專題04 相似三角形重要模型之一線三等角模型（解析版）

專題04相似三角形重要模型之一線三等角模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問題就信心更足了．本專題就一線三等角模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.一線三等角模型（相似模型）【模型解讀與圖示】“一線三等角”型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的“一對角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個(gè)三角形的另外一對角也相等，從而得到兩個(gè)三角形相似．1）一線三等角模型（同側(cè)型）（銳角型）（直角型）（鈍角型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED.2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點(diǎn)型：條件：如圖1，若C為AB的中點(diǎn)，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·重慶渝北·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)．將沿翻折，點(diǎn)正好落在線段上的點(diǎn)處，使得．若，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由是等邊三角形，＝＝＝60°，由沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)AD＝x，CD=DF＝，由BE=2，BC＝，可得CE＝，可證，利用性質(zhì)，即，解方程即可【詳解】解：∵是等邊三角形，∴＝＝＝60°，∵沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，∴，∴＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，∵AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)＝x，＝DF＝，∵BE=2，BC＝，∴CE＝，∵＝，＝60°，∴＝120°，＝120°，∴＝，∵＝，∴，∴，即，解得：，使等式有意義，∴＝，故選擇：A．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．例2．（2023·黑龍江綏化·校聯(lián)考三模）如圖，已知正方形，為的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接將沿折疊得，延長交于點(diǎn)，現(xiàn)在有如下五個(gè)結(jié)論：①一定是直角三角形；②；③當(dāng)與重合時(shí)，有；④平分正方形的面積；⑤，則正確的有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】如圖1中，證明，，可得，可得，，可得①②正確，如圖2中，當(dāng)M與C重合時(shí)，設(shè)．則，證明，可得，即，可得，可得③正確，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，顯然直線不平分正方形的面積，可得④錯(cuò)誤，如圖1中，于H，，同理可得：，可得，結(jié)合，可得⑤正確．【詳解】解：如圖1中，

∵四邊形是正方形，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，由翻折可知：，，，∵，，，∴，∴，∵，∴，故①②正確，如圖2中，當(dāng)M與C重合時(shí)，設(shè)．則，

∵，∴，∴，∴，∴，即，可得，∴，∴，故③正確，如圖3中，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時(shí)，顯然直線不平分正方形的面積，故④錯(cuò)誤，如圖1中，∵于H，，同理可得：，∴，∴，∵，∴．故⑤正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．例3．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）[問題背景]（1）如圖1，是等腰直角三角形，，直線過點(diǎn)，，，垂足分別為，．求證：；[嘗試應(yīng)用]（2）如圖2，，，，，三點(diǎn)共線，，，，．求的長；[拓展創(chuàng)新]（3）如圖3，在中，，點(diǎn)，分別在，上，，，若，直接寫出的值為．【答案】（1）見解析；（2）；（3）5【分析】（1）由“”可證；（2）延長，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，由（1）可知：，可得，，由直角三角形的性質(zhì)可求解；（3）通過證明，可求，通過證明，可求，即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴；（2）如圖2，延長，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，由（1）可知：，∴，，∵，，∴，∴，，∴，∴，，∴，∴；（3）如圖3，過點(diǎn)作，交的延長線于，延長交于，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，∵，∴設(shè)，，∴，由（1）可知：，∴，，∵，，，∴，∴，，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形是本題的關(guān)鍵．例4．（2022?廣東中考模擬）（1）模型探究：如圖1，、、分別為三邊、、上的點(diǎn)，且，與相似嗎？請說明理由.（2）模型應(yīng)用：為等邊三角形，其邊長為，為邊上一點(diǎn)，為射線上一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在射線上的點(diǎn)處，且.①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求的值；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在線段的延長線上時(shí)，求與的周長之比.【答案】（1），見解析；（2）①；②與的周長之比為.【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，即可證明；（2）①設(shè)，，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)與折疊可知，，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，即可證明，故，再根據(jù)比例關(guān)系求出的值；②同理可證，得，得，再得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】解（1），理由：，在中，，，，，，，；（2）①設(shè)，，是等邊三角形，，，由折疊知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，，；②設(shè)，，是等邊三角形，，，由折疊知，，，，在中，，，，，，，，，，，，，，..與的周長之比為.【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等邊三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì).例5．（2022·山西晉中·一模）閱讀材料：我們知道：一條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，過另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別向該直線作垂線，即可得三垂直模型”如圖①，在中，，，分別過、向經(jīng)過點(diǎn)直線作垂線，垂足分別為、，我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．（1）探究問題：如果，其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；．請你說明理由．（2）學(xué)以致用：如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點(diǎn)，且兩直線夾角為，且，請你求出直線的解析式．（3）拓展應(yīng)用：如圖④，在矩形中，，，點(diǎn)為邊上—個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)在矩形外部時(shí)，連接，．若為直角三角形時(shí)，請你探究并直接寫出的長．

