專題07 圓中的重要模型-圓中的外接圓和內(nèi)切圓模型（解析版）

專題07圓中的重要模型--圓中的內(nèi)切圓和外接圓模型模型1、內(nèi)切圓模型【模型解讀】內(nèi)切圓：平面上的多邊形的每條邊都能與其內(nèi)部的一個(gè)圓形相切，該圓就是該多邊形的內(nèi)切圓，這時(shí)稱這個(gè)多邊形為圓外切多邊形。它亦是該多邊形內(nèi)部最大的圓形。內(nèi)切圓的圓心被稱為該多邊形的內(nèi)心。三角形內(nèi)切圓圓心：在三角形中，三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)是內(nèi)切圓的圓心，圓心到三角形各個(gè)邊的垂線段相等。正多邊形必然有內(nèi)切圓，而且其內(nèi)切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心?！境Ｒ娔Ｐ图敖Y(jié)論】1）三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的內(nèi)切圓（即O為三角形ABC的內(nèi)心），⊙O的半徑為r。結(jié)論：①點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=。圖1圖2圖32）直角三角形的內(nèi)切圓模型條件：如圖2，⊙O為Rt的內(nèi)切圓（即O為三角形ABC的內(nèi)心），⊙O的半徑為r。結(jié)論：①點(diǎn)O到三角形ABC的三邊距離相等；②；③r=；3）四邊形的內(nèi)切圓模型條件：如圖3，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)切圓。結(jié)論：。例1．（2023·黑龍江雞西·?？既＃┤鐖D，在中，，半徑為的是的內(nèi)切圓，連接，分別交于D，E兩點(diǎn)，則的長為．（結(jié)果用含的式子表示）【答案】【分析】根據(jù)內(nèi)切圓圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，得到的大小，然后用弧長公式即可求解．【詳解】∵內(nèi)切圓圓心是三條角平分線的交點(diǎn)，∴；設(shè)，，在中：，在中：，由①②得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查內(nèi)心的性質(zhì)，求弧長；解題關(guān)鍵是根據(jù)角平分線算出的度數(shù)．例2．（2022秋·安徽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，過點(diǎn)作于點(diǎn)D，P是內(nèi)一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，若點(diǎn)恰好為內(nèi)心，則的度數(shù)為（

）A．36° B．48° C．60° D．72°【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)心定義可知，，分別是，，的角平分線，推導(dǎo)出，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，由全等三角形的判定及其性質(zhì)可得,，繼而可得，，進(jìn)而即可求解．【詳解】∵點(diǎn)恰好為內(nèi)心，∴，，分別是，，的角平分線，∴，又，∴，∴，∴，∵，于點(diǎn)D，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，，又，，∴,∴，又，∴，又，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)心的定義及其性質(zhì)，全等三角形的判定及其性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)知識點(diǎn)．例3．（2023秋·河南漯河·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為，且，，，則的半徑是．

【答案】1【分析】先根據(jù)勾股定理求出，由切線長定理得，，，設(shè)，則，，然后根據(jù)，求解即可．【詳解】解：在中，∵，，，∴，∵為的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，∴，，，如圖，連接，，

∵為的內(nèi)切圓，∴，∴，∴四邊形是正方形，設(shè)，則，，∵，∴，∴，則的半徑為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，切線長定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線長定理．例4．（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，，，，，則的半徑為．

【答案】【分析】過O作交于E，設(shè)，在和中，運(yùn)用勾股定理即可解答；【詳解】過O作交于E，設(shè)

點(diǎn)是的內(nèi)心，，，在中，由勾股定理可得：在中，由勾股定理可得：故解得故故答案為【點(diǎn)睛】該題考查了角平分線的性質(zhì)，勾股定理，圓的基本性質(zhì)，解答該題的關(guān)鍵是掌握該部分知識點(diǎn)．例5．（2023·江蘇南京·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線．若，，則的值是．【答案】9【分析】根據(jù)切線長定理，可得，由此即可解決問題．【詳解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切線，∴可以假設(shè)切點(diǎn)分別為E、H、G、F，∴，∴，∵，，∴，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．例6．（2023·成都市九年級期中）如圖，是的內(nèi)切圓，、、為切點(diǎn)，，，，切交于，交于，則的周長為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用切線長定理得到等邊，再利用給出的三條邊長，設(shè)未知數(shù)列方程組，計(jì)算出邊長，再利用等邊換邊得到的周長．【詳解】是的內(nèi)切圓,、、是的切線，又切于點(diǎn)K，、、、、，

