2024年秋季新人教版7年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教學(xué)課件 第5章 1元1次方程 綜合專題

人教版七年級(jí)(上)第五章

一元一次方程綜合專題講解專題目錄專題一：方程中與字母系數(shù)有關(guān)的問(wèn)題專題二：一元一次方程的應(yīng)用專題一：方程中與字母系數(shù)有關(guān)的問(wèn)題類型一：利用方程定義求字母參數(shù)例1

已知關(guān)于

x

的方程

ax－1＝x為一元一次方程，則

|a－1|的值一定為

(

)A.正數(shù)

B.非負(fù)數(shù)C.零

D.不能確定A判斷方程是否為一元一次方程:③

等號(hào)兩邊都是整式.②

未知數(shù)的次數(shù)是1；①

只含有一個(gè)未知數(shù)；1.已知關(guān)于

x

的方程

(m2－4)x2－(m＋2)x－3＝0

是一元一次方程，則

m＝_______·22.(武漢武昌區(qū)期末)若

(a－1)x|a|－3＝0

是關(guān)于

x

的一元一次方程，求

－4a2－2[a－(2a2－a＋2)]

的值.解：根據(jù)一元一次方程的定義，得原式＝4－4a＝4－4×(－1)＝4＋4＝8.把

a＝－1代入，＝4－4a.＝－4a2－2a＋4a2－2a＋4＝－4a2－2(a－2a2＋a－2)－4a2－2[a－(2a2－a＋2)]得

a－1≠0

且|a|＝1，解得

a＝－1.類型二：利用方程的解求字母參數(shù)例2若關(guān)于

x

的方程

2x－(2a－1)x＋3＝0

的解是

x＝3，則

a＝

(

)

A.

1

B.

0

C.

2

D.

3CD例3已知關(guān)于

x

的方程

5x＋3k＝21

與

5x＋3＝0

的解相同，則

k

的值是

(

)A.－10

B.7

C.

－9

D.

83.已知關(guān)于

x

的方程

的解比方程

5(x－1)－1＝4(x－1)＋1

的解大

2

.(1)

求第二個(gè)方程的解；(2)

求

m

的值.解：(1)

將第二個(gè)方程去括號(hào)，得

5x－5－1＝4x－4＋1解得

x＝3.(2)

將

x＝3＋2＝5

代入第一個(gè)方程得解得

m＝22.類型三：求含字母參數(shù)的方程的解例4

(漢陽(yáng)區(qū)期末)已知關(guān)于

x

的一元一次方程

x＋1＝2x＋a

的解為

x＝－1，那么關(guān)于

y

的一元一次方程

(y＋2)＋1＝2(y＋2)＋a的解是

(

)

A.

y

＝－1

B.

y

＝1

C.

y

＝－3 D.

y

＝3C4.已知|n＋2|＋(5m－3)2＝0，求關(guān)于

x

的方程10mx＋4＝3x＋n的解.解：由|n＋2|＋(5m－3)2＝0得n＋2＝0，5m－3＝0.n＝－2，將

m、n

的值代入方程得6x＋4＝3x－2.解方程得x＝－2.故關(guān)于

x

的方程的解是

x＝－2.專題二：一元一次方程的應(yīng)用類型一：行程問(wèn)題ABC甲乙路程＝速度×?xí)r間①

相遇問(wèn)題：s甲＋s乙＝s總v甲t甲＋v甲t甲＝s總ABC甲乙②

追及問(wèn)題：s甲－s乙＝s差(v甲－v乙)t追＝s差例1

(甘肅)《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，其譯文為：今有野鴨從南海起飛，7

天到北海；大雁從北海起飛，9

天到南海，現(xiàn)野鴨從南海、大雁從北海同時(shí)起飛，問(wèn)經(jīng)過(guò)多少天相遇

?