【答案】（1）理由見解析；（2）；（3）長為3或．【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到，然后利用AA定理判定三角形相似；（2）過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，分別過、作軸，軸，由（1）得，從而得到，然后結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出，，從而確定N點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（3）分兩種情形討論：①如圖1中，當(dāng)∠PDC=90°時(shí)．②如圖2中，當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設(shè)BE=x．分別求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴又∵∴∴∵．∴（2）如圖，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，分別過、作軸，軸由（1）得

∴∵坐標(biāo)

∴，∵

∴解得：，

∴設(shè)直線表達(dá)式為，代入，得，解得，∴直線表達(dá)式為（3）解：①如圖1中，當(dāng)∠PDC=90°時(shí)，∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠PDC=180°，∴A、D、P共線，∵EA=EP，∠AEP=90°，∴∠EAP=45°，∵∠BAD=90°，∴∠BAE=45°，∵∠B=90°∴∠BAE=∠BEA=45°，∴BE=AB=3．②如圖2中，當(dāng)∠DPC=90°時(shí)，作PF⊥BC于F，PH⊥CD于H，設(shè)BE=x，∵∠AEB+∠PEF=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠PEF，在△ABE和△EFP中，∴△ABE≌△EFP，∴EF=AB=3，PF=HC=BE=x，∴CF=3-（5-x）=x-2，∵∠DPH+∠CPH=90°，∠CPH+∠PCH=90°，∴∠DPH=∠PCH，∵∠DHP=∠PHC，∴△PHD∽△CHP，∴PH2=DH?CH，∴（x-2）2=x（3-x），∴x=或（舍棄），∴BE=，綜上所述，當(dāng)△PDC是直角三角形時(shí)，BE的值為3或．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．例6．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）在中，，，點(diǎn)在所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作（、、按逆時(shí)針方向）．（1）如圖，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，交于．①求證：；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長；（2）如圖，若點(diǎn)在的延長線上運(yùn)動(dòng)，的反向延長線與的延長線相交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，求出線段的長度；若不存在，請簡要說明理由；（3）若點(diǎn)在的反向延長線上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點(diǎn)的位置；若不存在，請簡要說明理由．【答案】（1）①見解析，②2或或1；（2）存在，2；（3）不存在，見解析【分析】（1）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，再證，根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分，和三種情況討論，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解；（2）先證得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角的性質(zhì)定理，進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）①證明：∵，，∴．∴．又∵，∴．∴；②解：分三種情況：（i）當(dāng)，時(shí)，得到，點(diǎn)分別與重合，∴．（ii）當(dāng)時(shí)，在△ABD和△DCE中，，∴，∴，∵BC=，∴，∴；（iii）當(dāng)時(shí)，有，∴，AD=CD，AE=CE=DE，∴．綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的長為2，或1．（2）解：存在．∵，∴．∵，∴．∴，∴，∴，當(dāng)，．（3）解：不存在．理由如下：如圖，∵和不重合，∴，又，，∴≠．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，分情況討論是解答本題的關(guān)鍵．例7．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學(xué)?？计谀┤鐖D，矩形中，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn).

(1)設(shè)，的余切值為，求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若存在點(diǎn)，使得、與四邊形的面積比是，試求矩形的面積；(3)對（2）中求出的矩形，聯(lián)結(jié)，當(dāng)?shù)拈L為多少時(shí)，是等腰三角形？【答案】(1)(2)(3)或或1【分析】（1）根據(jù)已知條件矩形和，得出，，從而求出，再根據(jù)求出結(jié)果；（2）假設(shè)存在，由題意、與四邊形的面積比是，可得，設(shè)，證，根據(jù)三角形的相似比，從而求解；（3）過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，判斷是等腰三角形，要分類討論，①；②；③，根據(jù)三角形相似進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：，，，，∵在矩形中，，∴，則，；（2）：四邊形的面積比是，，，設(shè)，則，∵，，，且，，，解得，，∴；（3）①時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，則，，延長交于點(diǎn)，

，，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；②時(shí)，則，，，，則，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；③時(shí)，則點(diǎn)在的垂直平分線上，故為中點(diǎn)．，，，∴，，，即，∴，解得，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，綜上：的長度為或或1．【點(diǎn)睛】此題難度比較大，主要考查矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)及等腰三角形的判定，考查知識(shí)點(diǎn)比較多，綜合性比較強(qiáng)，另外要注意輔助線的作法．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)E、F分別在矩形的邊上，且，若，則的長為（

