數(shù)學(xué)分析18.4隱函數(shù)定理及其應(yīng)用之條件極值

第十八章隱函數(shù)定理及其定理4條件極值引例：設(shè)計(jì)一個(gè)容量為V,而表面積最小的長(zhǎng)方形開口水箱.設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z，則表面積為S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy.即面積函數(shù)的自變量要符合定義域的要求(x>0,y>0,z>0)，且須滿足xyz=V,這類附有約束條件的極值問題稱為條件極值問題.一般形式：在條件組φk(x1,…,xn)=0,k=1,2,…,m(m<n)的限制下，求目標(biāo)函數(shù)y=(x1,…,xn)的極值.解法：1、消元法，如引例中的條件可化為z=,代入函數(shù)S得：F(x,y)=S(x,y,)=2V(+)+xy.由(Fx,Fy)=(0,0)求得穩(wěn)定點(diǎn)(,),可求得最小面積S=3.2、拉格朗日乘數(shù)法：欲求函數(shù)z=f(x,y)的極值，限制條件為C:φ(x,y)=0.把C看作(x,y)的曲線方程，設(shè)C上一點(diǎn)P0(x0,y0)為f滿足條件的極值點(diǎn),且在點(diǎn)P0的某鄰域上φ(x,y)=0能惟一確定可微的隱函數(shù)y=g(x),則x=x0必為z=f(x,g(x))=h(x)的極值點(diǎn).由f在P0可微,g在x0可微,可得h’(x0)=fx(x0,y0)+fy(x0,y0)g’(x0)=0,且當(dāng)φ滿足隱函數(shù)定理?xiàng)l件時(shí)，有g(shù)’(x0)=-,代入上式得：fx(P0)φy(P0)-fy(P0)φx(P0)=0.幾何意義上，上式表示曲面z=f(x,y)的等高線f(x,y)=f(P0)與曲線C在P0有公共切線.從而存在某常數(shù)λ0,使得在P0處滿足：，引入輔助變量λ和輔助函數(shù)L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y),可得,即將條件極值問題轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)的無條件極值問題，稱為拉格朗日乘數(shù)法，其中函數(shù)L稱為拉格朗日函數(shù)，輔助變量λ稱為拉格朗日乘數(shù).注：一般條件極值問題的拉格朗日函數(shù)：(λ1,…,λn為拉格朗日乘數(shù))L(x1,…,xn,λ1,…,λm)=f(x1,…,xn)+.定理18.6：設(shè)在條件φk(x1,…,xn)=0,k=1,2,…,m(m<n)的限制下，求函數(shù)y=(x1,…,xn)的極值問題,其中f與φk在區(qū)域D上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù).若D的內(nèi)點(diǎn)P0(,…,)是上述問題的極值點(diǎn)，且雅可比矩陣的秩為m,則存在m個(gè)常數(shù),…,,使得(,…,,,…,)為拉格朗日函數(shù)L(x1,…,xn,λ1,…,λn)=f(x1,…,xn)+的穩(wěn)定點(diǎn),即(,…,,,…,)為n+m個(gè)方程的解.例1：用拉格朗日乘數(shù)法重新求本節(jié)開頭提到的水箱設(shè)計(jì)問題.解：所求問題的拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)(x,y,z,λ)=2(xz+yz)+xy+λ(V-xyz)，列方程組得：，解得：x=y=2z=,λ=.∴水箱表面積最小值為：=3.注：由例1可得不等式：2(xz+yz)+xy≥3=,x>0,y>0,z>0.例2：拋物面x2+y2=z被平面x+y+z=1截成一個(gè)橢圓.求這個(gè)橢圓到原點(diǎn)的最長(zhǎng)與最短距離.解：實(shí)質(zhì)為求f(x,y,z)=x2+y2+z2在條件x2+y2-z=0及x+y+z-1=0下的最值.令L(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2-z)+μ(x+y+z-1),列方程組有：,解得：λ=-3±,μ=-7±,x=y=,z=2?.又f(,,z=2?)=9?5.∴橢圓到原點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為,最短距離.例3：求f(x,y,z)=xyz在條件++=,(x>0,y>0,z>0,r>0)下的極小值，并證明不等式3(++)-1≤,其中a,b,c為任意正實(shí)數(shù).解：令L(x,y,z,λ)=xyz+λ(++-),列方程組有：，解得：x=y=z=3r,λ=(3r)4.把++=看作隱函數(shù)z=z(x,y)(滿足隱函數(shù)定理?xiàng)l件)，記F(x,y)=xyz(x,y)=f(x,y,z),它是f與z=z(x,y)的復(fù)合函數(shù).