，∠BOD＝4∠BOC（∠BOC＜35°），則∠COD的度數(shù)為．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，可以分四種情況畫圖討論計(jì)算．【解析】解：（1）如圖1所示：當(dāng)射線OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，①若射線OD在∠AOC內(nèi)部，設(shè)∠BOC＝α，則∠BOD＝4∠BOC＝4α，∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝3α，∵∠AOD＝∠AOC，∴3α+∠AOD＝3∠AOD，∴∠AOD＝α，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝α+4α＝110°，∴α＝20°，∴∠DOC＝60°②如圖2所示，若射線OD在∠AOC外部，設(shè)∠BOC＝α，則∠BOD＝4α，∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝3α，∵∠AOD＝∠AOC，∴∠AOD＝∠COD＝α，∴∠AOB＝∠BOD﹣∠AOD＝4α﹣α＝α＝110°，∴α＝．∴∠DOC；（2）當(dāng)射線OC在∠AOB外部時(shí)，根據(jù)題意，此時(shí)射線OC靠近射線OB，∵∠BOC＜35°，∠AOD＝∠AOC，∴射線OD的位置也只有兩種可能；①若射線OD在∠AOB內(nèi)部，如圖3所示，∵∠COD＝∠BOC+∠BOD＝5α，設(shè)∠AOD＝β，則∠AOC＝3β，∴3β＝5α+β，∴β＝α，∴∠AOB＝∠BOD+∠AOD＝4α+α＝α＝110°，∴α＝，∴∠DOC＝5α＝；②若射線OD在∠AOB外部，如圖4所示，設(shè)∠BOC＝α，則∠BOD＝4α，∵∠AOB＝110°，∴∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝4α﹣110°，∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝α+110°，∵∠AOD＝∠AOC，∴3（4α﹣110°）＝α+110°解得α＝40°＞35°，此種情況不符合題意，綜上所述：∠COD的度數(shù)為：60°，，．【點(diǎn)睛】本題考查了角的計(jì)算，解決本題的關(guān)鍵是分四種情況討論．比較復(fù)雜，不容易做對(duì)．21.如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，∠AOC＝70°，射線OE把∠BOD分成兩個(gè)角，且∠BOE：∠EOD＝3：4．（1）求∠EOD的度數(shù)．（2）過點(diǎn)O作射線OF⊥OE，求∠DOF的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）設(shè)∠BOE＝3x，則∠EOD＝4x，根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠BOD＝∠AOC再由題意可得3x+4x＝70°，即可算出x的值，即可得出答案；（2）根據(jù)題意可分為兩種情況，①當(dāng)射線OF在射線OA，OD之間，由垂線的性質(zhì)可得∠FOE＝90°，根據(jù)（1）中結(jié)論，由∠DOF＝∠FOE﹣∠DOE即可得出答案；②當(dāng)射線OF在射線OB，OC之間，由垂線的性質(zhì)可得∠FOE＝90°，根據(jù)（1）中結(jié)論，由∠DOF＝∠FOE﹣∠BOE即可得出答案．【解析】解：設(shè)∠BOE＝3x，則∠EOD＝4x，∵∠AOC＝70°，∴∠BOD＝∠AOC＝70°，∵∠BOD＝∠BOE+∠DOE，∴3x+4x＝70°，∴x＝10°，∴∠EOD＝4×10°＝40°；（2）如圖1，∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，∵∠DOE＝40°，∴∠DOF＝∠FOE﹣∠DOE＝90°﹣40°＝50°；如圖2，∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，又∵∠EOD＝40°（已求），∴∠DOF＝∠FOE+∠EOD＝90°+40°＝130°．∴∠DOF的度數(shù)是50°或130°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂線，對(duì)頂角，熟練應(yīng)用垂線，對(duì)頂角的定義進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．22.如圖，點(diǎn)O在直線AB上，∠BOD與∠COD互補(bǔ)，∠BOC＝n∠EOC．（1）若∠AOD＝24°，n＝3，求∠DOE的度數(shù)；（2）若DO⊥OE，求n的值；（3）若n＝4，設(shè)∠AOD＝α，求∠DOE的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示∠DOE的度數(shù)）．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得∠AOD＝∠COD＝24°，即可算出∠AOC的度數(shù)，根據(jù)平角的性質(zhì)可得∠BOC的度數(shù)，由n＝3，即可算出∠EOC的度數(shù)，再根據(jù)∠EOD＝∠COD+∠EOC代入計(jì)算即可得出答案；（2）設(shè)∠AOD＝x，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得∠AOD＝∠COD＝x，即可算出∠AOC的度數(shù)，根據(jù)平角的性質(zhì)可得∠BOC的度數(shù)，根據(jù)垂線的性質(zhì)，可得∠DOE＝90°，即可算出∠COE＝90°﹣∠COD的度數(shù)，由∠BOC＝n∠EOC，代入計(jì)算即可算出n的值；（3）根據(jù)同角的補(bǔ)角相等可得∠AOD＝∠COD＝α，即可算出∠AOC關(guān)于α的表達(dá)式，根據(jù)平角的性質(zhì)可得∠BOC關(guān)于α的表達(dá)式，由n＝4，即可得出∠BOC＝4∠EOC，代入計(jì)算即可得出∠EOC