）

A．12 B．13 C．14 D．15【答案】A【分析】證明，根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可求得．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，證明相似三角形是本題的關(guān)鍵．2．（2023·河北滄州·校考二模）如圖，在中，，，點(diǎn)D是線段上的一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)B作，分別交、于點(diǎn)E、F，與過點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G，連接，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則C．當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，D．若，則【答案】D【分析】由，可確定A項(xiàng)正確；由可得，進(jìn)而由確定點(diǎn)F為的三等分點(diǎn)，可確定B項(xiàng)正確；當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，得到為圓的直徑，因?yàn)椋鶕?jù)垂徑定理得到，故C項(xiàng)正確；因?yàn)镈為的三等分點(diǎn)，即，可得，由此確定D項(xiàng)錯(cuò)誤．【詳解】解：依題意可得，∴，∴，又，∴．故A項(xiàng)正確；如圖，∵，，∴．在與中，，∴，∴，又∵，∴；∵為等腰直角三角形，∴；∴；∵，∴，∴，∴．故B項(xiàng)正確；當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，∴是B、C、F、D四點(diǎn)所在圓的直徑，∵，∴，∴，故C項(xiàng)正確；∵，，，∴，∴，，∴，∴；∴．故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形中相似三角形與全等三角形的應(yīng)用，有一定的難度．對每一個(gè)結(jié)論，需要仔細(xì)分析，嚴(yán)格論證；注意各結(jié)論之間并非彼此孤立，而是往往存在邏輯關(guān)聯(lián)關(guān)系，需要善加利用．3．（2023秋·山東聊城·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在正方形中，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，，則下列結(jié)論中正確的結(jié)論有（

）①；②；③；④圖中有3對相似三角形．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由題中條件可得，進(jìn)而得出對應(yīng)線段成比例，進(jìn)而又可得出，即可得出題中結(jié)論．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，故①正確；由可得，的正切值相同，，，，，，，，故②正確；，，，與不全等，故③錯(cuò)誤；由以上證得，，，故④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，其中又涉及正方形的一些性質(zhì)問題，能夠熟練掌握這些定理是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·安徽六安·八年級統(tǒng)考期中）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小穎發(fā)現(xiàn)：將三角板的直角頂點(diǎn)放在長方形紙片的邊上移動(dòng)，恰好存在兩直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)，情形（如圖）．如果，，則的長應(yīng)為（

）

A．1或9 B．2或8 C．3或7 D．4或6【答案】B【分析】根據(jù)得出，再根據(jù)長方形的性質(zhì)證得，，從而得到，最后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出的長．【詳解】解：由題意知，，四邊形為長方形，，，，，，，，設(shè)，則，，整理得，，解得，，，即的長應(yīng)為2或8，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．5．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點(diǎn)G，若，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)題意證明，，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，，又，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級統(tǒng)考期末）如圖．是等邊三角形，點(diǎn)D，E分別為邊，上的點(diǎn)，，若，，則的長為．

【答案】或【分析】根據(jù)是等邊三角形，得到，，推出，得到，得到，然后代入數(shù)值求得結(jié)果．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，，∴，∴，∴，即，解得：或，經(jīng)檢驗(yàn)：或是原方程的解，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，注意數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用．7．（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)為時(shí)，最大．【答案】/【分析】在中，，則，當(dāng)增加時(shí)，也增加，因?yàn)椋谷∽畲笾?，所以取最小值，然后證明，利用二次函數(shù)求得的最小值即可．【詳解】設(shè)，∵矩形中，，∴，∴,∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即，整理得：，∵，∴當(dāng)時(shí)，y取最小值，∵中，，∴，∴要使取最大值，即最大時(shí)，y應(yīng)取最小值，∴，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次函的最值、三角形相似的判定和性質(zhì)、正切函數(shù)的性質(zhì)，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．8．（2023春·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D，在等邊中，，，E，F(xiàn)分別為邊，上的點(diǎn)，將沿所在直線翻折，點(diǎn)A落在邊上的G點(diǎn)，得到三角形，則的面積為．

【答案】【分析】過點(diǎn)G作于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作于點(diǎn)N，由已知條件及翻折的性質(zhì)可知，可得，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可求出x值，即可得，，證明，則，可得和，在中，可得，利用三角形面積公式直接求的面積即為的面積．【詳解】解：過點(diǎn)G作于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作于點(diǎn)N．

