高考 一輪復(fù)習(xí)-函數(shù)與方程

科教學(xué)設(shè)計(jì)

學(xué)生姓名教師姓名班主任

日期時(shí)間段年級(jí)課時(shí)

學(xué)案11函數(shù)與方程

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，會(huì)判斷一元二

次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似值.

課前準(zhǔn)備區(qū)回扣教材夯實(shí)基礎(chǔ)__________________________________________

【自主梳理】

1.函數(shù)零點(diǎn)的定義

(1)對(duì)于函數(shù)y=f(x)(xw力,把使成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)p=f(x)(才巳功

的零點(diǎn).

(2)方程Ax)=O有實(shí)根o函數(shù)y=f(x)的圖象與—有交點(diǎn)=函數(shù)y=F(x)有

2.函數(shù)零點(diǎn)的判定

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有一

那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間________內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c￡(a,吩,使得________,這個(gè)

也就是f(x)=0的根.我們不妨把這一結(jié)論稱為零點(diǎn)存在性定理.

3.二次函數(shù)尸af+bx+c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系

4>04=021<0

二次函數(shù)了=。V2

+Ax+c5

Q>0)的圖象X1=XX

A2

與X軸的交點(diǎn)_,—無交點(diǎn)

零點(diǎn)個(gè)數(shù)

4.用二分法求函數(shù)以才)零點(diǎn)近似值的步驟

第一步，確定區(qū)間［a,b］,驗(yàn)證,給定精確度J

第二步，求區(qū)間(a,力)的中點(diǎn)c；

第三步，計(jì)算______：

①若,則。就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②若,則令b=c［此時(shí)零點(diǎn)加￡(a,c)］；

③若,則令a=c［此時(shí)零點(diǎn)照￡(c,6)］;

第四步，判斷是否達(dá)到精確度￡：即若后一引《￡,則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則

重復(fù)第二、三、四步.

【自我檢測(cè)】

x?+2x—3,

1.(2010?福建)F(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

一2+Inxx>0

()

A.0B.1C.2D.3

2.若函數(shù)尸f(x)在R上遞增，則函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)

()

A.至少有一個(gè)B.至多有一個(gè)

C.有且只有一個(gè)D,可能有無數(shù)個(gè)

3.如圖所示的函數(shù)圖象與J軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是

4.設(shè)人力=3'+3*—8,用二分法求方程3'+3*—8=0在*￡(1,2)內(nèi)近似解的過程中

得F(D<0,A1.5)>0,Al.25)<0,則方程的根所在的區(qū)間是

()

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)

C.(1.5,2)D.不能確定

5.(2011-福州模擬)若函數(shù)F(x)的零點(diǎn)與gj)=4*+2*—2的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超

過0.25,則f(x)可以是

()

A.F(x)=4x—1B.f(x)=(x-\Y

C.f(x)=ex—1D.f(x)=ln(x—0.5)

課堂活動(dòng)區(qū)突破考點(diǎn)研析熱點(diǎn)

探究點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)的判斷

【例1】判斷函數(shù)y=lnx+2*—6的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

變式遷移1(2011?煙臺(tái)模擬)若定義在R上的偶函數(shù)F(x)滿足〃*+2)=〃X),且當(dāng)

>￡[0,1]時(shí)，f(x)=x,則函數(shù)y=F(x)—log31x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

()

A.多于4個(gè)B.4個(gè)

C.3個(gè)D.2個(gè)

探究點(diǎn)二用二分法求方程的近似解

【例21求方程2/+3X—3=C的一個(gè)近似解(精確度0.1).

變式遷移2(2011?淮北模擬)用二分法研究函數(shù)/?(分=,+皿卜+0的零點(diǎn)時(shí)，第一

次經(jīng)計(jì)算/'(0)<0,>0,可得其中一個(gè)零點(diǎn)劉仁,第二次應(yīng)計(jì)算.以

上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為

()

人(°'號(hào)B.(0,1)

小)同乖9

探究點(diǎn)三利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)

【例3】已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)/(才)=2aV+2x—3—a,如果函數(shù)尸F(xiàn)(x)在區(qū)間[―1,1]

上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

變式遷移3若函數(shù)f(x)=4、+a-2'+a+l在(-8,十8)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)&的

取值范圍.

