湖南省岳陽(yáng)市平江縣啟明中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年湖南省岳陽(yáng)市平江縣啟明中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列函數(shù)不是反比例函數(shù)的是(

)A. B. C. D.2.一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是(

)A.2，1，5 B.2，1， C.2，0， D.2，0，53.若反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，則m的取值范圍是(

)A. B. C. D.4.已知點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為(

)A. B. C. D.5.關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，則方程的另一個(gè)根為(

)A. B.2 C.3 D.6.如圖，在中，若，，，則BC的長(zhǎng)是(

)A.

B.

C.

D.

7.已知線段m、n、p、q的長(zhǎng)度滿足等式，將它改寫成比例式的形式，錯(cuò)誤的是(

)A. B. C. D.8.如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定∽的是(

)

A. B. C. D.9.等腰三角形三邊長(zhǎng)分別為a，b，3，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程的兩根，則m的值為(

)A.15 B.16 C.15或17 D.16或1710.如圖，某校園藝社計(jì)劃利用已有的一堵長(zhǎng)為10米的墻，用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形園子.設(shè)米，米，則下列說(shuō)法正確的是(

)

A.y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為

B.自變量x的取值范圍為，且y隨x的增大而減小

C.當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為

D.當(dāng)AB為3米時(shí)，BC長(zhǎng)為6米二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。11.若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則______.12.如圖，點(diǎn)A、B是雙曲線上的點(diǎn)，分別經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)向x軸、y軸作垂線段，若，則______.

13.關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是______.14.已知a，b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于______.15.黃金分割大量應(yīng)用于藝術(shù)、大自然中，例如樹葉的葉脈也蘊(yùn)含著黃金分割.如圖，B為AC的黃金分割點(diǎn)，如果AC的長(zhǎng)度為10cm，則AB的長(zhǎng)度為_(kāi)_____結(jié)果保留根號(hào)

16.如圖所示，在中，，于D，下列四個(gè)結(jié)論中：

①；

②；

③CD：：AB；

④

其中正確的有______.

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.本小題6分

選擇合適的方法解方程：

；

18.本小題6分

“瞎轉(zhuǎn)圈”現(xiàn)象指人蒙上眼睛后行走的是一個(gè)圓圈，圓圈的半徑是其兩腿邁出的步長(zhǎng)差的反比例函數(shù).

求R與d的函數(shù)表達(dá)式；

若小王蒙上眼睛走出的圓圈半徑不小于35m，求他兩腿邁出的步長(zhǎng)差d的范圍.19.本小題6分

已知：，且，求a、b、c的值.20.本小題8分

如圖，在中，D為BC上一點(diǎn)，

求證：；

若，，求CD的長(zhǎng)．21.本小題8分

已知關(guān)于x的一元二次方程

若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

若方程的兩個(gè)根分別為、，且滿足，求實(shí)數(shù)m的值.22.本小題9分

某商場(chǎng)在2023年國(guó)慶期間進(jìn)行促銷活動(dòng)，A商品每件進(jìn)價(jià)120元，國(guó)慶前售價(jià)為每件200元.

國(guó)慶期間經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后，售價(jià)為每件162元，求國(guó)慶期間商場(chǎng)對(duì)A商品平均每次降價(jià)的百分率是多少？

國(guó)慶節(jié)過(guò)后，該商場(chǎng)A商品還有庫(kù)存，為了盡快銷售完這批商品，再次降價(jià)，當(dāng)售價(jià)降為每件150元時(shí)，每天可售出10件.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，A商品售價(jià)每降低1元，每天可以多賣出2件.商場(chǎng)某天銷售A商品共獲利500元，則這天該商場(chǎng)A商品在每件150元的基礎(chǔ)上降價(jià)多少元？23.本小題9分

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB：與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為

求反比例函數(shù)的解析式；

點(diǎn)P為反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

直接寫出不等式的解集.24.本小題10分

把代數(shù)式通過(guò)配方等手段得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式的非負(fù)性這一性質(zhì)解決問(wèn)題，這種解題方法叫做配方法.配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問(wèn)題等都有廣泛的應(yīng)用.如利用配方法求最小值，求的最小值.