的周長為：設(shè)，，，則、、，解得，的周長為：．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查切線長定理及邊長的計(jì)算，需要理清目標(biāo)和條件，正確且有條理的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．例7．（2023·四川宜賓·九年級專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，一直線l經(jīng)過點(diǎn)M（，1）與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且MA＝MB，可求得△ABO的內(nèi)切圓⊙O1的半徑r1＝﹣1；若⊙O2與⊙O1、l、y軸分別相切，⊙O3與⊙O2、l、y軸分別相切，…，按此規(guī)律，則⊙O2014的半徑r2014＝．【答案】【分析】連接OO1、AO1、BO1，作O1D⊥OB于D，O1E⊥AB于E，O1F⊥OA于F，將三角形ABO分解成三個(gè)三角形，再根據(jù)三個(gè)三角形的面積之和等于△ABO的面積，即可得出半徑的值，再根據(jù)題意依次列出⊙O2，⊙O3…的半徑大小，找出規(guī)律即可．【詳解】連接OO1、AO1、BO1，作O1D⊥OB于D，O1E⊥AB于E，O1F⊥OA于F，如圖所示：則O1D＝O1E＝O1F＝r1，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴B（0，2），A（2，0），則S△OO1B＝×OB×r1＝r1，S△AO1O＝×AO×r1＝r1∵S△AOB＝S△OO1B+S△AO1O+S△AO1B＝∴同理得：…∴依此類推可得：⊙O2014的半徑r2014＝故答案為【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓、勾股定理、規(guī)律型，解此類題目時(shí)要根據(jù)題意列出等式，適當(dāng)?shù)貙D形進(jìn)行分解，總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．例8．（2023·廣東東莞·九年級?？计谥校┤鐖D，在內(nèi)切圓半徑為1的直角三角形ABC中，，，內(nèi)切圓與BC邊切于點(diǎn)D，則A到D的距離AD（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取內(nèi)切圓的圓心O，連接圓心與切點(diǎn)，由，可得∠BAC=60°，再根據(jù)內(nèi)切圓的圓心的是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，可知∠OAE=30°，從而得到AE=，CE=1，CD=1，再用勾股定理即可求解．【詳解】解：取內(nèi)切圓的圓心O，與AC，AB的切點(diǎn)E、F，連接OD、OE、OF．∵，，∴∠BAC=60°，∵內(nèi)切圓的圓心的是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，∴又∵OE=1，OE⊥AC（切線的性質(zhì)），∴AE=，∵OE⊥AC，OD⊥BC，，∴四邊形CDOE是矩形，又∵OD=OE，∴四邊形CDOE是正方形，∴CE=CD=OE=1，

