高考數(shù)學選填壓軸題型第11講數(shù)列與函數(shù)、不等式相結合問題專題練習(原卷版+解析)

1/7第11講數(shù)列與函數(shù)、不等式相結合問題一．方法綜述數(shù)列與函數(shù)、不等式相結合是數(shù)列高考中的熱點問題，難度較大，求數(shù)列與函數(shù)、不等式相結合問題時會滲透多種數(shù)學思想.因此求解過程往往方法多、靈活性大、技巧性強，但萬變不離其宗，只要熟練掌握各個類型的特點即可.在考試中時常會考查一些壓軸小題，如數(shù)列中的恒成立問題、數(shù)列中的最值問題、數(shù)列性質的綜合問題、數(shù)列與函數(shù)的綜合問題、數(shù)列與其他知識綜合問題中都有所涉及，本講就這類問題進行分析.二．解題策略類型一數(shù)列與不等式1.1數(shù)列與基本不等式【例1】某企業(yè)投入100萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為________．（2020·廣東高三）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，若，則的最小值為（）A．9 B．12 C．16 D．18【舉一反三】1.（2020山東省濟寧市模擬）已知正項等比數(shù)列滿足：，若存在兩項使得，則的最小值為2．（2020·江蘇揚州中學）已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a1=1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則的最小值為1.2數(shù)列中的恒成立問題【例2】（2020·四川雙流中學）已知定義域為的函數(shù)滿足，當時，，設在上的最大值為，且的前n項和為，若對任意的正整數(shù)n均成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【舉一反三】1.（2020安徽省毛坦廠中學）已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，若對于任意的，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．2.（2020·江蘇高三模擬）設等差數(shù)列的前n項和為，若不等式對任意正整數(shù)n都成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．1.3數(shù)列中的最值問題【例3】（2020·浙江高三期末）已知數(shù)列中，，若，設，若，則正整數(shù)的最大值為（）A．1009 B．1010 C．2019 D．2020【舉一反三】1．（2020·湖南高三月考）數(shù)列滿足,且．記數(shù)列的前n項和為,則當取最大值時n為（）A．11 B．12 C．11或13 D．12或132.（2020浙江省湖州三校）已知數(shù)列滿足，，則使的正整數(shù)的最小值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021類型二數(shù)列與函數(shù)的綜合問題【例4】（2020·上海中學高三）已知函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，且在上是單調遞增函數(shù)，函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，若，則（）A．18 B．9 C．27 D．81【舉一反三】1.（2020·湖南模擬）已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，當x<0時，f(x)>1，且對任意的實數(shù)x，y，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若數(shù)列滿足＝f(0)，且f()＝()，則的值為()A．2209 B．3029 C．4033 D．22492．已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)滿足，則的最大值為A． B． C． D．類型三數(shù)列與其他知識綜合問題【例5】（2020·湖南衡陽市八中高三）已知函數(shù)，，若函數(shù)的所有零點依次記為，且，則【舉一反三】1．（2020·上海高三）已知等差數(shù)列（公差不為零）和等差數(shù)列，如果關于的實系數(shù)方程有實數(shù)解，那么以下九個方程（）中，無實數(shù)解的方程最多有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個2.將向量組成的系列稱為向量列，并定義向量列的前項和．若，則下列說法中一定正確的是（）A.B.不存在，使得C.對，且，都有D.以上說法都不對三．強化訓練1．（2020·江蘇海安高級中學）數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，設（），則數(shù)列的最大項為（）A． B． C． D．不確定2.（2020許昌市模擬）已知數(shù)列，的前項和分別為，，且，，，若恒成立，則的最小值為（）A． B． C．49 D．3．（2020·上海市實驗學校高三）已知函數(shù)的定義域為，當時，，對任意的，成立，若數(shù)列滿足，且，則的值為（）A． B． C． D．4.