32　第五章　高考命題探源(二)

高考命題探源(二)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用探源1導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義[命題點分析]本部分內(nèi)容從近幾年高考考查情況來看，特別是全國卷，每年都考查函數(shù)圖象的切線問題，在強調(diào)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的前提下考查導(dǎo)數(shù)運算及方程、不等式等問題，主要體現(xiàn)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，對邏輯推理與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)要求較高．√

[考題來源]本題來源于教材習(xí)題5.2第5題，題目命題模式與習(xí)題完全一致，都是求切線方程的題目，難度相當(dāng)．[試題評價]本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的學(xué)科素養(yǎng)，屬于基礎(chǔ)題．【案例2】

(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y＝(x＋a)ex有兩條過坐標(biāo)原點的切線，則a的取值范圍是________________________．

(－∞，－4)∪(0，＋∞)[考題來源]本題來源于教材習(xí)題5.2第11題，題目命題模式與習(xí)題相仿，都是求解參數(shù)的題目，教材習(xí)題是根據(jù)已知條件求曲線在一點處的切線斜率，進而求參數(shù)的值，高考題考查了過一點的切線方程，

求參數(shù)的取值范圍，難度系數(shù)比教材習(xí)題要高，考查能力要求較高．[試題評價]本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的方法，尤其加強了對過一點和在一點的切線求解的易錯點的考查，著重考查了數(shù)學(xué)運算和邏輯推理的核心素養(yǎng)，難度中等．探源2用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問題[命題點分析]從高考的考查情況來看，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)最為核心的部分，是高考考查的熱點．函數(shù)單調(diào)性的探討，一般就是研究一元二次不等式，特別是含參一元二次不等式，能充分考查數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化與化歸思想，內(nèi)涵極為豐富，使得探討函數(shù)的單調(diào)性成為命題人最為青睞的部分．高考?？疾榈男问剑?1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、討論函數(shù)的單調(diào)性及由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍．(2)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小、證明不等式、判斷函數(shù)零點的個數(shù)．(3)求函數(shù)的極值，利用極值解決最值或求參數(shù)的值與參數(shù)的范圍．主要考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，難度較大．【案例3】

(2023·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)＝aex－lnx在區(qū)間(1，2)單調(diào)遞增，則a的最小值為(

)A．e2

B．e

C．e-1

D．e-2

√

【案例4】

(2022·全國乙卷)已知x＝x1和x＝x2分別是函數(shù)f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點．若x1<x2，則a的取值范圍是________．

[考題來源]本題來源于教材復(fù)習(xí)參考題5第9題，題目命題模式與復(fù)習(xí)參考題相仿，難度系數(shù)增加，教材復(fù)習(xí)參考題是已知極值點，求參數(shù)的值，本題只知道有極大值和極小值，且極小值點小于極大值點，求參數(shù)的范圍，主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．[試題評價]本題考查已知極值情況求解參數(shù)問題，主要考查已知導(dǎo)函數(shù)的零點個數(shù)求解參數(shù)范圍問題，解決這類問題一般需要利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題的討論，本題根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)研究一階導(dǎo)數(shù)的圖象與性質(zhì)，進一步驗證求解參數(shù)范圍．探源3用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題[命題點分析]本部分內(nèi)容是高考?？純?nèi)容，主要考查不等式的恒成立、能成立問題，并將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決，其考查形式一般是證明不等式恒(能)成立和已知恒(能)成立求參數(shù)的范圍，一般以解答題形式出現(xiàn)，綜合能力較強，難度較大，考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心運算．

[解]

(1)f′(x)＝aex－1，當(dāng)a≤0時，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時，令f′(x)＞0，得x＞－lna，令f′(x)＜0，得x＜－lna，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增．綜上可得，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a＞0時，函數(shù)f(x)在(－∞，－lna)上單調(diào)遞減，在(－lna，＋∞)上單調(diào)遞增．

[考題來源]本考題來源于教材復(fù)習(xí)參考題5第18題，高考題和教材復(fù)習(xí)參考題都是考查基本求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法則，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及求最值的方法，難度相當(dāng)．[試題評價]本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及不等式的證明，證明不等式時構(gòu)造函數(shù)，利用第一步的結(jié)論進行下一步的證明，考查了學(xué)生分析問題和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．探源4用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)與方程問題[命題點分析]本部分內(nèi)容是高考的熱點之一，難度較大，通常利用函數(shù)的零點、方程的根、兩函數(shù)圖象的交點等問題考查，這些問題通常借助函數(shù)的單調(diào)性和極值的大小的討論來解決，考查學(xué)生的邏輯推理、直觀想象和運算求解的核心素養(yǎng)．

當(dāng)x＞0時，f(x)單調(diào)遞增，注意到f(0)＝b－1≤2a－1＜0，限制x＞1，則f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＞(x－1)x2－ax2－|b|≥(x－1)x2－ax2－|b|x2＝(x－1－a－|b|)x2，令(x－1－a－|b|)x2≥0?x≥1＋a＋|b|，取x0＝1＋a＋|b|，則f(1＋a＋|b|)＞0，∴f(x)在(0，1＋a＋|b|)上有一個零點．綜上，f(x)在R上有一個零點x0，且x0∈(0，1＋a＋|b|)．注釋：對于選②最后的取點思路(放縮取點)，限制x＞1，∴ex＞x2，f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＞(x－1)x2－ax2－|b|≥(x－1)x2－ax2－|b|x2，令x－a－1－|b|≥0?x≥a＋1＋|b|，取x＝a＋1＋|b|可使f(a＋1＋|b|)＞0．[考題來源]本題來源于教材復(fù)習(xí)參考題5第19題，題目命題模式與復(fù)習(xí)參考題相仿，難度系數(shù)相同，都是討論帶有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，不同的是教材復(fù)習(xí)參考題是已知函數(shù)的零點個數(shù)求解參數(shù)的取值范圍，本題是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)問題，主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象問題，難度系數(shù)相當(dāng)．[試題評價]本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性以及證明函數(shù)零點個數(shù)問題，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算和邏輯推理的核心素養(yǎng)．探源5用導(dǎo)數(shù)解決實際應(yīng)用問題[命題點分析]本考點的考查是高考?？純?nèi)容之一，難度中等以上，解決實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵在于把實際問題抽象為函數(shù)問題再利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)求最值問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．

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[考題來源]本題來源于教材