∴AC=AE+CE=+1，在Rt△ACD中，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)切圓，切線的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意正確畫出的輔助線是解題的關(guān)鍵．模型2、多邊形的外接圓模型【模型解讀】外接圓：與多邊形各頂點(diǎn)都相交的圓叫做多邊形的外接圓，通常是針對一個(gè)凸多邊形來說的，如三角形，若一個(gè)圓恰好過三個(gè)頂點(diǎn)，這個(gè)圓就叫作三角形的外接圓，此時(shí)圓正好把三角形包圍。三角形外接圓圓心：即做三角形三條邊的垂直平分線（兩條也可，兩線相交確定一點(diǎn)）?！境Ｒ娔Ｐ图敖Y(jié)論】1）三角形的外接圓模型條件：如圖1，⊙O為三角形ABC的外接圓（即O為三角形ABC的外心）。結(jié)論：①OA=OB=OC；②。圖1圖2圖32）等邊三角形的外接圓模型條件：如圖2，點(diǎn)P為等邊三角形ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)。結(jié)論：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；3）四邊形的外接圓模型條件：如圖3，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形。結(jié)論：①；；②。例1．（2023·黑龍江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）△ABC中，∠A＝80°，點(diǎn)M是△ABC的外心，點(diǎn)N是△ABC的內(nèi)心，連接BM，CM，BN，CN，則∠BMC與∠BNC的差為（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】A【分析】分別求出∠BMC＝2∠A＝160°，BNC＝130°,然后得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，∵點(diǎn)M是△ABC的外心，∴∠BMC＝2∠A＝160°，∵點(diǎn)N是△ABC的內(nèi)心，∴∠BNC＝180°﹣（∠NBC+∠NCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝130°，∴∠BMC﹣∠BNC＝160°﹣130°＝30°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)心和外心，解題關(guān)鍵掌握內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心）和外心（外接圓圓心）的定義．例2．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)O，I分別是銳角的外心、內(nèi)心，若，則的度數(shù)為．【答案】/24度【分析】連接，先計(jì)算出，再利用外心性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得到，則，利用圓周角定理得到，接著計(jì)算出，再根據(jù)三角形內(nèi)心即可解決問題．【詳解】解：連接，如圖，∵，∴，∵O點(diǎn)為的外心，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵I為的內(nèi)心，∴平分，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心與外心定義．例3．（2023·湖北武漢·九年級階段練習(xí)）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，則⊙O的半徑為.【答案】5cm【分析】作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD=BC=4，再利用三角形外心的定義得到△ABC的外接圓的圓心在AD上，連結(jié)OB，設(shè)⊙O的半徑為r，利用勾股定理，在Rt△ABD中計(jì)算出AD=8，然后在Rt△OBD中得到42+（8-r）2=r2，再解關(guān)于r的方程即可；【詳解】解：如圖1，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD=BC=4，∴△ABC的外接圓的圓心在AD上，連結(jié)OB，設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=4，∴AD==8，在Rt△OBD中，OD=AD-OA=8-r，OB=r，BD=4，∴42+（8-r）2=r2，解得r=5，即△ABC的外接圓的半徑為5；【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓和外心，解題關(guān)鍵證明等腰三角形底邊上的高經(jīng)過三角形外接圓的圓心.例4．（2022春·江蘇·九年級期末）中，，，點(diǎn)I是的內(nèi)心，點(diǎn)O是的外心，則．【答案】14.3【分析】如圖，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)D，由等腰三角形得點(diǎn)I、點(diǎn)O都在直線AD上，連接OB、OC，過點(diǎn)I作交于點(diǎn)E，設(shè)，，根據(jù)勾股定理求出，則，，由勾股定理求出R的值，證明由相似三角形的性質(zhì)得，求出r的值，即可計(jì)算．【詳解】如圖，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)D，∵，，∴是等腰三角形，∴，∵點(diǎn)I是的內(nèi)心，點(diǎn)O是的外心，∴點(diǎn)I、點(diǎn)O都在直線AD上，連接OB、OC，過點(diǎn)I作交于點(diǎn)E，設(shè)，，在中，，∴，，在中，，解得：，∵，，∴，∴，即，

解得：，∴，∴．故答案為：14.3．【點(diǎn)睛】本題考查內(nèi)切圓與外接圓，等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握內(nèi)切圓的圓心為三角形三條角平分線的交點(diǎn)，外接圓圓心為三角形三條垂直平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．例5．（2023.廣東九年級期中）如圖，在△ABC中，∠C=60°，以AB為直徑的半圓O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，已知⊙O的半徑為．（1）求證：△CDE∽△CBA；（2）求DE的長．分析

（1）由圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對角知∠CED=∠A（或∠CDE=∠B），又有∠C=∠C，故△CDE∽△CBA；（2）連接AE．由（1）中△CDE∽△CBA得DE：BA=CE：CA，由于直徑對的圓周角是直角，有∠AEB=∠AEC=90°；在Rt△AEC中，有∠C=60°，∠CAE=30°．則DE：BA=CE：CA=1：2，即DE=．解答

（1）證明：∵四邊形ABED為⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠CED=∠A（或∠CDE=∠B）；又∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA．

（2）解：連接AE．

由（1）得△CDE∽△CBA，∴DE：BA=CE：CA，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=∠AEC=90°．