解：，因?yàn)椴徽揳取何值，總是非負(fù)數(shù)，即

所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值

根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：

在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：______；

將變形為的形式，并求出的最小值；

若代數(shù)式，試求N的最大值；25.本小題10分

如圖，在中，，如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng).已知點(diǎn)P的速度為，點(diǎn)Q的速度為連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為單位：

求AC，BC的長(zhǎng)；

當(dāng)t為何值時(shí)，的面積為面積的；

當(dāng)t為何值時(shí)，與相似.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、是正比例函數(shù)，故本選項(xiàng)正確；

C、是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、是反比例函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選

根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的定義進(jìn)行解答即可．

本題考查的是反比例函數(shù)的定義，熟知判斷一個(gè)函數(shù)是否是反比例函數(shù)，首先看看兩個(gè)變量是否具有反比例關(guān)系，然后根據(jù)反比例函數(shù)的意義去判斷是解答此題的關(guān)鍵．2.【答案】B

【解析】解：一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別是2，1，，

故選：

根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的定義即可得出結(jié)果.

本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：是常數(shù)且，在一般形式中叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng).其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng).3.【答案】D

【解析】解：反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，

，

解得：

故選：

直接利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出的取值范圍，進(jìn)而得出答案．

此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確掌握反比例函數(shù)的圖象分布特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．4.【答案】C

【解析】【分析】

此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握：對(duì)于反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限內(nèi)變化，且在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，圖象的兩個(gè)分支在第二、四象限內(nèi)變化，且在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大．首先根據(jù)得函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限內(nèi)，且在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，然后根據(jù)點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)得，點(diǎn)A，B在第二象限內(nèi)，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，進(jìn)而可判定，，，最后再根據(jù)得，據(jù)此即可得出答案．

【解答】

解：，，

函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限內(nèi)，且在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，

又點(diǎn)，，，

點(diǎn)A，B在第二象限內(nèi)，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，

，，，

又，

，

5.【答案】B

【解析】解：解法一：由題意設(shè)一元二次方程的兩根分別為，，

，

，

方程的另一個(gè)根為

故選：

解法二：一元二次方程的一個(gè)根是，

，

，

，

解得：，，

方程的另一個(gè)根為

故選：

解法一：利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，算出即可．

解法二：將代入方程中求得m的值，再解一元二次方程即可．

本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解，解題關(guān)鍵是熟知根與系數(shù)的關(guān)系：，是一元二次方程的兩根時(shí)，，6.【答案】A

【解析】解：，

∽，

，

，，

故選：

根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是對(duì)應(yīng)邊寫正確．7.【答案】D

【解析】解：A、兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母pn得，與原式相等，正確，不符合題意；

B、兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母mq得，與原式相等，正確，不符合題意；

C、兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母qm得，與原式相等，正確，不符合題意；

D、兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母qn得，與原式不相等，錯(cuò)誤，符合題意；

故選：

根據(jù)比例的基本性質(zhì)：兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)項(xiàng)之積．對(duì)選項(xiàng)一一分析，選出正確答案．

本題主要考查了比例線段等知識(shí)點(diǎn)，解答此題應(yīng)把每一個(gè)選項(xiàng)乘以最簡(jiǎn)公分母后與原式相比較看是否相同．8.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了相似三角形的判定，先求出兩三角形的一對(duì)相等的角是確定其他條件的關(guān)鍵，注意掌握相似三角形的幾種判定方法．

【解答】解：，

，

A.添加，可用兩角法判定∽，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.添加，可用兩角法判定∽，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.添加，可用兩邊及其夾角法判定∽，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.添加，不能判定∽，故本選項(xiàng)正確；

故選：9.【答案】D

【解析】解：當(dāng)3為底邊長(zhǎng)時(shí)，則，，

，4，3能圍成三角形，

，

解得：；

當(dāng)3為腰長(zhǎng)時(shí)，a、b中有一個(gè)為3，則另一個(gè)為5，

，3，3能圍成三角形，

，

解得：；

的值為17或16，

故選：

分兩種情況討論，①當(dāng)?shù)资?時(shí)，②當(dāng)腰為4時(shí)，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的三邊關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)，分3為底邊長(zhǎng)或腰長(zhǎng)兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵10.【答案】B

【解析】解：根據(jù)矩形園子的面積為可知，

，

故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

由題意可知自變量x的取值范圍為，且y隨x的增大而減小，

故B選項(xiàng)正確，符合題意；

當(dāng)時(shí)，，解得，

又，

的取值范圍為，

故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

當(dāng)AB為3米時(shí)，米，

故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；

故選：

根據(jù)可得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，利用反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得出答案．

本題考查反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11.【答案】15

【解析】解：把點(diǎn)代入反比例函數(shù)得：

故答案為：15

將點(diǎn)代入反比例函數(shù)即可．

考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，用待定系數(shù)法可直接求出k的值；比較簡(jiǎn)單．12.【答案】4

【解析】【分析】

欲求，只要求出過(guò)A、B兩點(diǎn)向x軸、y軸作垂線段求出與坐標(biāo)軸所形成的矩形的面積即可，結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可求出

