2024屆廣西賀州市桂梧高級(jí)中學(xué)高三摸底考試數(shù)學(xué)試題

2024屆廣西賀州市桂梧高級(jí)中學(xué)高三摸底考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，則()A． B．C． D．2．各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的值為()A． B．C． D．或3．下列說(shuō)法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．在中，“”是“”成立的必要不充分條件C．“若，則”是真命題D．存在，使得成立4．洛書(shū)，古稱(chēng)龜書(shū)，是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說(shuō)中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽(yáng)數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù)．如圖，若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù)，則其和等于11的概率是（）．A． B． C． D．5．已知若在定義域上恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱(chēng)，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個(gè)面中最大面的面積為（）A． B． C． D．8．若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．9．已知雙曲線（，），以點(diǎn)（）為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（）A． B． C． D．10．設(shè)集合，，則（）．A． B．C． D．11．已知，為兩條不同直線，，，為三個(gè)不同平面，下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則.其中正確命題序號(hào)為()A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形；③函數(shù)的極大值為；④函數(shù)的最小值為．A．①③ B．②④C．②③ D．②③④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_______;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為_(kāi)_______.14．從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素，記為，從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素，記為，則的概率為_(kāi)______．15．已知實(shí)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的值為_(kāi)______.16．在中，角，，所對(duì)的邊分別邊，且，設(shè)角的角平分線交于點(diǎn)，則的值最小時(shí)，___.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）解關(guān)于x的不等式：；（2）若的最小值為M，且，求證：.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意恒成立.19．（12分）已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等式；（2）若函數(shù)的圖象恒在直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．（12分）設(shè)為實(shí)數(shù),已知函數(shù),．（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（2）設(shè)為實(shí)數(shù),若不等式對(duì)任意的及任意的恒成立,求的取值范圍;（3）若函數(shù)（,）有兩個(gè)相異的零點(diǎn),求的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的極值；(Ⅱ)若,且,求證：．22．（10分）在四棱錐的底面中，，，平面，是的中點(diǎn)，且（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）線段上是否存在點(diǎn)，使得，若存在指出點(diǎn)的位置，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運(yùn)算可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】分析：解決該題的關(guān)鍵是求得等比數(shù)列的公比，利用題中所給的條件，建立項(xiàng)之間的關(guān)系，從而得到公比所滿足的等量關(guān)系式，解方程即可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，即，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，所以，而，故選C.點(diǎn)睛：該題應(yīng)用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比，而待求量就是，代入即可得結(jié)果.3、C【解析】

A：否命題既否條件又否結(jié)論，故A錯(cuò).B：由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯(cuò).C：可判斷其逆否命題的真假，C正確.D：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯(cuò).【詳解】解：A：“若，則”的否命題是“若，則”，故A錯(cuò).B：在中，，故“”是“”成立的必要充分條件，故B錯(cuò).C：“若，則”“若，則”，故C正確.D：由冪函數(shù)在遞減，故D錯(cuò).故選：C【點(diǎn)睛】考查判斷命題的真假，是基礎(chǔ)題.4、A【解析】

基本事件總數(shù)，利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個(gè)，由此能求出其和等于11的概率．【詳解】解：從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù)，基本事件總數(shù)，其和等于11包含的基本事件有：，，，，共4個(gè)，其和等于的概率．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

先解不等式，可得出，求出函數(shù)的值域，由題意可知，不等式在定義域上恒成立，可得出關(guān)于的不等式，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】，先解不等式.①當(dāng)時(shí)，由，得，解得，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，由，得.所以，不等式的解集為.下面來(lái)求函數(shù)的值域.當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí).綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)?，由于在定義域上恒成立，則不等式在定義域上恒成立，所以，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，同時(shí)也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.6、C【解析】

將圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，求得圓心為.根據(jù)圓關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱(chēng)，則圓心在漸近線上，.再根據(jù)求解.【詳解】已知圓，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心為.因?yàn)殡p曲線，所以其漸近線方程為，又因?yàn)閳A關(guān)于雙曲線的一條漸近線對(duì)稱(chēng)，則圓心在漸近線上，所以.所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程及對(duì)稱(chēng)性，還有雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.7、B【解析】

根據(jù)三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據(jù)幾何體的各面面積可得最大面的面積．【詳解】解：分析題意可知，如下圖所示，該幾何體為一個(gè)正方體中的三棱錐，最大面的表面邊長(zhǎng)為的等邊三角形，故其面積為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問(wèn)題．8、B【解析】

利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，由此求得.【詳解】依題意，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