在Rt△AEC中，∵∠C=60°，∴∠CAE=30°；

∴DE：BA=CE：CA=1：2，即DE=．點(diǎn)評

本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用能力．例6．（2023湖北省荊門市九年級上期中）如圖，、、、是上的四個(gè)點(diǎn)，．(1)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)等邊三角形，見解析(2)，見解析【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到，，根據(jù)等邊三角形的判定定理證明；（2）在上截取，得到為等邊三角形，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，結(jié)合圖形證明即可．【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下：由圓周角定理得，，，∴是等邊三角形；（2）解：，理由如下：在上截取，∵，∴為等邊三角形，∴，，在和中，，∴∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．例7．（2023廣東中考模擬）如圖，點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)．（1）求∠BPC的度數(shù)；（2）求證：PA=PB+PC；（3）設(shè)PA，BC交于點(diǎn)M，若AB=4，PC=2，求CM的長度．【答案】（1）∠BPC=120°，（2）證明見解析；（3）CM=．【分析】（1）由圓周角定理得∠BPC與∠BAC互補(bǔ)；（2）在PA上截取PD=PC，可證明△ACD≌△BCP，則AD=PB，從而得出PA=PB+PC；（3）容易得到△CDM∽△ACM，所以CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2，設(shè)DM=x，則CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x，△BPM∽△ACM，所以BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解此分式方程求出x．【詳解】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，∵點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點(diǎn)，∴四邊形ABPC是圓的內(nèi)接四邊形∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，（2）證明：連結(jié)CD．在PA上截取PD=PC，∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD為等邊三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；（3）∵△PCD和△ABC都為等邊三角形，∴∠MDC=∠ACM=60°，CD=PC，又∵∠DMC=∠CMA，∴△CDM∽△ACM，AB=4，PC=2，∴CM：AM=DM：MC=DC：AC=PC：AC=2：4=1：2，設(shè)DM=x，則CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x∵∠BMP=∠CMA，∠PBM=∠CAM，∴△BPM∽△ACM，∴BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解得x=（舍去負(fù)值），∴CM=．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理以及等邊三角形的性質(zhì)，是一個(gè)綜合題，難度較大．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·湖北恩施·九年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AD＝BD＝2，EC＝3，則△ABC的周長為（

）A．10 B．10 C．14 D．16【答案】C【分析】根據(jù)切線長定理得到AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3，然后根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3∴BC=BE+CE=5，AB=AD+BD=4，AC=BF+FC=BC=5，∴△ABC的周長=2+2+5+5=14．故答案為C．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、切線長定理等知識點(diǎn)，靈活利用切線長定理是解題答本題的關(guān)鍵．2．（2023春·湖北九年級課時(shí)練習(xí)）已知的內(nèi)切圓的半徑為，且，的周長為16，則的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，，過點(diǎn)作，，，連接，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)，可得，求得線段，再根據(jù)切線長定理求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，作出圖形，過點(diǎn)作，，，連接，如下圖：由切線長定理可得：，，，，，，∵，∴，∴，∴，即，在中，，，∴，由勾股定理可得：，的周長為16，可得：解得，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了圓與三角形的綜合應(yīng)用，涉及了切線長定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．4．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕．將再次折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕，，交于點(diǎn)．則以下結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C．點(diǎn)到三邊的距離相等 D．點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等【答案】C【分析】根據(jù)是折痕，可知平分，平分，點(diǎn)為的內(nèi)接圓的圓心，由此即可求解．【詳解】解：∵是折痕，∴平分，平分，點(diǎn)為的內(nèi)接圓的圓心，如圖所示，于，于，于，選項(xiàng)，的度數(shù)無法確定，與的數(shù)量關(guān)系也不確定，故選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)，的長度不確定，的數(shù)量關(guān)系也不確定，故選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)，根據(jù)角平分的性質(zhì)可得，，即點(diǎn)到三邊的距離相等，故選項(xiàng)符合題意；選項(xiàng)，，故選項(xiàng)不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形與圓的知識的綜合，理解并掌握角平分線的性質(zhì)，內(nèi)切圓的知識是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·綿陽市九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D，連接BD，CE，若∠CBD=32°，則∠BEC的大小為（