本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，熟知在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值是解答此題的關(guān)鍵．

【解答】

解：點(diǎn)A、B是雙曲線上的點(diǎn)，分別經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)向x軸、y軸作垂線段，

則根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)得：

，，

故答案為：13.【答案】且

【解析】解：關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，

，

解得：且

故答案為：且

根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．

本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式，找出關(guān)于k的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．14.【答案】7

【解析】解：，b是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

，，

，

故答案為：

根據(jù)一元二次方程的兩個(gè)根為a、b得出，，求出，再代入求出答案即可．

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，能求出和是解此題的關(guān)鍵，注意：如果，是一元二次方程的兩個(gè)根，那么，15.【答案】

【解析】解：為AC的黃金分割點(diǎn)，，，

，

故答案為：

根據(jù)黃金分割的定義可知：，由此求解即可．

本題考查了黃金分割的定義；熟記黃金比是解題的關(guān)鍵．16.【答案】②③④

【解析】解：，

，

，

，

，

，故①錯(cuò)誤，②正確；

，

∽，

，即CD：：AB，故③正確；

，，

∽，

，

，故④正確．

故正確的結(jié)論有：②③④．

故答案為：②③④．

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，，進(jìn)而可得，以此可判斷①②；易證∽，利用相似三角形的性質(zhì)即可判斷③；證明∽，利用相似三角形的性質(zhì)即可判斷④．

本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無(wú)論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．17.【答案】解：，

則，

，；

，

，

則或，

解得，

【解析】利用直接開(kāi)平方法求解即可；

利用十字相乘法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可

本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法．18.【答案】解：設(shè)R與d的函數(shù)表達(dá)式為，

把代入上式得，，

，

與d的函數(shù)表達(dá)式為

當(dāng)時(shí)，即，

，又，

兩腿邁出的步長(zhǎng)之差d的范圍是

【解析】設(shè)R與d的函數(shù)表達(dá)式為，把代入，求出k即可得到解析式．

當(dāng)時(shí)，即，求出d的范圍即可．

本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，正確理解題意，結(jié)合圖形求出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．19.【答案】解：，

設(shè)，，，

，

，

，

，，，

，，

【解析】由，可設(shè)，，，代入求得k的值，即可得到a、b、c的值．

此題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)題意設(shè)，，是解題的關(guān)鍵．20.【答案】證明：，，

；

，

，

，，

，

，

【解析】根據(jù)相似三角形的判定解答即可；

由相似三角形的性質(zhì)可得，可求BC的長(zhǎng)，從而可得到CD的值．

本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，由角相等得到三角形相似是解決本題的關(guān)鍵．21.【答案】解：方程有實(shí)數(shù)根，

，

解得：

方程的兩個(gè)根分別為、，

，，

，

，即，

解得：，舍去，

實(shí)數(shù)m的值為

【解析】根據(jù)方程有實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出結(jié)論；

利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出、，結(jié)合即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之即可得出m的值．

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，熟練掌握當(dāng)一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí)根的判別式是解題的關(guān)鍵．22.【答案】解：設(shè)國(guó)慶期間商場(chǎng)對(duì)A商品平均每次降價(jià)的百分率為x，

根據(jù)題意得：，

解得：，不符合題意，舍去

答：國(guó)慶期間商場(chǎng)對(duì)A商品平均每次降價(jià)的百分率是；

設(shè)這天該商場(chǎng)A商品在每件150元的基礎(chǔ)上降價(jià)y元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，日銷售量為件，

根據(jù)題意得：，

整理得：，

解得：，，

又要盡快銷售完這批商品，

答：這天該商場(chǎng)A商品在每件150元的基礎(chǔ)上降價(jià)20元．

【解析】設(shè)國(guó)慶期間商場(chǎng)對(duì)A商品平均每次降價(jià)的百分率為x，利用國(guó)慶期間A商品的售價(jià)=國(guó)慶前A商品的售價(jià)國(guó)慶期間商場(chǎng)對(duì)A商品平均每次降價(jià)的百分率，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；

設(shè)這天該商場(chǎng)A商品在每件150元的基礎(chǔ)上降價(jià)y元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，日銷售量為件，利用總利潤(rùn)=每件的銷售利潤(rùn)日銷售量，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．23.【答案】解：因?yàn)辄c(diǎn)B在直線AB上，

所以，

解得

故點(diǎn)B坐標(biāo)為

將點(diǎn)B坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式得，

，

所以反比例函數(shù)的解析式為

將反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式聯(lián)立方程