專題10 三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型（原卷版）

專題10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型近年來各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“8”字模型圖1圖28字模型（基礎(chǔ)型）條件：如圖1，AD、BC相交于點(diǎn)O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D例1．（2023·重慶·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，AB和CD相交于點(diǎn)O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D例2．（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數(shù)為．例3．（2023·山東德州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，已知線段相交于點(diǎn)O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．(1)求證：；(2)如圖2，若和的平分線和相交于點(diǎn)P，且與分別相交于點(diǎn)．①若，求的度數(shù)；②若角平分線中角的關(guān)系改為“”，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．例4．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．(1)如圖1，線段，交于點(diǎn)，連接，，判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，平分，為上任意一點(diǎn)，在，上截取，連接，．求證：；(3)如圖3，在中，，為角平分線上異于端點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，求證：．例5．（2023·江蘇連云港·七年級(jí)統(tǒng)考期中）我們將內(nèi)角互為對(duì)頂角的兩個(gè)三角形稱為“對(duì)頂三角形．例如，在圖1中，的內(nèi)角與的內(nèi)角互為對(duì)頂角，則與為對(duì)頂三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知“對(duì)頂三角形”有如下性質(zhì)：．（1）【性質(zhì)理解】如圖2，在“對(duì)頂三角形”與中，，，求證：；（2）【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3，在中，點(diǎn)D、E分別是邊、上的點(diǎn)，，若比大20°，求的度數(shù)；（3）【拓展提高】如圖4，已知，是的角平分線，且和的平分線和相交于點(diǎn)P，設(shè)，求的度數(shù)（用表示）．模型2、“A”字模型結(jié)論：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。例1．（2022秋·廣西北海·八年級(jí)統(tǒng)考期中）按如圖中所給的條件，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．例2．（2023·綿陽市·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，中，，直線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，則（

）．A． B． C． D．例3．（2023秋·廣西·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，的兩邊上各有一點(diǎn)，連接，求證．例4．（2023·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)，直角頂點(diǎn)D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．例5．（2023秋·河南信陽·八年級(jí)校聯(lián)考期末）（1）如圖1，為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則__________；

（2）如圖2，在中，，剪去后成為四邊形，則__________；（3）如圖2，根據(jù)（1）和（2）的求解過程，請(qǐng)歸納與的關(guān)系是______________；（4）若沒有剪去，而是將折成如圖3的形狀，試探究與的關(guān)系，并說明理由．例6．（2022秋·河北邯鄲·八年級(jí)統(tǒng)考期中）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會(huì)取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF=∠A+∠B+∠C；應(yīng)用上面模型解決問題：(1)如圖（2），“五角星”形，求？分析：圖中是“A”型圖，于是，所以=

；(2)如圖（3），“七角星”形，求；(3)如圖（4），“八角星”形，可以求得=；模型3、三角板模型【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個(gè)圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ?。圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023春·遼寧沈陽·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①；②與互為補(bǔ)角；③若，則；④．其中一定正確的序號(hào)是（

）

A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④例2．（2023春·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）將兩塊直角三角尺按如圖擺放，其中，，，若相交于點(diǎn)E，則的大小為（

）A． B． C． D．例3.（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┤鐖D，將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點(diǎn)C在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)C、F分別為直角頂點(diǎn)，且，，若，則的度數(shù)是（）

A．15° B．20° C．25° D．30°例4．（2023春·陜西渭南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，一副直角三角板和如圖擺放，，，若，則下列結(jié)論：①；②；③；④平分，正確的有．（填序號(hào)）

例5．（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）實(shí)踐與探究材料：一副直角三角尺，記作：和，其中，，．

(1)操作一：如圖①，將三角尺按如圖方擺放，其中點(diǎn)C、D、A、F在同一條直線上，另兩條直角邊所在的直線分別為、，與相交于點(diǎn)O，則的大小為度．(2)操作二：保持、不變，將圖①中的三角尺經(jīng)過適當(dāng)平移旋轉(zhuǎn)，得到的位置如圖②所示，點(diǎn)B在上，點(diǎn)F在上，點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，且平分，求的度數(shù)．(3)操作三：如圖③，將圖①位置的三角尺繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，速度為每秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)邊與互相平行時(shí)，直接寫出t的值．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·新疆伊犁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某位同學(xué)將一副三角板隨意擺放在宗上，則圖中的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（2023春·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若將一副三角板按如圖所示的方式放置，其中，則下列結(jié)論不正確的是（