設(shè)經(jīng)過(guò)

x

天相遇，根據(jù)題意可列方程為

(

)A例2

(連云港)元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十一日，問(wèn)良馬幾何日追及之?其大意是：快馬每天行

240

里，慢馬每天行

150

里，慢馬先行

12

天，快馬幾天可追上慢馬?若設(shè)快馬

x

天可追上慢馬，由題意得

(

)

C.240(x－12)＝150xD

D.240x＝150(x＋12)例3(荔灣區(qū)期末)爸爸與小明在足球場(chǎng)上進(jìn)行耐力訓(xùn)練，他們?cè)?00米的環(huán)形跑道上從同一起點(diǎn)沿同一方向同時(shí)出發(fā)進(jìn)行繞圈跑，爸爸跑完一圈時(shí)，小明才跑完半圈，4分鐘時(shí)爸爸第一次追上小明.請(qǐng)問(wèn)：(1)小明與爸爸的速度各是多少？(2)再過(guò)多少分鐘后，爸爸在第二次追上小明前兩人相距50米？(1)如右圖所示，分析：s爸爸－s小明＝跑道長(zhǎng)度解：(1)

設(shè)小明的速度為

x

米/分鐘，則爸爸的速度為

2x

米/分鐘，答：小明的速度為

100

米/分，爸爸的速度為

200

米/分.則

2x＝200.解得：x＝100，根據(jù)題意得

4(2x－x)＝400，開(kāi)始(2)第二次相遇前：分析：①

s爸爸－s小明＝50.②

s爸爸－s小明＝350.50m第一次相遇50m第一次相遇(2)

設(shè)再經(jīng)過(guò)

y

分鐘后，爸爸在第二次追上小明前兩人相距

50

米.①爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多跑了50

米，根據(jù)題意得

200y－100y＝50，解得

y＝0.5.50m第一次相遇答：再過(guò)0.5或3.5分鐘后，爸爸在第二次追上小明前兩人相距

50

米.②爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，爸爸又比小明多跑了

350

米.根據(jù)題意得

200y－100y＝350，解得

y＝3.5.50m第一次相遇例4

為推進(jìn)我國(guó)“碳達(dá)峰、碳中和”雙碳目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，各地大力推廣分布式光伏發(fā)電項(xiàng)目.某公司計(jì)劃建設(shè)一座光伏發(fā)電站，若由甲工程隊(duì)單獨(dú)施工需要3周，每周耗資8萬(wàn)元，若由乙工程隊(duì)單獨(dú)施工需要6周，每周耗資3萬(wàn)元.(1)若甲、乙兩工程隊(duì)合作施工，需要幾周完成？共耗資多少萬(wàn)元？

(2)若需要最遲4周完成工程，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，既要保證按時(shí)完成任務(wù)，又要最大限度節(jié)省資金并求出該種方案需要耗資多少萬(wàn)元.(時(shí)間按整周計(jì)算)類型二：工程問(wèn)題解：(1)設(shè)甲、乙兩工程隊(duì)合作施工，需要

x

周完成.根據(jù)題意，得解得

x＝2.

所以(8＋3)×2＝22(萬(wàn)元).

答：甲、乙兩工程隊(duì)合作施工，需要

2

周完成，共耗資22萬(wàn)元.(2)

設(shè)先由甲、乙兩工程隊(duì)合作施工

y周，剩下的由乙單獨(dú)完成.根據(jù)題意，得解得

y＝1.所以

4－1＝3.所以

(8＋3)×1＋3×3＝20(萬(wàn)元).答：先由甲和乙兩工程隊(duì)合作施工1

周，剩下的由乙單獨(dú)施工3周最節(jié)省資金.例5(吉林)《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出

5

錢，還缺

45

錢；每人出

7

錢，還缺

3

錢，問(wèn)合伙人數(shù)是多少?為解決此問(wèn)題，設(shè)合伙人數(shù)為

x

人，可列方程為_(kāi)________________.5x＋45＝7x＋3類型三：盈虧問(wèn)題（補(bǔ)充）1.(南充)《孫子算經(jīng)》記載：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何?”(尺、寸是長(zhǎng)度單位，1尺＝10寸).意思是，現(xiàn)有一根長(zhǎng)木，不知道其長(zhǎng)短，用一根繩子去度量長(zhǎng)木，繩子還剩余

