專題06 相似三角形重要模型-母子型（共邊共角模型）（原卷版）

專題06相似三角形重要模型-母子型（共邊共角模型）相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解模型內(nèi)涵，靈活運用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點講解相似三角形的“母子”模型。母子相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點和另外一個不是公共的頂點，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；例1．（2023春·遼寧阜新·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，為邊上的一點，且，若的面積為4，那么的面積為．例2．（2022·山東九年級課時練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，已知AD＝，那么BC＝．例3.（2022.山西九年級期中）如圖，點C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB＝120°，求證：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC?BD．例4．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊上的高．(1)證明：；(2)若，求的長．

例5．（2023·成都市·九年級專題練習(xí)）中，，，點E為的中點，連接并延長交于點F，且有，過F點作于點H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長．例6．（2022·陜西漢中·九年級期末）如圖，是等腰直角斜邊的中線，以點為頂點的繞點旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別與、的延長線相交，交點分別為點、，與交于點，與交于點，且．(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，求證：；(3)如圖2，過作于點，若，，求的長．課后專項訓(xùn)練1、如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分別為D、E兩點，則圖中與△ABC相似的三角形有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．（2022·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，作直線分別交，于點．以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連結(jié)．則下列說法錯誤的是（

）A．B．C．D．3．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，中，點在邊上，且，若，，則的長為．4．（2020·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，，垂足為，為的中點，與交于點，則的長為．5．（2023?姑蘇區(qū)校級二模）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，M，N分別是AB、AC的中點，延長BC至點D，使CD＝BD，連結(jié)DM、DN、MN．若AB＝10，則DN＝．6．（2022·河北邢臺·?？级＃┤鐖D1，在中，，，，點為邊上一點，則點與點的最短距離為______．如圖2，連接，作，使得，交于，則當(dāng)時，的長為______．7．（2023春·福建福州·八年級?？计谀┮阎喝鐖D，在中，為邊的中點，連接，，，求的長．

8.在中，，垂足為，求的長9.如圖，在△ABC中，AB=AC，點P、D分別是BC、AC邊上的點，且∠APD=∠B,（1）求證：AC?CD=CP?BP；（2）若AB=10，BC=12，當(dāng)PD∥AB時，求BP的長．10．（2022·陜西西安·九年級期中）如圖，在中，，為邊上的高，的平分線分別交、于點，．(1)求證：∽；(2)若，，求的面積．

11．（2022·四川宜賓·九年級期末）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長．12．（2022·山東·八年級專題練習(xí)）定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是的邊AB的中點，，，試判斷點D是不是的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在中，，，，若點D是的“理想點”，求CD的長．13．（2023?沈陽模擬）如圖，△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，點E、F分別在AB，AC上，且∠EDF＝90°．（1）求證：△DEF∽△ABC；（2）當(dāng)AE＝AF時，求BE的長為；（3）若△AEF與△ABC相似，則BE的長為；（4）EF的最小值為；（5）若△CDF是等腰三角形，則BE的長為．14．（2022?武漢模擬）在△ABC中，CD是中線，E，F(xiàn)分別為BC，AC上的一點，連接EF交CD于點P．（1）如圖1，若F為AC的中點，CE＝2BE，求的值；（2）如圖2，設(shè)＝m，＝n（n＜），若m+n＝4mn，求證：PD＝PC；（3）如圖3，F(xiàn)為AC的中點，連接AE交CD于點Q，若QD＝QP，直接寫出的值．15．（2022·浙江臺州·統(tǒng)考一模）已知在?ABCD，AB＝2，BC＝10，∠B＝60°，E是邊BC上的動點，以AE為一邊作?AEFG，且使得直線FG經(jīng)過點D．（1）如圖1，EF與AD相交于H，若H是EF的中點．①求證：GF＝DF；②若GF⊥CD，求GD的長；（2）如圖2，設(shè)AE＝x，AG＝y(tǒng)，當(dāng)點E在邊BC上移動時，始終保持∠AEF＝45°，①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)y的取值范圍；②連接ED，當(dāng)△AED是直角三角形時，求DF的值．16．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖1，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點落在的點處，與相交于點，與相交于點，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)若點，，在同一條直線上，如圖2，求的值．（溫