）A．64° B．120° C．122° D．128°【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理可求∠CAD=32°，再根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可求∠BAC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形內(nèi)心的定義可求∠EBC+∠ECB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠BEC的度數(shù)．【詳解】在⊙O中，∵∠CBD=32°，∴∠CAD=32°，∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAC=64°，∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°，∴∠BEC=180°-58°=122°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是得到∠EBC+∠ECB的度數(shù)．5．（2023·山西太原·?？寄M預(yù)測）如圖，截的三條邊所得的弦長相等，若，則的度數(shù)為()A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用截的三條邊所得的弦長相等，得出即是的內(nèi)心，從而∠1=∠2，∠3=∠4，進(jìn)一步求出的度數(shù)．【詳解】解：過點(diǎn)分別作、、，垂足分別為、、，連接、、、、、、、，如圖：∵，∴∴∴點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn)，即三角形的內(nèi)心∴，∵∴∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)心、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，比較簡單．6．（2023·河北邢臺·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)為的內(nèi)心，點(diǎn)在邊上，且⊥，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】中，點(diǎn)為的內(nèi)心，可求出的度數(shù)，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論．【詳解】解：在中，，點(diǎn)為的內(nèi)心，四邊形的內(nèi)角和，且故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的定義及多邊形的內(nèi)角和，牢固掌握相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·湖北九年級期中）點(diǎn)I是的內(nèi)心，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．或【答案】A【分析】先根據(jù)內(nèi)心的定義得到，再根據(jù)作答即可．【詳解】如圖，∵點(diǎn)I是的內(nèi)心，∴，∵，∴；∴；∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)心，熟練掌握定義是解答本題的關(guān)鍵．三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心是三角形角平分線的交點(diǎn)．8．（2023·重慶九年級期中）已知三角形三邊長分別為5cm、5cm、6cm，則這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑是（）A．cm B．cm C．2cm D．3cm【答案】B【分析】由⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，⊙O切AB于E，切BC于D，根據(jù)切線長定理得到AB=AC，A，O，D三點(diǎn)共線，求得BD，AD，BE，AE，由勾股定理列方程求解．【詳解】如圖∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，⊙O切AB于E，切BC于D，∵AB=AC=5，∴A，O，D三點(diǎn)共線，∴BD=BC=3，∴AD==4，∴BE=BD=3，∴AE=2，設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為r，∴（4-r）2=22+r2，∴r=cm，∴三角形內(nèi)切圓的半徑為cm．故選B．【點(diǎn)睛】考查對三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，切線長定理，切線的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．9．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，【答案】D【分析】如圖，連接．利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接．∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴，∴，，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．10．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)I為的內(nèi)心，連接并延長交的外接圓于點(diǎn)D，若，點(diǎn)E為弦的中點(diǎn)，連接，若，則的長為（）A．5 B． C．4 D．【答案】C【分析】由已知條件可得到，過點(diǎn)D作于F，連接，可得四邊形為平行四邊形，可得，即可求出IE的長．【詳解】解：連接，如圖，∵I為的內(nèi)心，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∵，∴，過點(diǎn)D作于F，連接，∴，在中，由勾股定理得，，∵點(diǎn)E為弦的中點(diǎn)∴為的中位線，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題是三角形外接圓和內(nèi)切圓綜合，考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，內(nèi)心等等，正確作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)為的內(nèi)心，連接并延長交的外接圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)心性質(zhì)，證明，得到，則，進(jìn)而得到，代入即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示：∵為的內(nèi)心，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)心、三角形的外接圓、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．12．（2022秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在⊙O中，，BC＝6，AC．I是△ABC的內(nèi)心，則線段OI的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】連接AO，延長AO交BC于H，連接OB．想辦法求出OH，IH即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AO，延長AO交BC于H，連接OB．∵，∴AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=3，∴AH==9，設(shè)OA=OB=x，在Rt△BOH中，∵OB2=OH2+BH2，∴x2=（9-x）2+32，∴x=5，∴OH=AH-AO=9-5=4，∵S△ABC=?BC?AH=?（AB+AC+BC）?IH，∴IH=，∴OI=OH-IH=4-（-1）=5-，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的內(nèi)心和外心、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，則∠D的度數(shù)是（

