數(shù)學(xué)成長(zhǎng)訓(xùn)練：向量在物理中的應(yīng)用舉例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精主動(dòng)成長(zhǎng)夯基達(dá)標(biāo)1.河水的流速為2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度大小為（)A.10m/sB。m/sC。m/sD.12m/s解析：由題意｜v水|=2m/s,|v船|=10m/s,作出示意圖如圖，∴|v｜=。答案：B2。已知兩個(gè)力F1、F2的夾角為90°，它的合力大小為10N,合力與F1的夾角為60°,那么F1的大小為（）A。53NB。5NC.10ND。52N解析:由題意作出示意圖,有|F1｜=｜F|cos60°=10×=5.答案：B3。某人到商店購(gòu)買了4種商品,這4種商品的單價(jià)用一個(gè)向量表示為a=(5，10，21,6）(單位元）,對(duì)應(yīng)的這4種商品的件數(shù)用一個(gè)向量表示為b=(3,3，2，1），則此人總共應(yīng)付錢____________元。解析:所付錢數(shù)即a、b的數(shù)量積為a·b=（5,10,21，6)·（3,3,2,1）=15+30+42+6=93(元).答案：934.做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的速度為｜v0｜，當(dāng)轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)，速度的改變量為_____________.解析：作出示意圖如右:|Δv|=|v1-v0｜=|v0｜.答案：|v0｜5.人騎自行車的速度為a，風(fēng)速為v2，則逆風(fēng)行駛的速度為________________。解析：設(shè)無(wú)風(fēng)時(shí)自行車的速度為v0，則a=v0+v2,故v0=a-v2,于是逆風(fēng)時(shí)的速度為v0—v2=a—2v2。答案:a-2v26。平面上有兩個(gè)向量e1=(1,0）,e2=(0，1)，今有動(dòng)點(diǎn)P,從P0（-1，2)開始沿著與向量e1+e2相同的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為｜e1+e2｜，另一動(dòng)點(diǎn)Q,從點(diǎn)Q0(—2，-1)出發(fā),沿著與向量3e1+2e2相同的方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度大小為|3e1+2e2|,設(shè)P、Q在t=0秒時(shí)分別在P0、Q0處,則當(dāng)⊥時(shí)，t=____________秒。解析：∵P0（—1,2），Q0（—2，—1），∴=(—1,-3).又∵e1+e2=(1,1),∴|e1+e2｜=2?！?e1+2e2=(3，2)，∴|3e1+2e2｜=?！喈?dāng)t時(shí)刻時(shí),點(diǎn)P的位置為（—1+t，2+t），點(diǎn)Q的位置為(-2+3t，—1+2t）?！?(-1+2t,-3+t）.∵⊥,∴（-1)×（-1+2t）+（—3）×（—3+t)=0?！鄑=2.答案:27.已知一個(gè)與水平方向夾角為30°的力F，F(xiàn)的大小為50N,拉著一個(gè)重80N的木塊在摩擦系數(shù)μ=0。02的水平面上運(yùn)動(dòng)了20米，求F與摩擦力f做功分別為多少？解:設(shè)木塊位移為s,則F力所做的功為F·s=50×20×cos30°=（J）,F在沿直線方向的分解力大小為50×sin30°=25,故f的大小為（80—25）×0.02=1。1。所以f所做的功是f·s=1。1×20×cos180°=-22(J）.8.平面內(nèi)三個(gè)力F1、F2、F3作用于同一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài),已知|F1｜=1N，｜F2|=N,F1、F2的夾角為45°，求F3的大小及與F1的夾角.解:如圖,設(shè)F1、F2的合力為F，則|F|=|F3|，∵∠F1OF2=45°,∴∠OF1F在△OF1F中,由余弦定理得=1+（)2-2×1××（-)=4+=（+1）2.∴｜｜=+1,即｜F3｜=1+。又由正弦定理得sin∠F1OF==,∴∠F1OF=30°，從而F1與F3的夾角為150°?！郌3的大小為（1+3）N，F(xiàn)3與F1的夾角為150°。9。已知兩恒力F1（3，4)、F2(6,-5）作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由A（20，15)移動(dòng)到點(diǎn)B(7，0),試求：（1）F1、F2分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功;（2）F1、F2的合力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功.解析：=（7，0)-（20,15)=(—13,-15），（1）W1=F1·=（3,4)·(-13，—15)=3×(—13)+4×（-15）=—99(焦),W2=F2·=（6，-5)·(—13，—15)=6×（—13）+(—5）×(-15）=—3（焦)。（2)W=f·=（F1+F2)·=［（3，4）+(6,—5)]·（-13,—15)=（9,—1）·（—13，-15)=9×(—13)+(-1)×（-15）=-117+15=—102（焦).10。一年輕的父親欲將不會(huì)走路的小孩的兩條胳膊懸空拎起，結(jié)果造成小孩胳膊受傷，試用向量知識(shí)加以解釋.解析：針對(duì)小孩的兩條胳膊畫出受力圖形,然后進(jìn)行受力分析，并用向量表示。建立數(shù)學(xué)模型：通過(guò)胳膊受力分析，建立向量模型：|F1｜=，θ∈［0,π］來(lái)確定何種情形時(shí),小孩的胳膊容易受損.解:設(shè)孩子自重為G,兩胳膊受力分別為F1、F2，且F1=F2，兩胳膊間夾角為θ，胳膊受力分析如圖（不計(jì)其他因素產(chǎn)生的作用力)，不難建立向量模型：|F1｜=,θ∈［0,π］,當(dāng)θ=0時(shí),｜F1|=；當(dāng)θ=時(shí)，|F1｜=｜G｜;又∈(0，)時(shí)，|F1｜單調(diào)遞增，故θ∈（0，)時(shí)，|F1｜∈(,｜G｜），θ∈(，π）時(shí)，｜F1｜＞｜G｜,此時(shí)欲懸空拎著幼兒的胳膊，極易造成小孩胳膊受傷。走近高考11。(2004廣西高考,7)用三根輕繩將質(zhì)量為m的物塊懸掛在空中，如圖2-5-10所示。已知繩ac和bc與豎直方向的夾角分別為30°和60°，則繩ac和繩bc中的拉力分別為（）圖2-5—10A.mg,mgB。mg，mgC。mg,mg