求出雙曲線的一條漸近線方程，利用圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，且，則可根據(jù)圓心到漸近線距離為列出方程，求解離心率．【詳解】不妨設(shè)雙曲線的一條漸近線與圓交于，因?yàn)?，所以圓心到的距離為：，即，因?yàn)椋越獾茫蔬xA．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題．對(duì)于離心率求解問(wèn)題，關(guān)鍵是建立關(guān)于的齊次方程，主要有兩個(gè)思考方向，一方面，可以從幾何的角度，結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)以及題目中的幾何關(guān)系建立方程；另一方面，可以從代數(shù)的角度，結(jié)合曲線方程的性質(zhì)以及題目中的代數(shù)的關(guān)系建立方程.10、D【解析】

根據(jù)題意，求出集合A，進(jìn)而求出集合和，分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，則故選：D【點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題目,11、C【解析】

根據(jù)直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)面面平行的性質(zhì)以及判定定理可得，若，，則，故①正確；若，，平面可能相交，故②錯(cuò)誤；若，，則可能平行，故③錯(cuò)誤；由線面垂直的性質(zhì)可得，④正確；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，屬于中檔題.12、D【解析】

因?yàn)椋寓俨徽_；因?yàn)?，所以，，所以，所以函?shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，②正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可．當(dāng)時(shí)，，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，③正確；因?yàn)椋?，所以函?shù)的最小值為，④正確．故選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接計(jì)算得到答案，根據(jù)題意得到，，解得答案.【詳解】，故，當(dāng)時(shí)，，故，解得.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.14、【解析】

先求出隨機(jī)抽取a,b的所有事件數(shù)，再求出滿足的事件數(shù)，根據(jù)古典概型公式求出結(jié)果.【詳解】解：從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素，記為，從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素，記為，則的事件數(shù)為9個(gè)，即為，，，其中滿足的有，，，共有8個(gè)，故的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉出所有事件數(shù).15、【解析】

由虛數(shù)單位的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件列式求得，的值，則答案可求．【詳解】解：由，，，所以，得，．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查虛數(shù)單位的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

根據(jù)題意，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用正弦定理，即可得出.【詳解】因?yàn)?，則，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)椋?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，以及基本不等式求最值，考查計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）分類(lèi)討論求解絕對(duì)值不等式即可；（2）由（1）中所得函數(shù)，求得最小值，再利用均值不等式即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，該不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，該不等式解集為，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，解得，綜上，或，所以不等式的解集為.（2），易得的最小值為1，即因?yàn)?，，，所以，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用分類(lèi)討論求解絕對(duì)值不等式，涉及利用均值不等式證明不等式，屬綜合中檔題.18、（1）（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）因?yàn)?，可得，即可求得答案；?）要證對(duì)任意恒成立，即證對(duì)任意恒成立.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，即可求得答案.【詳解】（1），，，函數(shù)在處的切線方程為.（2）要證對(duì)任意恒成立.即證對(duì)任意恒成立.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求曲線的切線方程和求證不等式恒成立問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握由導(dǎo)數(shù)求切線方程的解法和根據(jù)導(dǎo)數(shù)求證不等式恒成立的方法，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于難題.19、（1）（2）【解析】

（1）零點(diǎn)分段法分，，三種情況討論即可；（2）只需找到的最小值即可.【詳解】（1）由.若時(shí)，，解得；若時(shí)，，解得；若時(shí)，，解得；故不等式的解集為.（2）由，有，得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法以及不等式恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.20、（1）函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為．（2）（3）【解析】

（1）據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出;（2）分離參數(shù),可得對(duì)任意的及任意的恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出的范圍;（3）先求導(dǎo),再分類(lèi)討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性以及最值得關(guān)系即可求出的范圍【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí),因?yàn)?當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),．所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為．（2）由,得,由于,所以對(duì)任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以對(duì)任意的恒成立,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以．（3）由,得,其中．①若時(shí),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;②若時(shí),令,得．由第（2）小題,知：當(dāng)時(shí),,所以,所以,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)椋?存在,使得,即,①且當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,所以．②設(shè),,則,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,由于,所以當(dāng)時(shí),．所以,②式中的,又由①式,得．由第（1）小題可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,即．當(dāng)時(shí),（?。┯捎?所以得,又因?yàn)?且函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)的圖象在上不間斷,所以函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn);（ⅱ）由于,令,設(shè),,由于時(shí),,,所以設(shè),即．由①式,得,當(dāng)時(shí),,且,同理可得函數(shù)在上也恰有一個(gè)零點(diǎn)．綜上,．【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求不等式恒成立問(wèn)題,以及考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是綜合性較強(qiáng)的題.21、(Ⅰ)極大值為：，無(wú)極小值；(Ⅱ)見(jiàn)解析.【解析】

(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)的極值；(Ⅱ)得到,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明，即證,令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【詳解】(Ⅰ)的定義域?yàn)榍伊?，得；令，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值(Ⅱ)，，即由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減且，則要證，即證，即證，即證即證由于，即，即證令則恒成立在遞增在恒成立【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，考查不等式的證明，考查運(yùn)算求解能力及化歸與轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問(wèn)題，屬于難題．2