⑥課堂小結(jié)

1.全面認(rèn)識(shí)深刻理解函數(shù)零點(diǎn)：

(1)從“數(shù)”的角度看：即是使〃x)=0的實(shí)數(shù)”;

(2)從“形”的角度看：即是函數(shù)/'(*)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(3)若函數(shù)FJ)的圖象在處與x軸相切，則零點(diǎn)劉通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)；

(4)若函數(shù)F(x)的圖象在才=前處與x軸相交，則零點(diǎn)劉通常稱為變號(hào)零點(diǎn).

2.求函數(shù)F(x)的零點(diǎn)的方法：

(1)(代數(shù)法)求方程F(x)=O的實(shí)數(shù)根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；

(2)(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)尸，(*)的圖象聯(lián)系起來，

并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)；

(3)(二分法)主要用于求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，二分法的條件f(a)?f(b)<0表明：用二分

法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn).

3.有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的重要結(jié)論：

(D若連續(xù)不間斷的函數(shù)1J)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則人0至多有一個(gè)零點(diǎn)；

(2)連續(xù)不間斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)；

(3)連續(xù)不間斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值符號(hào)可能不變.

課后練習(xí)區(qū)精題精練規(guī)范答題

(滿分：75分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)

1.(2010?天津)函數(shù)F(x)=2*+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是

()

A.(—2,-1)B.(—1,0)

C.(0,1)D.(1,2)

2.(2011?福州質(zhì)檢)已知函數(shù)fJ)=log2X—?”,若實(shí)數(shù)司是方程〃>)=0的解，且

0<水胸，則〃加)的值

()

A.恒為負(fù)B.等于零

C.恒為正D.不小于零

3.下列函數(shù)圖象與￥軸均有公共點(diǎn)，其中能用二分法求零點(diǎn)的是()

4.函數(shù)F(x)=5—2)5—5)—1有兩個(gè)零點(diǎn)汨、如且汨<如則()

A.Xi<2,2<A2<5

B.Xi>2,尼>5

C.劉<2,彳2>5

D.2<小<5,及>5

[4A-4,xWl

5.(2011?廈門月考)設(shè)函數(shù)f(x)=,，g(x)=log2*,則函數(shù)方(x)

[x—4x+3,JV>1

=f(x)—g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

()

A.4B.3C.2D.1

題號(hào)12345

答案

二、填空題(每小題4分，共12分)

6.定義在R上的奇函數(shù)/'(?滿足：當(dāng)x>0時(shí)，/'a)=2006'+log2oo6A-,則在R上，函

數(shù)F5)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________.

7.(2011?深圳模擬)已知函數(shù)F(x)=x+2*,g(x)=x+lnx,的零

點(diǎn)分別為乂，照，*3,則M,X2,*3的大小關(guān)系是.

8.(2009?山東)若函數(shù)/'(4)=4一才一百(a0,且aWl)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是.

三、解答題(共38分)

9.(12分)己知函數(shù)f(x)=x—x+1+:.

證明：存在加￡(0,1),使/加=用.

10.(12分)已知二次函數(shù)fix)=4V-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間［-1,1］內(nèi)至少存在

一個(gè)實(shí)數(shù)c,使f(c)>0,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.

11.(14分)(2011?杭州調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)=aV+6x+c,且/'(1)=-5，3a>2c>2力，求

證:

⑴心。且一

(2)函數(shù)FJ)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn);

(3)設(shè)小，放是函數(shù)/'(力的兩個(gè)零點(diǎn)，則、一生

答案自主梳理

1.(l)ra)=O⑵X軸零點(diǎn)2.f(a)?f(b)<0(a,6)f(c)=0c3.(擊,0)

(檢0)(T1.0)兩個(gè)一個(gè)無4.f(zz)?/*(/?)<0f(c)①/(冷=0?f(a)?f(r)<0

③F(c)?HZ>)<0

自我檢測(cè)

1.C［當(dāng)xWO時(shí)，令夕+2%—3=0,

解得>=-3；

當(dāng)王>0時(shí)，令-2+lnx=0,解得x=e?,

所以已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).］

2.B3.B4.B5.A

課堂活動(dòng)區(qū)

【例11解題導(dǎo)引判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最常用的方法是令f(x)=O,轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)

數(shù)，解出方程有幾個(gè)根，函數(shù)尸f(x)就有幾個(gè)零點(diǎn)，如果方程的根解不出，還有兩種方法

判斷：方法一是基本方法，是利用零點(diǎn)的存在性原理，要注意參考單調(diào)性可判定零點(diǎn)的唯一

性；方法二是數(shù)形結(jié)合法，要注意作圖技巧.