則有zx=-/=-,zy=-;Fx=yz+xyzx=yz-,Fy=xz-;Fxx=yzx+yzx+xyzxx=,Fyy=,Fxy=z+yzy+xzx+xyzxy=z--+;∵(FxxFyy-Fxy2)(3r,3r,3r)=27r2>0,∴f(3r,3r,3r)=(3r)3極小值,也是最小值.即有xyz≥(3r)3,(x>0,y>0,z>0,且++=).令x=a,y=b,x=c,則r=(++)-1,即有abc≥[3(++)-1]3,或3(++)-1≤(a>0,b>0,c>0).習(xí)題1、應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，求下列函數(shù)的條件極值：(1)f(x,y)=x2+y2,若x+y-1=0；(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t,若xyzt=c4(其中x,y,z,t>0,c>0)；(3)f(x,y,z)=xyz,若x2+y2+z2=1,x+y+z=0.解：(1)令L(x,y,λ)=x2+y2+λ(x+y-1),列方程組：,解得：λ=-1,x=y=.又當(dāng)x→∞,y→∞時(shí)，f→∞，∴函數(shù)在唯一的穩(wěn)定點(diǎn)取得極小值f(,)=.(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t,若xyzt=c4(其中x,y,z,t>0,c>0)；令L(x,y,z,t,λ)=x+y+z+t+λ(xyzt-c4),有,解得：x=y=z=t=c.又當(dāng)n個(gè)正數(shù)的積一定時(shí)，其和必有最小值，∴函數(shù)在唯一的穩(wěn)定點(diǎn)取得最小值也是極小值f(c,c,c,c)=4c.(3)令L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x2+y2+z2-1)+μ(x+y+z),有,解得：,,,,,.∵f在有界集{(x,y,y)|x2+y2+z2=1,x+y+z=0}上連續(xù)，∴存在最值.又f(,,-)=f(-,-,)=f(,-,)=-,f(-,-,)=f(,-,-)=f(-,,-)=,∴f在(,,-),(-,-,),(,-,)取得極小值-,在(-,-,),(,-,-),(-,,-)取得極大值.2、(1)求表面積一定而體積最大的長(zhǎng)方體；(2)求體積一定而表面積最小的長(zhǎng)方體.解：設(shè)長(zhǎng)、寬、高分別為x,y,z，則體積V=xyz,表面積S=2xy+2yz+2zx,(1)記L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xy+2yz+2zx-S),有,解得：x=y=z=,∴體積最大的長(zhǎng)方體必在唯一的穩(wěn)定點(diǎn)取得，即表面積一定的長(zhǎng)方體為正方體時(shí)，V==最大.(2)記L(x,y,z,λ)=2xy+2yz+2zx+λ(xyz-V),有,解得：x=y=z=,∴表面積最小的長(zhǎng)方體必在唯一的穩(wěn)定點(diǎn)取得，即體積一定的長(zhǎng)方體為正方體時(shí)，表面積S=6最小.3、求空間一點(diǎn)(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距離.解：由題意，相當(dāng)于求f(x,y,z)=d2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2在條件Ax+By+Cz+D=0下的最小值問題.由幾何學(xué)知，空間定點(diǎn)到平面的最短距離存在，可設(shè)L(x,y,z,λ)=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2+λ(Ax+By+Cz+D),列方程組有,解得：，∴f的最小值必在惟一的穩(wěn)定點(diǎn)取得，即d==為所求最短距離.4、證明：在n個(gè)正數(shù)的和為定值條件x1+x2+…+xn=a下，這n個(gè)正數(shù)的乘積x1x2…xn的最大值為.并由此結(jié)果推出n個(gè)正數(shù)的幾何平均值不大于算術(shù)平均值≤.證：記L(x1,x2,…,xn,λ)=x1x2…xn+λ(x1+x2+…+xn-a),(x1,x2,…,xn>0)列方程組有：,解得：x1=x2=…=xn=.∴最大值必在惟一的穩(wěn)定點(diǎn)取得，即f(,,…,)=最大.又x1x2…xn≤，∴≤=.5、設(shè)a1,a2,…,an為已知的n個(gè)正數(shù)，求f(x1,x2,…,xn)=在限制條件x12+x22+…+xn2≤1下的最大值.解：記x12+x22+…+xn2=r≤1,L(x1,x2,…,xn,λ)=+λ(x12+x22+…+xn2-r),列方程組有：,解得：xi=,(i=1,2,…,n)可知，當(dāng)xi=,且r=1時(shí)，取得最大值fM=.6、求函數(shù)f(x1,x2,…,xn)=x12+x22+…+xn2在條件=1(ak>0,k=1,2,…,n)下的最小值.解：記L(x1,x2,…,xn,λ)=x12+x22+…+xn2