專題09 相似三角形中的基本模型-對角互補模型（原卷版）

專題09相似三角形中的基本模型--對角互補模型相似三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了。本專題就對角互補模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。模型1.對角互補模型（相似模型）【模型解讀】四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對的角互補。該題型常用到的輔助線主要是頂定點向兩邊做垂線，從而證明兩個三角形相似.【常見模型及結(jié)論】1）對角互補相似1 條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，點O是AB的中點，輔助線：過點O作OD⊥AC，垂足為D，過點O作OH⊥BC，垂足為H，結(jié)論：①△ODE～△OHF；②（思路提示：）.2）對角互補相似 2條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.輔助線：作法1：如圖1，過點C作CF⊥OA，垂足為F，過點C作CG⊥OB，垂足為G；結(jié)論：①△ECG～△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）輔助線：作法2：如圖2，過點C作CF⊥OC，交OB于F；結(jié)論：①△CFE～△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，）3）對角互補相似3 條件：已知如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°輔助線：過點D作DE⊥BA，垂足為E，過點D作DF⊥BC，垂足為F；結(jié)論：①△DAE～△DCF；②ABCD四點共圓。例1．（2022·黑龍江·雞西九年級期末）如圖，在Rt中，，，，在Rt中，，點在上，交于點，交于點，當時，的長為（

）A．4 B．6 C． D．例2．（2023·上海普陀·九年級?？计谥校┤鐖D，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過點C作射線CP∥AB，D為射線CP上一點，E在邊BC上（不與B、C重合）且∠DAE＝45°，AC與DE交于點O．(1)求證：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求證：CD2＝CO?CA．例3．（2022·江西·吉水縣九年級期末）【問題情境】如圖①，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，將一個用足夠長的細鐵絲制作的直角的頂點D放在直角三角板ABC的斜邊AB上，再將該直角繞點D旋轉(zhuǎn)，并使其兩邊分別與三角板的AC邊、BC邊交于P、Q兩點．【問題探究】（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，①如圖2，當AD＝BD時，線段DP、DQ的數(shù)量關(guān)系是（）A、DP＜DQ

B、DP＝DQ

C、DP＞DQ

D、無法確定②如圖3，當AD＝2BD時，線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．③根據(jù)你對①、②的探究結(jié)果，試寫出當AD＝nBD時，DP、DQ滿足的數(shù)量關(guān)系為（直接寫出結(jié)論，不必證明）。（2）當AD＝BD時，若AB＝20，連接PQ，設△DPQ的面積為S，在旋轉(zhuǎn)過程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，請說明理由．例4．（2023年廣東中考一模數(shù)學試題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形的對角線相交于點O，在正方形繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點M，邊與邊交于點N．證明：；（2）【類比遷移】如圖2，矩形的對角線相交于點O，且，，在矩形，繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點M，邊與邊交于點N．若，求的長；（3）【拓展應用】如圖3，四邊形和四邊形都是平行四邊形，且，，，是直角三角形，在繞點O旋轉(zhuǎn)的過程中，邊與邊交于點M，邊與邊交于點N．當與重疊部分的面積是的面積的時，請直接寫出的長．例5．（2021·遼寧朝陽·中考真題）如圖，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點O在線段AB上（點O不與點A，B重合），且OB＝kOA，點M是AC延長線上的一點，作射線OM，將射線OM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，交射線CB于點N．（1）如圖1，當k＝1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，當k＞1時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并證明；（3）點P在射線BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，請直接寫出的值（用含k的式子表示）．例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如圖1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC邊上中點D，連接AD，點E為AB邊上一點，連接DE，作DF⊥DE交AC于點F，求證：BE＝AF；（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC邊上中點D，連接AD，點E為BA延長線上一點，AE＝1，連接DE，作DF⊥DE交AC延長線于點F，求AF的長；（3）類比遷移：如圖3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC邊上中點D，連接AD，點E為射線BA上一點（不與點A、點B重合），連接DE，將射線DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)30°交射線CA于點F，當AE＝4AF時，求AF的長．課后專項訓練1．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）在菱形中，，對角線交于點，分別是邊上的點，且與交于點，則的值為．

