解一元二次方程（因式分解法）（導學案）-九年級數(shù)學上冊同步備課系列

學習目標1.利用因式分解法解一元二次方程；2.能根據(jù)一元二次方程的特征，靈活選擇一元二次方程的解法；3.通過學生討論解一元二次方程的方法，理解對于某些特殊的一元二次方程，利用因式分解法解起來較為簡單，它避免了復雜的計算，提高了解題速度和準確程度。讓學生再次體會“降次”的思想，從而培養(yǎng)學生主動探究的精神與積極參與的意識。重點難點突破★知識點1：使一元二次方程轉化為兩個一次式乘積等于0的形式，從而實現(xiàn)降次，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法?！镏R點2：通過因式分解法解一元二次方程的步驟：1.移項：使一元二次方程等式右邊為0；2.分解：把左邊運用因式分解法化為兩個一次因式相乘的形式；3.賦值：令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程；4.求解：解這兩個一元一次方程，最后得到方程的解?！練w納】左分解，右化零，兩因式，各求解?！镏R點3：解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為一次方程，即降次。核心知識1.使一元二次方程轉化為___________________________的形式，從而實現(xiàn)降次，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。2.通過因式分解法解一元二次方程的步驟：1）移項：使一元二次方程等式右邊為___________；2）分解：把左邊運用因式分解法化為__________________________的形式；3）賦值：令每個因式等于0，得到___________________________；4）求解：_______________________，最后得到方程的解?！練w納】左分解，右化零，兩因式，各求解。3.解一元二次方程的基本思路是：_________________________________，即降次。思維導圖復習鞏固【提問】已經(jīng)學過了哪些解一元二次方程的方法？【提問】多項式因式分解的方法有哪些？【問題】1.如果a×b=0，則a=_____或b=_______.2.如果兩個因式的________，那么這兩個因式中_____________；反之，如果兩個因式中_________為0，那么它們的_____________。新知探究根據(jù)物理學規(guī)律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么物體經(jīng)過xs離地面的高度(單位：m)為10x-4.9x2。根據(jù)上述規(guī)律，物體經(jīng)過多少秒落回地面(結果保留小數(shù)點后兩位)?【問題】嘗試用配方法和公式法求方程的解【提問】1.觀察所列方程結構，能否找到更簡單的方法求解方程？并嘗試求解2.解方程時，二次方程是如何降為一次的？典例分析例1解下列方程？(1)x(x-2)=0(2)(x+2)(x-3)=0(3)(3x+6)(2x-4)=0(4)x2=x例2解下列方程:(1)x(x﹣2)+x﹣2=0(2)5x2﹣2x﹣14=x2﹣2x+【提問】簡述通過因式分解法解一元二次方程的步驟?！踞槍τ柧殹?．一元二次方程x2+px+q=0的兩根為3、4，那么二次三項式A．(x+3)(x?4) B．C．(x?3)(x?2．三角形兩邊長分別為3和6，第三邊的長是方程x2﹣13x+36=0的一個根，則該三角形的周長為（）A．13 B．15 C．18 D．13或18【能力提升】1已知(x2+y2)(x2+y2-1)-6=0，則x2+y2的值是（）A．3或-2 B．-3或2 C．3 D．-22．已知△ABC中，AB=3，AC=5，第三邊BC的長為一元二次方程x2﹣9x+20=0的一個根，則該三角形為_____三角形．3．若關于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有兩個不相等實數(shù)根，且m為正整數(shù)，則此方程的解為（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝﹣3C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝1，x2＝﹣3新知講解解一元二次方程的方法典例分析例2填空①x2-3x+1=0②3x2-1=0③-3t2+t=0④x2-4x=2⑤2x2-x=0⑥5(m+2)2=8⑦3y2-y-1=0⑧2x2+4x-1=0；⑨(x-2)2=2(x-2).1）適合運用直接開平方法；2）適合運用因式分解法；3）適合運用公式法；4）適合運用配方法.【提示】每個題都有多種解法，選擇更合適的方法，可以簡化解題過程！直擊中考1（2022云南中考真題）方程2x2+1=3x的解為________．2．