解方法一設(shè)/U)=ln*+2%—6,

Vy=lnx和y=2x—6均為增函數(shù)，

???F(x)也是增函數(shù).

又?"(1)=0+2—6=—4<0,f(3)=ln3>0,

???F(x)在(1,3)上存在零點(diǎn).又f(x)為增函數(shù)，

:.函數(shù)在(1,3)上存在唯一零點(diǎn).

方法二在同一坐標(biāo)系畫出尸Inx與y=6—2x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個(gè)交

點(diǎn)，故函數(shù)y=ln>+2%—6只有一個(gè)零點(diǎn).

變式遷移1B［由題意知『5)是偶函數(shù)并且周期為2.由7*Cr)-log3|x|=0,得〃>)

=logs1^1,令尸f(x),y=10ga|x|,這兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，畫兩函數(shù)y軸右

【例21解題導(dǎo)引①用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，最好是利用表格，將計(jì)算過程所得的

各個(gè)區(qū)間、中點(diǎn)坐標(biāo)、區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值等置于表格中，可清楚地表示出逐步縮小零點(diǎn)所在

區(qū)間的過程，有時(shí)也可利用數(shù)軸來表示這一過程；

②在確定方程近似解所在的區(qū)間時(shí)，轉(zhuǎn)化為求方程對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間，找出的

區(qū)間［a,⑸長度盡可能小，且滿足f(a)-F(b)<0；

③求方程的近似解，所要求的精確度不同得到的結(jié)果也不同，精確度￡,是指在計(jì)算

過程中得到某個(gè)區(qū)間(a,力)后，直到|&一引<￡時(shí)，可停止計(jì)算，其結(jié)果可以是滿足精確度

的最后小區(qū)間的端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)的任一實(shí)數(shù)，結(jié)果不唯一.

解設(shè)f(x)=2x+3x—3.

經(jīng)計(jì)算，/,(0)=-3<0,Al)=2>0,

所以函數(shù)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)，

即方程+3x—3=0在91)內(nèi)有解.

取(0,1)的中點(diǎn)0.5,經(jīng)計(jì)算F(0.5)<0,

又AD>0,所以方程2/+3才-3=0在(0.5,1)內(nèi)有解，

如此繼續(xù)下去，得到方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間，如下表.

(a,8)(a,b)

的中點(diǎn)(甯

(0,1)0.5AO.5)<0

(0.5,1)0.75f(0.75)>0

(0.5,0.75)0.625f(0.625X0

(0.625,0.75)0.6875AO.6875)<0

(0.6875,0.75)10.6875-0.751=0.0625<0.1

至此，可以看出方程的根落在區(qū)間長度小于0.1的區(qū)間(0.6875,0.75)內(nèi)，可以將區(qū)間

端點(diǎn)0.6875作為函數(shù)f(x)零點(diǎn)的近似值.因此0.6875是方程2?+3A—3=0精確度0.1

的一個(gè)近似解.

變式遷移2D［由于/(0)<0,^>0,而〃力=/+1?￥+號(hào)中的f及5(*+習(xí)在

卜2'+8)上是增函數(shù)，故/'(力在卜/+8)上也是增函數(shù)，

故f(x)在(0,習(xí)上存在零點(diǎn)，所以照￡(0,

第二次計(jì)算應(yīng)計(jì)算0和9在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)

m31解若a=0,f(x)=2x—3,顯然在［-1,1］上沒有零點(diǎn)，所以aWO.

令/=4+8&(3+&)=8#+24&+4=0,

板出-3土巾

解得a=--->一.

①當(dāng)片一3；于時(shí),/'5)=0的重根刀=三亞￡［—1,1］,

當(dāng)a=-節(jié)亞時(shí)，f(x)=0的重根刀=攵/^［—1,1］,

??.y=F(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)在［-1,1］上；

②當(dāng)/'(-1)?Al)=(a-l)(a-5)<0,

即1<水5時(shí)，y—F(x)在［-1,1］上也恰有一個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)y=f(x)在［-1,1］上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則

S0「水0

4=8#+24a+4>0d=84+24a+4>0

V-1〈擊,或《—1<—y-<l

f120f1co

<f-120-1《0

解得a25或a<—MW

綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是於1或忘一3；巾.