2．（2023·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習）如圖，已知△ABC是等邊三角形,D是AC的中點,F為AB邊上一點,且AF=2BF,E為射線BC上一點,∠EDF=120°,則=.3．（2023青島版九年級月考）如圖，在中，，，直角的頂點在上，、分別交、于點、，繞點任意旋轉(zhuǎn)．當時，的值為；當時，為．（用含的式子表示）4．（2023山東中考模擬）如圖，矩形ABCD中，∠ACB=30°，將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC，BD的交點處，以點P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB，BC所在的直線相交，交點分別為E，F(xiàn)．（1）當PE⊥AB，PF⊥BC時，如圖1，則的值為；（2）現(xiàn)將三角板繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜60°）角，如圖2，求的值；（3）在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2時，如圖3，的值是否變化？證明你的結(jié)論．5．（2022秋·河南鶴壁·九年級統(tǒng)考期末）已知在中，，，，為邊上的一點．過點作射線，分別交邊、于點、．（1）當為的中點，且、時，如圖1，_______：（2）若為的中點，將繞點旋轉(zhuǎn)到圖2位置時，_______；（3）若改變點到圖3的位置，且時，求的值．6．（2023·浙江臺州·九年級?？茧A段練習）【問題情境】如圖①，在中，，，點為中點，連結(jié)，點為的延長線上一點，過點且垂直于的直線交的延長線于點.易知BE與CF的數(shù)量關(guān)系．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖②，在中，，，點為中點，連結(jié)，點為的延長線上一點，過點且垂直于的直線交的延長線于點.【問題情境】中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．【類比遷移】如圖③，在等邊中，，點是中點，點是射線上一點（不與點、重合），將射線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)交于點．當時，______．7．（2022·山西·中考真題）綜合與實踐問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，N，猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；問題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當時，求線段CN的長；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當AM=AN時，直接寫出線段AN的長．8．（2023廣東中考模擬）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”（1）概念理解：請你根據(jù)上述定義舉一個等鄰角四邊形的例子；（2）問題探究；如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線恰好交于AB邊上一點P，連結(jié)AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）應用拓展；如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時，求出它的面積．9．（2023年成都市中考模擬）（1）如圖，RtABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC中點，E、F分別為AB、AC上的動點，且∠EDF＝90°．求證：DE＝DF；（2）如圖2，RtABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，AD⊥BC，∠EDF＝90°．①求證：DF?DA＝DB?DE；②求EF的最小值．10．（2023海南省中考數(shù)學仿真試卷）如圖①，AD為等腰直角△ABC的高，點A和點C分別在正方形DEFG的邊DG和DE上，連接BG、AE．（1）求證：BG=AE；（2）將正方形DEFG繞點D旋轉(zhuǎn)，當線段EG經(jīng)過點A時，（如圖②所示）①求證：BG⊥GE；②設DG與AB交于點M，若AG=6，AE=8，求DM的長．11．（2023·江蘇無錫·九年級校考階段練習）如圖，在中，點，，分別在，，邊上，，．（1）求證：；（2）設，若，求線段的長．12．（2023浙江省紹興市九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，點D為邊BC的中點，點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且∠PDQ=90°．（1）當DP⊥AB時，求CQ的長；（2）當BP=2，求CQ的長．13．（2023·湖北·九年級專題練習）如圖，四邊形是矩形，點P是對角線AC上一動點（不與A、C重合），連接，過點P作，交于點E，已知，．設的長為x．(1)___________；當時，求的值；(2)試探究：是否是定值?若是，請求出這個值；若不是，請說明理由；(3)當是等腰三角形時，請求出的值．14．（2023秋·山西忻州·九年級校考期末）綜合與實踐問題情境：在學習了三角形的相似后，同學們開始了對不同三角形中的相似模型的探究．猜想推理：（1）如圖1，在等邊中，D為邊上一點，E為邊上一點，，，，則______．

問題解決：（2）如圖2，是等邊三角形，D是的中點，射線，分別交，于點E，F(xiàn)，且，求證：．（3）如圖3，，，，D是的中點，射線，分別交，于點E，F(xiàn)，且，求的值．1