）

A． B． C． D．3．（2023春·江蘇蘇州·七年級(jí)蘇州中學(xué)?？计谥校┤鐖D是兩塊直角三角板和，其中，，，且點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)F在邊CB的延長(zhǎng)線上，那么不可能等于（

）．

A． B． C． D．4．（2023春·廣東佛山·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則等于（

）

A． B． C． D．5．（2022春·山西晉城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），與的交點(diǎn)為C，且保持不變．為了舒適，需調(diào)整大小，使，則應(yīng)調(diào)整為（

）A．30° B．25° C．20° D．10°6．（2023·廣東江門·八年級(jí)?？计谥校┤缦聢D，的度數(shù)為（

）A．540° B．500° C．460° D．420°7．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形中，，若沿圖中虛線剪去，則等于（）A． B． C． D．8．（2023·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，則∠ABD+∠ACD的值為(

)A．60° B．50° C．40° D．30°9．（2022·安徽·八年級(jí)校考期中）如圖，若，則．

10．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，已知，平分，平分，求證：11．（2022秋·四川綿陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，．12．（2022秋·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，D、E分別是上的點(diǎn)，點(diǎn)F在的延長(zhǎng)線上，，，求的度數(shù)．13．（2022春·七年級(jí)單元測(cè)試）探究：中華人民共和國國旗上的五角星的每個(gè)角均相等，小明為了計(jì)算每個(gè)角的度數(shù)，畫出了如圖①的五角星，每個(gè)角均相等，并寫出了如下不完整的計(jì)算過程，請(qǐng)你將過程補(bǔ)充完整．

(1)解：∵，．∴．∵_(dá)_______，∴________，∴________．(2)拓展：如圖②，小明改變了這個(gè)五角星的五個(gè)角的度數(shù)，使它們均不相等，請(qǐng)你幫助小明求，，，，的和．(3)應(yīng)用：如圖③．小明將圖②中的點(diǎn)落在上，點(diǎn)落在上，若，則________．14．（2021秋·廣東東莞·八年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）如圖1，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于___________A．90°

B．135°

C．270°

D．315°（2）如圖2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1＋∠2＝_______（3）如圖2，根據(jù)（1）與（2）的求解過程，請(qǐng)你歸納猜想∠1＋∠2與∠A的關(guān)系是________________（4）如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3形狀，試探究∠1＋∠2與∠A的關(guān)系并說明理由．15．（2023春·重慶黔江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將三角板與三角板擺放在一起；如圖，其中，，．固定三角板，將三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角．

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)為度時(shí)，；當(dāng)為度時(shí)，．(2)當(dāng)時(shí)，連接，利用圖探究值的大小變化情況，并說明理由．16．（2023春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）學(xué)習(xí)完平行線的知識(shí)后，甲，乙，丙三位同學(xué)利用兩個(gè)三角形進(jìn)行探究活動(dòng)，分別得到以下圖形．已知中，．請(qǐng)根據(jù)他們的敘述條件完成題目．

(1)若為等腰直角三角形，且；①甲同學(xué)：如圖1，和的直角邊在同一直線上，點(diǎn)E和點(diǎn)C互相重合，斜邊與相交于點(diǎn)P，那么度；②乙同學(xué)：如圖2，和直角頂點(diǎn)C，D互相重合于點(diǎn)P，斜邊與斜邊互相平行，求的度數(shù)，并寫出解答過程；(2)若為等腰三角形，已知．丙同學(xué)：如圖3，若直角頂點(diǎn)D恰好與底邊的中點(diǎn)重合，的斜邊經(jīng)過的頂點(diǎn)C，若，設(shè)，請(qǐng)用含x的式子表示的度數(shù)，并寫出解答過程．17．（2023春·安徽宿州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）小明善于用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，從中找到數(shù)學(xué)研究的樂趣．他用一副三角板拼成了如下兩幅圖．

(1)圖1中，的度數(shù)是______．(2)①求圖1中的度數(shù)；②圖2中，，求的度數(shù)．18．（2022秋·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖所示，有一塊直角三角板足夠大，其中，把直角三角板放置在銳角上，三角板的兩邊、恰好分別經(jīng)過、．(1)若，則______，______，______(2)若，則______．（寫出求解過程）(3)請(qǐng)你猜想一下與所滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．19．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求∠A+∠B+∠C