）A．60° B．65 C．70° D．75°【答案】B【分析】利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得OB，OC分別是角平分線，進(jìn)而求出的大小，再利用三角形外心的性質(zhì)得出等于的一半，即可得出答案．【詳解】解：連接OB，OC，如圖，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，，，，，點(diǎn)O是△DBC的外心，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心和三角形外心的性質(zhì)，牢記以上知識點(diǎn)得出各角之間的關(guān)系是做出本題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇九年級課時(shí)練習(xí)）已知等腰直角三角形外接圓半徑為5，則內(nèi)切圓半徑為（）A．5+5 B．12﹣5 C．5﹣5 D．10﹣10【答案】C【分析】由于直角三角形的外接圓半徑是斜邊的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜邊長，進(jìn)而可求得兩條直角邊的長；然后根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓半徑公式求出內(nèi)切圓半徑的長．【詳解】解：∵等腰直角三角形外接圓半徑為5，∴此直角三角形的斜邊長為10，兩條直角邊分別為5，∴它的內(nèi)切圓半徑為：R=(5+5?10)=5?5；故選C.【點(diǎn)睛】要注意直角三角形內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的區(qū)別：直角三角形的內(nèi)切圓半徑：r=(a+b-c)；(a、b為直角邊，c為斜邊).直角三角形的外接圓半徑：R=c.15．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)O是外接圓的圓心，點(diǎn)I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可得的度數(shù)，然后由圓周角定理求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：連接，∵點(diǎn)I是的內(nèi)心，，∴，∴，∵，∴，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)心的定義和圓周角定理，熟知三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．16．（2023·山東九年級月考）如圖，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為點(diǎn)、、，設(shè)的面積、周長分別為、，的半徑為，則下列等式：①；②；③；④，其中成立的是（填序號）【答案】①②③④【分析】正確，首先證明，同法可證，，由，可得．正確，利用面積法證明即可．正確，證明，可得結(jié)論．正確，利用切線長定理解決問題即可．【詳解】解：如圖，作直徑，連接．是的切線，，，，是直徑，，，，，，同法可證，，，，，故正確，連接，，，，．，故正確，，，，，，故正確，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別相為點(diǎn)、、，，，，，故正確，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓，切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．17．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周長為20，⊙I是△ABC的內(nèi)切圓，其半徑為，則△BIC的外接圓直徑為.【答案】【分析】設(shè)△BIC的外接圓圓心為O，連接OB，OC，作CD⊥AB于點(diǎn)D，在圓O上取點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C，作OE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，根據(jù)三角形內(nèi)心定義可得S△ABC＝lr＝×20×＝AB?CD，可得bc＝40，根據(jù)勾股定理可得BC＝a＝7，再根據(jù)I是△ABC內(nèi)心，可得IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)和圓周角定理可得∠BOC＝120°，再根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出OB的長．【詳解】解：如圖，設(shè)△BIC的外接圓圓心為O，連接OB，OC，作CD⊥AB于點(diǎn)D，在圓O上取點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C，作OE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，∵∠BAC＝60°，∴AD＝b，CD＝AC?sin60°＝b，∴BD＝AB﹣AD＝c﹣b，∵△ABC周長為l＝20，△ABC的內(nèi)切圓半徑為r＝，∴S△ABC＝lr＝×20×＝AB?CD，∴b?c，∴bc＝40，在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理，得BC2＝BD2+CD2，即a2＝（c﹣b）2+（b）2，整理得：a2＝c2+b2﹣bc，∵a+b+c＝20，∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，解得a＝7，∴BC＝a＝7，∵I是△ABC內(nèi)心，∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠IBC+∠ICB＝60°，∴∠BIC＝120°，∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝，∠BOE＝60°，∴OB＝.∴外接圓直徑為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，解直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識．屬于中考選擇題的壓軸題，很有難度．18．（2023·廣東·九年級專題練習(xí)）已知，點(diǎn)為的外心，點(diǎn)為的內(nèi)心．（1）若，則；（2）若，則．【答案】/100度/125度【分析】（1）如圖，證明；求出，進(jìn)而求出即可解決問題；（2）根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)三角形的內(nèi)心的性質(zhì)得到平分平分，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】解：（1）如圖，的內(nèi)心為點(diǎn)，，，，，，故答案為：；（2）如圖，點(diǎn)為的外心，，，點(diǎn)為的內(nèi)心，平分平分，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、外接圓與外心，掌握圓周角定理、三角形的內(nèi)心的概念和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，正方形的邊長是，是邊的中點(diǎn)．將該正方形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處．分別與，，相切，切點(diǎn)分別為，，，則的半徑為．