4.5

尺；將繩子對(duì)折再度量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余

1

尺.問(wèn)長(zhǎng)木長(zhǎng)多少?設(shè)長(zhǎng)木長(zhǎng)為

x

尺，則可列方程為

(

)A例6國(guó)家速滑館“冰絲帶”，是某年北京會(huì)北京賽區(qū)標(biāo)志性、唯一新建的冰上競(jìng)賽場(chǎng)館.某大學(xué)冬奧志愿者負(fù)責(zé)本場(chǎng)館的對(duì)外聯(lián)絡(luò)和文化展示服務(wù)工作，負(fù)責(zé)對(duì)外聯(lián)絡(luò)服務(wù)工作的有

17

人，負(fù)責(zé)文化展示服務(wù)工作的有

10

人，現(xiàn)在另調(diào)

20

人去兩服務(wù)處支援，使得在對(duì)外聯(lián)絡(luò)服務(wù)工作的人數(shù)比在文化展示服務(wù)的人數(shù)的

2

倍多

5

人，問(wèn)應(yīng)調(diào)往對(duì)外聯(lián)絡(luò)、文化展示兩服務(wù)處各多少人?類型四：調(diào)配、配套問(wèn)題（補(bǔ)充）答：應(yīng)調(diào)往對(duì)外聯(lián)絡(luò)服務(wù)處

16

人，文化展示服務(wù)處

4

人.解：設(shè)應(yīng)調(diào)往對(duì)外聯(lián)絡(luò)服務(wù)處

x

人，則調(diào)往文化展示服務(wù)處

(20－x)

人.依題意，得

17＋x－2[10＋(20－x

)]＝5，解得

x＝16，20－x＝20－16＝4.2.某校正在開(kāi)展“創(chuàng)建和諧校園”活動(dòng)，七年級(jí)(2)班

45

名同學(xué)被平均分配到甲、乙、丙三處打掃環(huán)境衛(wèi)生.甲處的同學(xué)最先完成打掃任務(wù)，班級(jí)衛(wèi)生委員根據(jù)實(shí)際情況及時(shí)把甲處的同學(xué)全部調(diào)到乙丙兩處支援，調(diào)動(dòng)后乙處的人數(shù)恰好為丙處人數(shù)的

1.5

倍，問(wèn)從甲處調(diào)往乙、丙兩處各多少人?答：從甲處調(diào)往乙處

12

人，從甲處調(diào)往丙處

3

人.解：45÷3＝15(人).設(shè)從甲處調(diào)往乙處

x

人，則從甲處調(diào)往丙處

(15－x)

人.依題意，得：15＋x＝1.5×(15＋15－x)，解得：x＝12.所以

15－x＝3.例7

(河南洛陽(yáng))一個(gè)三位數(shù)，百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)大

1，個(gè)位上的數(shù)字比十位上數(shù)字的

3

倍少2.若將三個(gè)數(shù)字順序顛倒后，所得的三位數(shù)與原三位數(shù)的和是

1

171，求這個(gè)三位數(shù).等量關(guān)系：所得三位數(shù)＋原三位數(shù)＝1171.類型五：數(shù)字問(wèn)題解：設(shè)十位上的數(shù)字為

x，則個(gè)位上的數(shù)字為(3x－2)，百位上的數(shù)字為(x

+1).答：原三位數(shù)是

437.解得：x＝3.100(x+1)+10x+(3x－2)+100(3x－2)+10x+(x+1)＝1171.3.(湖北)將連續(xù)的偶數(shù)

2，4，6，8，…，排成如圖，并用一個(gè)十字形框架框住其中的五個(gè)數(shù)，請(qǐng)你仔細(xì)觀察十字形框架中的數(shù)字的規(guī)律，并回答下列問(wèn)題.(1)十字框中的五個(gè)數(shù)的和等于_____；80(2)若將十字框上下左右移動(dòng)，可框柱另外的五個(gè)數(shù)，設(shè)中間的數(shù)為

x

，用代數(shù)式表示十字框中的五個(gè)數(shù)的和是_____；(3)框中的五個(gè)數(shù)字之和能等于2024嗎，為什么？

解：(2)設(shè)中間的數(shù)為

x，則它的其他四個(gè)數(shù)分別表示為

x－10、x－2、x＋2、x＋10.他們的和為：x＋x－10＋x－2＋x＋2＋x＋10＝5x.(3)因?yàn)榭蛑械奈鍌€(gè)數(shù)字之和是5的倍數(shù)，

