專題04 平行線中的拐點(diǎn)模型之羊角模型（原卷版）

專題04平行線中的拐點(diǎn)模型之羊角模型平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（羊角模型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：羊角模型圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.【模型證明】在圖1中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB圖1圖2∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.例1．（2023·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，則∠EAB的度數(shù)為．例2．（2023下·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，．求證：．

例3．（2022下·甘肅白銀·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，與分別相交于點(diǎn)B、F，連接．給出下列條件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判斷的條件的個(gè)數(shù)為（）

A．2 B．3 C．4 D．5例4．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，P為下方一點(diǎn)，G，H分別為上的點(diǎn)，，，（，且，均為銳角），與的角平分線交于點(diǎn)F，平分，交直線于點(diǎn)E，下列結(jié)論：①；②；③若，則．其中正確的序號(hào)是（

）．

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③例5．（2023下·福建寧德·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，先畫了兩條平行線、，然后在平行線間畫了一點(diǎn)E，連接，后（如圖①），再拖動(dòng)點(diǎn)E，分別得到如圖②、③、④等圖形．

(1)請(qǐng)你分別寫出圖①至圖④各圖中的、與之間關(guān)系；①______，②______，③______，④______．(2)請(qǐng)寫出圖③證明過程．例6．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，E在邊BC上，過點(diǎn)E作，交AC于點(diǎn)F，若D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接DF、DA，設(shè)，．(1)如圖①，當(dāng)D在線段BE上時(shí)．①若，，則________；②試證明．(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段EC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與、有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)判斷并說明理由．(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與、有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)判斷并說明理由．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·山東東營·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．2．（2023下·廣東深圳·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，，，則（

）

A． B． C． D．3．（2023上·吉林松原·八年級(jí)校聯(lián)考期中）某城市幾條道路的位置關(guān)系如圖所示，道路，道路與的夾角，要求使，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．4．（2023下·湖南永州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線，相交于點(diǎn)，．若，則等于（

）

A． B． C． D．5．（2023上·河南信陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．6．（2023下·江蘇南京·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，，則與一定滿足的關(guān)系是（

）

A． B． C． D．7．（2023下·四川瀘州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在線段的延長(zhǎng)線上，，，，連交于，的余角比大，為線段上一點(diǎn)，連，使，在內(nèi)部有射線，平分．則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．（2023下·重慶合川·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線,的直角頂點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在直線上，若邊的中點(diǎn)在直線上且，則的度數(shù)為．9．（2023下·福建三明·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，與交于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，則度．

10．（2023下·湖南衡陽·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，，則．

11．（2023上·廣東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，平分，平分交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為．

12．（2023下·浙江杭州·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，平分，（1）若，，則；（2）與之間滿足的數(shù)量關(guān)系是．

13．（2023·新疆·七年級(jí)期中）如圖．已知，且，求的度數(shù)．14．（2023上·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，的頂點(diǎn)分別落在直線上，交于點(diǎn)平分，如果，求的度數(shù)．解：因?yàn)椋?/p>

），又因?yàn)椋?/p>

），所以________．因?yàn)槠椒郑ㄒ阎訽_______（

）因?yàn)椋ㄒ阎?，所以________（

）．所以（

）．所以．因?yàn)開_______（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），又因?yàn)椋ㄒ阎?，所以________．15．（2023下·遼寧鞍山·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，點(diǎn)、分別是、上的點(diǎn)，點(diǎn)在、之間，連接、．(1)如圖，若，求的度數(shù)；(2)如圖，若點(diǎn)是下方一點(diǎn)，平分，平分，已知，求的度數(shù)；(3)如圖，若點(diǎn)是上方一點(diǎn)，連接、，且的延長(zhǎng)線平分，平分，，求的度數(shù)．16．（2023下·福建龍巖·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，點(diǎn)M、N分別是、上的點(diǎn)，點(diǎn)在、之間，連接、．（作輔助線提示：過點(diǎn)G、P作平線）(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若點(diǎn)P是下方一點(diǎn)，平分，平分，已知，求的度數(shù)．

17．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐（1）【圖形探究】如圖1，，點(diǎn)、分別在直線、上，連接、，當(dāng)點(diǎn)在直線的左側(cè)時(shí)，、、之間的數(shù)量關(guān)系為________；（提示：可以過點(diǎn)作的平行線）（2）【問題遷移】如圖2，，點(diǎn)在的上方時(shí)，、、之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（3）【聯(lián)想拓展】如圖3所示，在（2）的條件下，已知，的平分線和的平分線交于點(diǎn)，則________（用含有的式子表示）.

18．（2023下·河南焦作·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，已知，C為射線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，連接【發(fā)現(xiàn)】如圖2過點(diǎn)C作（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)；【探究】直接寫出圖1中和之間的數(shù)量關(guān)系：；【拓展】利用【探究】中的結(jié)論完成下列問題．如圖3，為射線上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，在射線上取一點(diǎn)O，過點(diǎn)O作直線，使，平分交于點(diǎn)E，平分交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)C沿著射線方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，的度數(shù)是否會(huì)變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變，請(qǐng)求出這個(gè)不變的值．

19．（2023下·貴州銅仁·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下面的材料，并完成后面提出的問題．(1)已知，如圖1，，請(qǐng)你探究一下與、度數(shù)之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．(2)在圖1中，當(dāng)點(diǎn)向左移動(dòng)到圖2所示的位置時(shí)，與、的度數(shù)之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？請(qǐng)說明理由．(3)在圖1中，當(dāng)點(diǎn)向上移動(dòng)到圖3所示的位置時(shí)，請(qǐng)直接寫出與、度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系．20．（2023下·江西吉安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）求解下列各題(1)如圖（1），，點(diǎn)在外部，若，則____(2)如圖（2），，點(diǎn)在內(nèi)部，則之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(3)