變式遷移3解方法一(換元)

設(shè)2"=則函數(shù)F(x)=4"+a?2'+a+l化為g(t)=F+ar+a+1(fG(0,+00)).

函數(shù)f(x)=4'+a?2"+a+l在(-8,+8)上存在零點(diǎn)，等價(jià)于方程￡2+arH-r3+1=0,

①有正實(shí)數(shù)根.

(1)當(dāng)方程①有兩個(gè)正實(shí)根時(shí).

4=3—4a+120

a應(yīng)滿足,力+，2=—a>0,

8?t2=a+l>0

解得：一l〈aW2—24；

(2)當(dāng)方程①有一正根一負(fù)根時(shí)，只需力-t2=a+l<0,

即石<一1；

(3)當(dāng)方程①有一根為。時(shí)，a=-l,此時(shí)方程①的另一根為1.

綜上可知aW2—2，^.

方法二令g(t)=y+at+nM(￡￡(0,+°°)).

(1)當(dāng)函數(shù)g(￡)在(0,+8)上存在兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，

4=才一4a+120

-f>0,

{g0=￡?+1>0

解得一KW2-2隹；

(2)當(dāng)函數(shù)g(E)在(0,+8)上存在一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)在(一8,0)時(shí)，實(shí)數(shù)々應(yīng)滿

足g(0)=a+l<0,

解得水一1；

(3)當(dāng)函數(shù)g1)的一個(gè)零點(diǎn)是0時(shí)，g(O)=a+l=O,&=-1,此時(shí)可以求得函數(shù)g1)

的另一個(gè)零點(diǎn)是1.

綜上⑴(2)⑶知

課后練習(xí)區(qū)

1.B［因?yàn)镕(-l)=g-3<0,A0)=l>0,

所以f(x)在區(qū)間(—1,0)上存在零點(diǎn).］

2.A

3.C［能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必須在給定區(qū)間［a,3上連續(xù)不斷，并且有

F(a)?F(6)<0.A、B中不存在/'(力<0,D中函數(shù)不連續(xù).］

4.C

5.B［當(dāng)后1時(shí)，函數(shù)/'(*)=4x—4與以x)=log2X的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，可得力(x)

有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)彳>1時(shí)，函數(shù)/V)=V—4x+3與g(x)=log2X的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，可得函

數(shù)力(力有1個(gè)零點(diǎn)，，函數(shù)力(x)共有3個(gè)零點(diǎn).］

6.3

解析函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此F(0)=0,當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2006'+log2oocx

在區(qū)間(0,內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，又FJ)為增函數(shù)，因此在(0,+8)內(nèi)有且僅有一個(gè)零

點(diǎn).根據(jù)對(duì)稱性可知函數(shù)在(一8,0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在R上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.

7.Xi<X2<x3

解析令x+2'=0,即2r=-x,設(shè)y=2r,y=—x；

令x+lnx=0,即Inx=~x,

設(shè)y=lnx,y=~x.

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y=2x,y=lnx,y=-x,如圖：汨<0<照<1,令x—5一1=0,

貝J|(0)2—5—1=0,

.?3=呼

即X3］,所以為〈彳2〈照.

1

8.8>\

解析設(shè)函數(shù)y=4(a>0,且2W1)和函數(shù)y=>+a,則函數(shù)f(x)=ar—x—a(a>0,且a#1)

有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)y=4(a>0,且aWl)與函數(shù)尸x+a有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知當(dāng)0<水1

時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合；當(dāng)心1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)y=a*(a1)的圖象過點(diǎn)(0,1),而直

線尸x+a所過的點(diǎn)一定在點(diǎn)(0,1)的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍

是a>l.

9.證明令g(x)=f(x)-*.............................................................................................(2

分)

???以0)=/^)=A|)4=-?

:.?(0)?g焉)<0......................................................................................................................(8

分)

又函數(shù)g(>)在(0,J)上連續(xù)，...............................................(10

分)

所以存在的￡(0,1),使gO>)=0.

即/(刖)=劉................................................................(12

分)

10.解二次函數(shù)F(x)在區(qū)間［—1,1］內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)C,

使〃c)>0的否定是:對(duì)于區(qū)間［―1,1］內(nèi)的任意一個(gè)x都有F(x)W0................................

(4分)

1W0[2p2+3p—9^0

此時(shí)即2