（2020四川省成都市外國語學校一診）在正項等比數(shù)列中，，．則滿足的最大正整數(shù)的值為（）A．10 B．11 C．12 D．135.若數(shù)列的通項公式分別為，且，對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．6.（2020·遼寧實驗中學高三）已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且滿足．若，為函數(shù)的導函數(shù)，則()A． B． C． D．7．（2020貴陽模擬）設，點，，，，設對一切都有不等式成立，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．8．（2020·浙江高三）已知數(shù)列滿足：，．則下列說法正確的是（）A． B．C． D．9．（2020·重慶高三）已知在點處的切線方程為，，的前項和為，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．10．（2020·寧夏高考模擬）已知數(shù)列滿足，，且，記為數(shù)列的前項和，數(shù)列是首項和公比都是2的等比數(shù)列，則使不等式成立的最小整數(shù)n為（）A．7 B．6 C．5 D．411.將正整數(shù)12分解成兩個正整數(shù)的乘積有，，三種，其中是這三種分解中兩數(shù)差的絕對值最小的，我們稱為12的最佳分解.當（且）是正整數(shù)的最佳分解時，我們定義函數(shù)，例如.數(shù)列的前100項和為__________．12.（2020河北省衡水中學）已知數(shù)列的前項和.若是中的最大值，則實數(shù)的取值范圍是_____．13.已知數(shù)列中，，點列在內部，且與的面積比為，若對都存在數(shù)列滿足，則的值為______.14.已知函數(shù)，點O為坐標原點，點，向量，θn是向量與的夾角，則使得恒成立的實數(shù)t的取值范圍為___________．15．（2020·河北高三期末（理））數(shù)列是首項，公差為的等差數(shù)列，其前和為，存在非零實數(shù)，對任意有恒成立，則的值為__________．16．（2020·海南中學）對于三次函數(shù)，定義：設是的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的拐點.某同學經過探索發(fā)現(xiàn)任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設函數(shù)，則______；______.17．（2020·上海高三（理））定義函數(shù)如下：對于實數(shù)，如果存在整數(shù)，使得，則，已知等比數(shù)列的首項，且，則公比的取值范圍是_______.18．（2020·上海市南洋模范中學高三）設，圓（）與軸正半軸的交點為，與曲線的交點為，直線與軸的交點為，若數(shù)列滿足：，，要使數(shù)列成等比數(shù)列，則常數(shù)________第11講數(shù)列與函數(shù)、不等式相結合問題第11講數(shù)列與函數(shù)、不等式相結合問題一．方法綜述數(shù)列與函數(shù)、不等式相結合是數(shù)列高考中的熱點問題，難度較大，求數(shù)列與函數(shù)、不等式相結合問題時會滲透多種數(shù)學思想.因此求解過程往往方法多、靈活性大、技巧性強，但萬變不離其宗，只要熟練掌握各個類型的特點即可.在考試中時常會考查一些壓軸小題，如數(shù)列中的恒成立問題、數(shù)列中的最值問題、數(shù)列性質的綜合問題、數(shù)列與函數(shù)的綜合問題、數(shù)列與其他知識綜合問題中都有所涉及，本講就這類問題進行分析.二．解題策略類型一數(shù)列與不等式1.1數(shù)列與基本不等式【例1】某企業(yè)投入100萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為________．【答案】10【解析】由題意可知：每年的維護費構成一個以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，故第n年的維護費為：an=2+2（n﹣1）=2n，總的維護費為：=n（n+1）故年平均費用為：y=，即y=n++1.5，（n為正整數(shù)）；由基本不等式得：y=n++1.5≥2+1.5=21.5（萬元）當且僅當n=，即n=10時取到等號，即該企業(yè)10年后需要更新設備．故答案為：10．（2020·廣東高三）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，若，則的最小值為（）A．9 B．12 C．16 D．18【答案】D【解析】由得，所以.所以.當且僅當時取得最小值.故選：D【指點迷津】本題考查了等比數(shù)列的相關性質以及基本不等式的相關性質，等比數(shù)列的通項公式是，等比中項，基本不等式有，考查公式的使用，考查化歸與轉化思想.【舉一反三】1.（2020山東省濟寧市模擬）已知正項等比數(shù)列滿足：，若存在兩項使得，則的最小值為【答案】【解析】因為數(shù)列是正項等比數(shù)列，，，所以，，，所以，，，，，因為，所以，，，當且僅當時“=”成立，所以的最小值為.2．