【答案】1【分析】如圖所示，延長交于M，連接，先證明得到，設(shè)設(shè)，則，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如圖所示，連接，利用等面積法求出半徑即可．【詳解】解：如圖所示，延長交于M，連接，∵四邊形是正方形，∴，∵E為的中點(diǎn)，∴，由折疊的性質(zhì)可得，∴，又∵，∴，

∴，

設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，如圖所示，連接∵分別與，，相切，切點(diǎn)分別為，，，∴，∵，∴，∴，∴的半徑為，故答案為；1．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓，正方形與折疊問題，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，I是的內(nèi)心，的延長線交的外接圓于點(diǎn)D．(1)求證：；(2)求證：；(3)連接、，求證：點(diǎn)D是的外心．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)心的定義得，再由圓周角與弧之間的關(guān)系即可得證；（2）連接，證出即可得證；（3）連接，，，證出即可得證．【詳解】（1）證明：點(diǎn)I是的內(nèi)心，平分，，，，．（2）證明：如圖，連接，點(diǎn)I是的內(nèi)心，平分，平分，，又，，，，，．（3）證明：如圖，連接，，，，．，∴點(diǎn)D是的外心．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心和外心的定義，圓的基本性質(zhì)中圓周角與弧之間的關(guān)系等，理解定義，掌握圓的基本性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵.21．（2023浙江年級上期中）我們知道，與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，則三角形可以稱為圓的外切三角形．如圖1，與的三邊分別相切于點(diǎn)則叫做的外切三角形.以此類推，各邊都和圓相切的四邊形稱為圓外切四邊形．如圖2，與四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA分別相切于點(diǎn)則四邊形叫做的外切四邊形．（1）如圖2，試探究圓外切四邊形的兩組對邊與之間的數(shù)量關(guān)系，猜想：(橫線上填“>”，“<”或“=”)；（2）利用圖2證明你的猜想(寫出已知，求證，證明過程)；（3）用文字?jǐn)⑹錾厦孀C明的結(jié)論：；（4）若圓外切四邊形的周長為相鄰的三條邊的比為，求此四邊形各邊的長．【答案】（1）=；（2）答案見解析；（3）圓外切四邊形的對邊之和相等；（4）4；10；12；6【分析】（1）根據(jù)圓外切四邊形的定義猜想得出結(jié)論；（2）根據(jù)切線長定理即可得出結(jié)論；（3）由（2）可得出答案；（4）根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)求出第四邊，利用周長建立方程求解即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵⊙O與四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，∴猜想AB＋CD＝AD＋BC，故答案為：＝．（2）已知：四邊形ABCD的四邊AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F(xiàn)，E，H，求證：AD＋BC＝AB＋CD，證明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG＝AH，同理：BG＝BF，CE＝CF，DE＝DH，∴AD＋BC＝AH＋DH＋BF＋CF＝AG＋BG＋CE＋DE＝AB＋CD，即：圓外切四邊形的對邊和相等．（3）由（2）可知：圓外切四邊形的對邊和相等．故答案為：圓外切四邊形的對邊和相等；（4）∵相鄰的三條邊的比為2：5：6，∴設(shè)此三邊為2x，5x，6x，根據(jù)圓外切四邊形的性質(zhì)得，第四邊為2x＋6x?5x＝3x，∵圓外切四邊形的周長為32，∴2x＋5x＋6x＋3x＝16x＝32，∴x＝2，∴此四邊形的四邊的長為2x＝4，5x＝10，6x＝12，3x＝6．即此四邊形各邊的長為：4，10，12，6．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了新定義圓的外切四邊形的性質(zhì)，四邊形的周長，切線長定理，理解和掌握圓外切四邊形的定義是解本題的關(guān)鍵．22．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，點(diǎn)I是的內(nèi)心．

(1)求作過點(diǎn)I且平行于的直線，與分別相交于點(diǎn)D，E（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線的作法作圖即可；（2）過點(diǎn)I作于點(diǎn)N，于點(diǎn)M，于點(diǎn)M，于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，連接．易證，即可得出．由三角形內(nèi)心的性質(zhì)可知，結(jié)合三角形面積公式可得出，，即得出，結(jié)合題意可求出，．又易證，，即可證，得出，從而可求出，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，直線即為所作；