∵為等邊三角形，，，∴，，，由翻折可知，，，在中，，，∴，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，，解得，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得，∴，在中，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換（折疊問題）、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．9．（2023·山西·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，，，則CD的長為______．【答案】5【分析】在CD上取點(diǎn)F，使，證明，求解再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得到答案.【詳解】解：在CD上取點(diǎn)F，使，，，由，，，，且，，，∽，，，，又，，∽，，又，，或舍去，經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，．故答案為：5．本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，分式方程與一元二次方程的解法，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.10．（2023·安徽·九年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________【答案】【分析】根據(jù)題意證明，列出比例式即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式【詳解】解：∠A=∠D=120°，∠BEF=120°，AB=6、AD=4，AE=x、DF=y，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，函數(shù)解析式，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．11．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，且．已知．

(1)證明：．(2)求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意得出，，則，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·安徽阜陽·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)、分別是、邊上的點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，，當(dāng)時(shí)，求的長．

【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再由三角形外角的性質(zhì)可得，即可求證；（2）根據(jù)，可得，再由，可得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴且，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，即，∵，∴，∴，即，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習(xí)）如圖，梯形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，射線交的延長線于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，求的長．

【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件得出，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得，證明，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出比例式，代入數(shù)據(jù)，即可求解．【詳解】（1）證明：∵梯形中，，∴，又∵∴∴，∴∴∴即；（2）解：∵∴∵∴，∴則∵∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．（2023秋·吉林長春·九年級校考階段練習(xí)）如圖，是矩形的邊上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，，，．(1)求證：∽．(2)計(jì)算點(diǎn)到直線的距離為______．

【答案】(1)詳見解析(2)【分析】（1）證明兩個(gè)角對應(yīng)相等；（2）點(diǎn)到直線的距離就是線段的長度，由相似三角形對應(yīng)邊成比例求解即可；【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，∴，，∴，∴，∽，（2）解：∵∽，∴，即?！喙蚀鸢笧椋海军c(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證得∽是解題的關(guān)鍵15．（2023春·上海普陀·八年級統(tǒng)考期末）在梯形中，，，，，點(diǎn)E是射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），聯(lián)結(jié)，過點(diǎn)E作交射線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)．設(shè)．(1)求的長；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)如果是以為腰的等腰三角形，求的長．

【答案】(1)6(2)(3)或【分析】（1）過點(diǎn)作，可得四邊形為矩形，利用勾股定理求出的長即可；（2）證明，列出比例式進(jìn)行求解即可；（3）分點(diǎn)在線段上和在線段的延長線上，兩種情況進(jìn)行討論求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作與點(diǎn)，

∵，，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為矩形，∴，，∴，在中，，∴（2）∵，∴，，∵，，，∴，∴，∴，∴，即：，整理，得：，∵點(diǎn)E在線段上，∴，∴；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，①當(dāng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)作與點(diǎn)，則：，

由（1）知，，∴，由（2）知：，當(dāng)時(shí)：或，即：或；②當(dāng)時(shí)，∵，∴此種情況不存在；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí)：如圖，

則：，同法（2）可得：，即：，整理，得：，∵是以為腰的等腰三角形，則：，在中：，在中：，在中：，整理，得：，∵，∴，整理，得：，解得：（負(fù)值已舍掉）；∴，綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查矩形得判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，勾股定理．解題的關(guān)鍵是讀懂題意，正確的作圖，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解．16．（2023秋·四川達(dá)州·九年級?？茧A段練習(xí)）問題提出：如圖（1），是菱形邊上一點(diǎn)，是等腰三角形，，交于點(diǎn)，探究與的數(shù)量關(guān)系．

問題探究：(1)先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)時(shí)，直接寫出的大小；(2)再探究一般情形，如圖（1），求與的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：(3)將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)時(shí)，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）延長過點(diǎn)F作，證明即可得出結(jié)論．（2）在上截取，使，連接，證明，通過邊和角的關(guān)系即可證明．（3）過點(diǎn)A作的垂線交的延長線于點(diǎn)，設(shè)菱形的邊長為，由（2）知，，通過相似求出，即可解出．【詳解】（1）延長過點(diǎn)F作，∵，，∴，在和中∴，∴，，∴，∴，∴．故答案為：．

（2）解：在上截取，使，連接．，，．，．．，．．

（3）解：過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，設(shè)菱形的邊長為，．在中，，．，由（2）知，．．，，，在上截取，使，連接，作于點(diǎn)O．由（2）知，，∴，∵，∴，．∵，∴，∵，∴．．

【點(diǎn)睛】此題考查菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似，解題的關(guān)鍵是熟悉菱形性質(zhì)、三角形全等、三角形相似．17．（2023·四川成都·?？既＃┰诰匦沃?，，．點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，在右側(cè)作，，．

(1)如圖1，若點(diǎn)恰好落在邊上，求的長；(2)如圖2，延長交邊于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的值；(3)連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長．【答案】(1)(2)(3)或【