（2020·江蘇揚州中學）已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比數(shù)列，若a1=1，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則的最小值為【答案】4【解析】∵a1，a3，a13成等比數(shù)列，a1=1，∴a32=a1a13，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴an=1+2（n-1）=2n-1．Sn=n+×2=n2．∴===n+1+-2≥2-2=4，當且僅當n+1=時取等號，此時n=2，且取到最小值4，1.2數(shù)列中的恒成立問題【例2】（2020·四川雙流中學）已知定義域為的函數(shù)滿足，當時，，設在上的最大值為，且的前n項和為，若對任意的正整數(shù)n均成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】運用二次函數(shù)的最值和指數(shù)函數(shù)的單調性求得x∈[0，2）時f（x）的最大值，由遞推式可得{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式和不等式恒成立思想可得k的范圍．【詳解】當x∈[0，2）時，，所以函數(shù)f(x)在[0，）上單調遞增，在（，1）上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，可得當0≤x＜1時，f（x）的最大值為f（）＝；1≤x<2時，f（x）的最大值為f（）＝1，即有0≤x＜2時，f（x）的最大值為,即首項，由可得可得{an}是首項為，公比為的等比數(shù)列，可得Sn＝＝，由Sn＜k對任意的正整數(shù)n均成立，可得k≥．故選：B．【指點迷津】對于數(shù)列中的恒成立問題，仍要轉化為求最值的問題求解；【舉一反三】1.（2020安徽省毛坦廠中學）已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，若對于任意的，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，則，等差數(shù)列的公差，.由，得，則不等式恒成立等價于恒成立，而，問題等價于對任意的，恒成立.設，，則，即，解得或.故選:A.2.（2020·江蘇高三模擬）設等差數(shù)列的前n項和為，若不等式對任意正整數(shù)n都成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】令,由，當時，取得最小值，由此能求出結果.【詳解】,令，則，當時，取最小值，即，，因為不等式對任意正整數(shù)n都成立，當，所以，當時，，綜上.故選：D1.3數(shù)列中的最值問題【例3】（2020·浙江高三期末）已知數(shù)列中，，若，設，若，則正整數(shù)的最大值為（）A．1009 B．1010 C．2019 D．2020【答案】B【解析】,∴,∴,即數(shù)列為單調增數(shù)列,,即,,,,即,正整數(shù)的最大值為1010,故選:B.【指點迷津】本題利用數(shù)列的遞推公式,確定數(shù)列的單調性，再根據(jù)范圍求正整數(shù)的最小值.在解題時需要一定的邏輯運算與推理的能力，其中確定數(shù)列單調性是解題的關鍵【舉一反三】1．（2020·湖南高三月考）數(shù)列滿足,且．記數(shù)列的前n項和為,則當取最大值時n為（）A．11 B．12 C．11或13 D．12或13【答案】C【解析】【分析】分的奇偶討論數(shù)列的奇偶性分別滿足的條件,再分析的最大值即可.【詳解】由題,當為奇數(shù)時,,.故.故奇數(shù)項為公差為1的等差數(shù)列.同理當為偶數(shù)時,.故偶數(shù)項為公差為-3的等差數(shù)列.又即.又.所以.綜上可知,奇數(shù)項均為正數(shù),偶數(shù)項隨著的增大由正變負.故當取最大值時n為奇數(shù).故n為奇數(shù)且此時有,解得.故或.故選：C2.（2020浙江省湖州三校）已知數(shù)列滿足，，則使的正整數(shù)的最小值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】C【解析】令,則,所以，從而，，因為,所以數(shù)列單調遞增，設當時,當時,所以當時，，，從而,因此,選C.類型二數(shù)列與函數(shù)的綜合問題【例4】（2020·上海中學高三）已知函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，且在上是單調遞增函數(shù)，函數(shù)，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，若，則（）A．18 B．9 C．27 D．81【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質可得f（﹣x）+f（x）＝0，又由g（x）＝f（x﹣3）+x且g（a1）+g（a2）+…+g（a9）＝27，可得f（a1﹣3）+f（a2﹣3）+…+f（a9﹣3）+（a1+a2+…+a9）＝27，結合等差數(shù)列的性質可得f（a1﹣5）＝﹣f（a9﹣5）＝f（5﹣a9），進而可得a1﹣5＝5﹣a9，即a1+a9＝10，進而計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x）為定義域R上的奇函數(shù)，則有f（﹣x）+f（x）＝0，∵g（x）＝f（x﹣3）+x， ∴若g（a1）+g（a2）+…+g（a9）＝27，即f（a1﹣3）+a1+f（a2﹣3）+a2+…+f（a9﹣3）+a9＝27，即f（a1﹣3）+f（a2﹣3）+…+f（a9﹣3）+（a1+a2+…+a9）＝27，f（a1﹣3）+f（a2﹣3）+…+f（a9﹣3））+（a1﹣3+a2﹣3+…+a9﹣3）＝0，又由y＝f（x）+x為定義域R上的奇函數(shù)，且在R上是單調函數(shù)，且（a1﹣3）+（a9﹣3）＝（a2﹣3）+（a8﹣3）＝…＝2（a5﹣3），∴a5﹣3＝0，即a1+a9＝a2+a8＝…＝2a5＝6，則a1+a2+…+a9＝9a5＝27；故選：C．