（2）解：如圖，過點(diǎn)I作于點(diǎn)N，于點(diǎn)M，于點(diǎn)M，于點(diǎn)P，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，連接．

∵，∴，∴,∴．∵點(diǎn)I是的內(nèi)心，∴．∵，，∴．∵，即，∴，．由所作輔助線可知四邊形為矩形，∴，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，∴，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—作平行線，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識．掌握基本作圖方法和正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．23．（2023·山東·九年級專題練習(xí)）如圖所示，在中，（1）求.（2）求內(nèi)切圓半徑.【答案】（1）；（2）內(nèi)切圓半徑為1.【分析】（1）由三角形內(nèi)角和可得∠CBA+∠CAB=90°，由O為內(nèi)切圓圓心可得OA、OB為∠CBA和∠CAB的角平分線，即可得出∠OAB+∠OBA=45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BOA的度數(shù)即可；（2）連接OD，OE、OF，由切線性質(zhì)可得OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，由∠C=90°，OD=OE可證明四邊形DCEO是正方形，可得OD=CD，利用勾股定理可求出AB的長，根據(jù)切線長定理可得CD=CE，AE=AF，BD=BF，設(shè)內(nèi)切圓半徑OD=r，根據(jù)AB=BF+AF列方程即可求出r的值，即可得答案.【詳解】（1）∵∠C=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵O為內(nèi)切圓圓心，∴OA、OB為∠CBA和∠CAB的角平分線，∴∠OAB+∠OBA=∠CBA+∠CAB=45°，∴∠BOA=180°-45°=135°.（2）連接OD，OE、OF，∵AB、AC、BC是切線，切點(diǎn)為D、E、F，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，CD=CE，AE=AF，BD=BF，∵∠C=90°，OD=OE，∴四邊形DCEO是正方形，∴CD=OD，設(shè)OD=r，∴AF=AE=3-r，BF=BD=4-r，∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∴AB=BF+AF=3-r+4-r=5，解得r=1，即內(nèi)切圓半徑為1.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、切線長定理、正方形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．24．（2023春·廣東廣州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在中，，以為直徑的半圓O交于點(diǎn)D．(1)尺規(guī)作圖：過點(diǎn)D作半圓O的切線，交于點(diǎn)E；(2)求證：；(3)若，，求半圓O的半徑長．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)【分析】（1）以D點(diǎn)為圓心畫弧交于兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)為圓心，以合適的長度為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，將該點(diǎn)與D點(diǎn)連接，交于點(diǎn)E，即可；（2）連接，先得到，根據(jù)“三線合一”可得：平分，即有，再根據(jù)，可得，問題隨之得解；（3）利用勾股定理可得，根據(jù)（2）中的相關(guān)結(jié)論再證明，即有，即可得，問題得解．【詳解】（1）以D點(diǎn)為圓心畫弧交于兩點(diǎn)，再以這兩點(diǎn)為圓心，以合適的長度為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，將該點(diǎn)與D點(diǎn)連接，交于點(diǎn)E，如圖，即為半圓O的切線；證明：連接，如圖，根據(jù)作圖可知：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵是圓的半徑，∴即為半圓O的切線；（2）證明：連接，如圖，∵是圓的直徑，∴，∴，，∵，∴根據(jù)“三線合一”可得：平分，∴，∵即為半圓O的切線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）根據(jù)（1）可知：，∵，，∴，根據(jù)（2）可知：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴半圓O的半徑長為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，掌握切線的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．25．（2023.山東九年級期中）探究問題：

(1)閱讀理解：①如圖A，在所在平面上存在一點(diǎn)P，若它到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)的值為的費(fèi)馬距離．②如圖B，若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則有，此為托勒密定理．知識遷移：①請你利用托勒密定理解決如下問題：如圖C，已知點(diǎn)P為等邊外接圓的上任意一點(diǎn)．求證：；②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋（其中均小于）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：第一步：如圖D，在的外部以為一邊作等邊及其外接圓；第二步：在上任取一點(diǎn)，連接．易知________；第三步：請你根據(jù)（1）①中定義，在圖D中找出的費(fèi)馬點(diǎn)P，則線段______