所以框中的五個(gè)數(shù)字之和能不能等于2024.例8

北京速滑項(xiàng)目某場(chǎng)次門票價(jià)格為

110

元/人，若購(gòu)買團(tuán)體票有如下優(yōu)惠：購(gòu)票人數(shù)不超過(guò)50人的部分超過(guò)50人，但不超過(guò)100人的部分超過(guò)100人的部分優(yōu)惠方案無(wú)優(yōu)惠每張票價(jià)優(yōu)惠20%每張票價(jià)優(yōu)惠50%類型五：分段收費(fèi)問(wèn)題某中學(xué)初一年級(jí)一班和二班全體學(xué)生準(zhǔn)備去觀看該場(chǎng)比賽，如果兩個(gè)班作為一個(gè)團(tuán)體去購(gòu)票，則應(yīng)付票款

10

175

元.請(qǐng)列一元一次方程解決下列問(wèn)題：(1)

已知兩個(gè)班總?cè)藬?shù)超過(guò)

100

人，求兩個(gè)班總?cè)藬?shù):(2)

在(1)條件下，若一班人數(shù)多于

50

人，二班人數(shù)不足

50人，但至少

25

人，如果兩個(gè)班單獨(dú)購(gòu)票，一共應(yīng)付票款11

374

元，求兩個(gè)班分別有多少人?解：(1)

設(shè)兩個(gè)班的總?cè)藬?shù)為

x

人，依題意得：50×110＋50×110×(1－20%)＋(x－100)×110×(1－50%)

＝10

175，解得：x

＝105.答：兩個(gè)班總?cè)藬?shù)為

105

人.答：一班有

58

人，二班有

47

人.(2)

設(shè)一班有

y

人，則二班有(105－y)人，依題意得：50×110＋(y－50)×110×(1－20%)＋(105－

y)×110＝11

374，解得：y＝58，則二班的人數(shù)為：105－58＝47(人)，4.某地出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：上車后，車輛行駛不超過(guò)

3

千米時(shí)，收費(fèi)為起步價(jià)10元；超過(guò)

3

千米的部分收費(fèi)為3元/千米.如果小明某次乘坐出租車后，支付了

24.1元車費(fèi)，那么他上車后車輛行駛了多少千米?解：設(shè)他上車后車輛行駛了

x

千米.根據(jù)題意得10＋3(x－3)＝24.1x

＝7.7答：他上車后車輛行駛了7.7千米.例9

(泰山區(qū)期末)某校七年級(jí)準(zhǔn)備觀看電影，由各班班長(zhǎng)負(fù)責(zé)買票，每班人數(shù)都多于

40

人，票價(jià)每張

30

元，一班班長(zhǎng)問(wèn)售票員買團(tuán)體票是否可以優(yōu)惠，售票員說(shuō)：40

人以上的團(tuán)體票有兩種優(yōu)惠方案可選擇：方案一：全體人員可打

8

折；方案二：若打

9

折，有

5

人可以免票.(1)

若二班有

42

名學(xué)生，則他該選擇哪個(gè)方案?(2)

一班班長(zhǎng)思考一會(huì)兒說(shuō)，我們班無(wú)論選擇哪種方案要付的錢是一樣的，你知道一班有多少人嗎?類型六：方案選擇問(wèn)題解：(1)由題意可得，答：一班有

45

人.解得

x＝45.x×30×0.8＝(x－5)×0.9×30.(2)設(shè)一班有

x

人，根據(jù)題意得，所以若二班有

42

名學(xué)生，則他該選選擇方案二.因?yàn)?/p>

1008

＞

999.方案二的花費(fèi)為：(42－5)×0.9×30＝999(元)