【指點迷津】(1)運用函數(shù)性質解決問題時，先要正確理解和把握函數(shù)相關性質本身的含義及其應用方向.(2)在研究函數(shù)性質特別是奇偶性、周期、對稱性、單調性、最值、零點時，要注意用好其與條件的相互關系，結合特征進行等價轉化研究.如奇偶性可實現(xiàn)自變量正負轉化，周期可實現(xiàn)自變量大小轉化，單調性可實現(xiàn)去“f”，即將函數(shù)值的大小轉化自變量大小關系,對稱性可得到兩個對稱的自變量所對應函數(shù)值關系.【舉一反三】1.（2020·湖南模擬）已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，當x<0時，f(x)>1，且對任意的實數(shù)x，y，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若數(shù)列滿足＝f(0)，且f()＝()，則的值為()A．2209 B．3029 C．4033 D．2249【答案】C【解析】【分析】因為該題為選擇題，可采用特殊函數(shù)來研究，根據(jù)條件，底數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)滿足條件，可設函數(shù)為，從而求出，再利用題目中所給等式可證明數(shù)列為等差數(shù)列，最后利用等差數(shù)列定義求出結果。【詳解】根據(jù)題意，可設，則，因為，所以，所以，所以數(shù)列數(shù)以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故選C。2．已知定義在實數(shù)集上的函數(shù)滿足，則的最大值為A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題設可得，即，由此可得，則或，又，故，所以，則，令，則，因為，所以令可得極值點為，故當時，；當時，，且，所以，即的最大值為，應選答案B．【指點迷津】本題的求解思路是依據(jù)題設中所提供的條件信息“定義在實數(shù)集上的函數(shù)滿足”，并對這個遞推的等式運用演繹推理的思維模式，將其巧妙地轉化為，然后再借助題設推得，從而求出，明確目標是以為變量的函數(shù)，最后借助導數(shù)求出其所有極值，則極值中最大在即為所求函數(shù)的最大值，使得問題巧妙獲解．本題求解過程中體現(xiàn)了等價轉化與化歸的數(shù)學思想及構建函數(shù)的建模思想，同時換元法、從一般到特殊的演繹推理的推理論證能力也得到具體運用和展示．類型三數(shù)列與其他知識綜合問題【例5】（2020·湖南衡陽市八中高三）已知函數(shù)，，若函數(shù)的所有零點依次記為，且，則【答案】【解析】函數(shù)，令，可得，即函數(shù)的對稱軸方程為，又的周期為，令，可得，所以函數(shù)在上有29條對稱軸，根據(jù)正弦函數(shù)的性質可知，（最后一條對稱軸為函數(shù)的最大值點，應取前一條對應的對稱軸）將以上各式相加得【指點迷津】這類題型往往出現(xiàn)在在填空題最后兩題，綜合性較強，同學們往往因為某一點知識掌握不牢就導致本題“全盤皆輸”，解答這類問題首先不能慌亂更不能因貪快而審題不清，其次先從最有把握的命題入手，最后集中力量攻堅最不好理解的命題.【舉一反三】1．（2020·上海高三）已知等差數(shù)列（公差不為零）和等差數(shù)列，如果關于的實系數(shù)方程有實數(shù)解，那么以下九個方程（）中，無實數(shù)解的方程最多有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【解析】設等差數(shù)列的公差為不為零,等差數(shù)列的公差為，因為關于的實系數(shù)方程有實數(shù)解，所以，即,化簡得，所以第五個方程有解.設方程與方程的判別式分別為和，則,所以和至多一個成立,同理可知,和至多一個成立,和至多一個成立,和至多一個成立,所以在所給的個方程中無實數(shù)解的方程最多個.故選:B2.將向量組成的系列稱為向量列，并定義向量列的前項和．若，則下列說法中一定正確的是（）A.B.不存在，使得C.對，且，都有D.以上說法都不對【答案】C【解析】由，則，所以數(shù)列構成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，又當時，，所以當，且時，是成立的，故選C.三．強化訓練1．（2020·江蘇海安高級中學）數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，設（），則數(shù)列的最大項為（）A． B． C． D．不確定【答案】B【解析】【分析】觀察到有根號，且與下標之和為定值，故兩邊平方．平方后出現(xiàn)想到用等差數(shù)列性質，想到用基本不等式．【詳解】由兩邊平方得，由等差數(shù)列性質得，當且僅當即時成立，故最大值為，故選B．2.（2020許昌市模擬）已知數(shù)列，的前項和分別為，，且，，，若恒成立，則的最小值為（）A． B． C．