（2022貴港中考真題）若x=?2是一元二次方程x2A．0，?2 B．0，0 C．?2，?2 D．?2，0歸納小結1.本節(jié)課學習，你有哪些收獲？請你用自己的語言描述分解因式法解一元二次方程的基本步驟嗎？2.解一元二次方程的基本思路是什么？3.通過本節(jié)課的學習，你領悟到哪些數(shù)學思想方法？【參考答案】核心知識1.使一元二次方程轉化為兩個一次式乘積等于0的形式，從而實現(xiàn)降次，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。2.通過因式分解法解一元二次方程的步驟：1.移項：使一元二次方程等式右邊為0；2.分解：把左邊運用因式分解法化為兩個一次因式相乘的形式；3.賦值：令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程；4.求解：解這兩個一元一次方程，最后得到方程的解?！練w納】左分解，右化零，兩因式，各求解。3.解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為一次方程，即降次。復習鞏固【提問】已經(jīng)學過了哪些解一元二次方程的方法?直接開平方法：x2=a(a≥0)配方法：(x+m)2=n(n≥0)公式法：x=【提問】多項式因式分解的方法有哪些？①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)②平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)③完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2④“十”字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)【問題】1.如果a×b=0，則a=__0___或b=____0___.2.如果兩個因式的積為0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；反之，如果兩個因式中任何一個為0，那么它們的積也等于0。新知探究根據(jù)物理學規(guī)律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么物體經(jīng)過xs離地面的高度(單位：m)為10x-4.9x2。根據(jù)上述規(guī)律，物體經(jīng)過多少秒落回地面(結果保留小數(shù)點后兩位)?【問題】嘗試用配方法和公式法求方程的解設物體經(jīng)過x秒落回地面，即10x-4.9x2=0①方法一：配方法解：移項得，4.9x2-10x=0系數(shù)化為1得，x2-10049配方得，x2-10049x+5049整理得，x?5049由此可得，x?5049則x1=0，這兩個根中，x2≈2.04表示物體約在2.04s落回地面，而x1=0表示物體被上拋離開地面的時刻，即在0s時物體被拋出，此刻物體的高度是0m.方法二：公式法解：移項得，4.9x2-10x=0a=4.9，b=-10，c=0Δ=b2-4ac=100>0方程有兩個不等的實數(shù)根x=?即x1=0，x2=100這兩個根中，x2≈2.04表示物體約在2.04s落回地面，而x1=0表示物體被上拋離開地面的時刻，即在0s時物體被拋出，此刻物體的高度是0m.【提問】1.觀察所列方程結構，能否找到更簡單的方法求解方程？并嘗試求解方法三：因式分解法解：因式分解得x(10-4.9x)=0∴x=0或10﹣4.9x=0即x1=0，x2=100這兩個根中，x2≈2.04表示物體約在2.04s落回地面，而x1=0表示物體被上拋離開地面的時刻，即在0s時物體被拋出，此刻物體的高度是0m.2.解方程時，二次方程是如何降為一次的？因式分解，使一元二次方程轉化為兩個一次式乘積等于0的形式，從而實現(xiàn)降次，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。典例分析例1解下列方程？(1)x(x-2)=0(2)(x+2)(x-3)=0(3)(3x+6)(2x-4)=0(4)x2=x答案：1)x1=0，x2=2；2)x1=-2，x2=3；3)x1=-2，x2=2；4)x1=0，x2=1.例2解下列方程:(1)x(x﹣2)+x﹣2=0(2)5x2﹣2x﹣14=x2﹣2x+1)解:因式分解得(x﹣2)(x+1)=0于是得x-2=0，或x+1=0∴x1=2，x2=﹣12)移項、合并同類項得4x2﹣1=0因式分解得(2x+1)(2x-1)=0于是得2x+1=0或2x﹣1=0∴x1=0.5，x2=﹣0.5【提問】簡述通過因式分解法解一元二次方程的步驟。1.移項：使一元二次方程等式右邊為0；2.分解：把左邊運用因式分解法化為兩個一次因式相乘的形式；3.賦值：令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程；4.求解：解這兩個一元一次方程，最后得到方程的解。【