49 D．【答案】B【解析】當時，，解得.當時，由，得，兩式相減并化簡得，由于，所以，故是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以.則，故，由于是單調遞增數(shù)列，，.故的最小值為，故選B.3．（2020·上海市實驗學校高三）已知函數(shù)的定義域為，當時，，對任意的，成立，若數(shù)列滿足，且，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】試題分析：∵，∴，∴，，設，，∵，∴，∴，所以為增函數(shù)．，，，，，，∴．4.（2020四川省成都市外國語學校一診）在正項等比數(shù)列中，，．則滿足的最大正整數(shù)的值為（）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【解析】∵正項等比數(shù)列中，，，∴.∵，解可得，或（舍），∴，∵，∴.整理可得，，∴，經檢驗滿足題意，故選：C．5.若數(shù)列的通項公式分別為，且，對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】D【解析】，故當n為奇數(shù)，-a<2+,又2+單調遞減，故2+，故-a2，解a當n為偶數(shù)，又2-單調遞增，故2-，故，綜上a故選：D6.（2020·遼寧實驗中學高三）已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，且滿足．若，為函數(shù)的導函數(shù)，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】通過數(shù)列各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，可以求出，而即求數(shù)列的前項和，通過錯位相減法求出即可．【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，，，，且；或（舍．．，．，，．令，①則，②①②得：，．即．故選：．7．（2020貴陽模擬）設，點，，，，設對一切都有不等式成立，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意知sin，∴，∴，隨n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上單增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整數(shù)的最小值為3.8．（2020·浙江高三）已知數(shù)列滿足：，．則下列說法正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】考察函數(shù)，則先根據(jù)單調性可得，再利用單調性可得.【詳解】考察函數(shù)，由可得在單調遞增，由可得在單調遞減且，可得，數(shù)列為單調遞增數(shù)列，如圖所示：且，，圖象可得，所以，故選B.9．（2020·重慶高三）已知在點處的切線方程為，，的前項和為，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，∴，解得，∴．設，則，∴在上單調遞減，∴，即，令，則，∴，故．設，則，∴在上單調遞增，∴，即，令，則，∴，故．綜上選A．10．（2020·寧夏高考模擬）已知數(shù)列滿足，，且，記為數(shù)列的前項和，數(shù)列是首項和公比都是2的等比數(shù)列，則使不等式成立的最小整數(shù)n為（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】試題分析：因為，∴當為偶數(shù)時，可得，即，是以為首項，以為公比的等比數(shù)列；當為奇數(shù)時，可得，即，是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，，∵數(shù)列是首項和公比都是的等比數(shù)列，，則等價為，即，即分析函數(shù)與，則當時，，當時，不成立，當時，不成立，當時，不成立，當時，成立，當時，恒成立，故使不等式成立的最小整數(shù)為，故選C．11.將正整數(shù)12分解成兩個正整數(shù)的乘積有，，三種，其中是這三種分解中兩數(shù)差的絕對值最小的，我們稱為12的最佳分解.當（且）是正整數(shù)的最佳分解時，我們定義函數(shù)，例如.數(shù)列的前100項和為__________．【答案】【解析】當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，，，故答案為.12.（2020河北省衡水中學）已知數(shù)列的前項和.若是中的最大值，則實數(shù)的取值范圍是_____．【答案】【解析】因為，所以當時，；當時，也滿足上式；當時，，當時，，綜上，；因為是中的最大值，所以有且，解得.13.已知數(shù)列中，，點列在內部，且與的面積比為，若對都存在數(shù)列滿足，則的值為______.【答案】80【解析】在上取點，使得，則在線段上．

，三點共線，

，即故答案為：80．14.已知函數(shù)，點O為坐標原點，點，向量，θn是向量與的夾角，則使得恒成立的實數(shù)t的取值范圍為___________．【答案】【解析】根據(jù)題意得,是直線OAn的傾斜角，則：，據(jù)此可得：結合恒成立的結論可得實數(shù)t的