第14講 向量極化恒等式

第14講向量極化恒等式【要點(diǎn)總結(jié)】1.極化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的eq\f(1,4).2.平行四邊形PMQN，O是對角線交點(diǎn).則：(1)eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[|PQ|2－|NM|2](平行四邊形模式)；(2)eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝|PO|2－eq\f(1,4)|NM|2(三角形模式).【典例1】如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點(diǎn)．eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值為________．【解析】設(shè)BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n.根據(jù)向量的極化恒等式，有eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1.聯(lián)立解得n2＝eq\f(5,8)，m2＝eq\f(13,8).因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq\f(7,8).即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(7,8).【典例2】如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，MN是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦)，P為正方體表面上的動點(diǎn)，當(dāng)弦MN的長度最大時，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍是________．【解析】由正方體的棱長為2，得內(nèi)切球的半徑為1，正方體的體對角線長為2eq\r(3).當(dāng)弦MN的長度最大時，MN為球的直徑．設(shè)內(nèi)切球的球心為O，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－eq\o(ON,\s\up6(→))2＝eq\o(PO,\s\up6(→))2－1.由于P為正方體表面上的動點(diǎn)，故OP∈[1，eq\r(3)]，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))∈[0,2]．【典例3】(1)在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝________.(2)(2018·上海調(diào)研)已知正三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O，點(diǎn)P是圓O上的一個動點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是________.【解析】(1)因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，由極化恒等式得：eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AM|2－eq\f(1,4)|BC|2＝9－eq\f(1,4)×100＝－16.(2)取AB的中點(diǎn)D，連接CD，因?yàn)槿切蜛BC為正三角形，所以O(shè)為三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2eq\r(3).又由極化恒等式得：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|PD|2－eq\f(1,4)|AB|2＝|PD|2－3，因?yàn)镻在圓O上，所以當(dāng)P在點(diǎn)C處時，|PD|max＝3，當(dāng)P在CO的延長線與圓O的交點(diǎn)處時，|PD|min＝1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[－2，6].【典例4】(2018·諸暨適應(yīng)性考試)已知AB是圓O的直徑，AB長為2，C是圓O上異于A，B的一點(diǎn)，P是圓O所在平面上任意一點(diǎn)，則(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值為()A.－eq\f(1,4) B.－eq\f(1,3) C.－eq\f(1,2) D.－1【解析】eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，∴(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，取OC中點(diǎn)D，由極化恒等式得，eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝|PD|2－eq\f(1,4)|OC|2＝|PD|2－eq\f(1,4)，又|PD|eq\o\al(2,min)＝0，∴(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值為－eq\f(1,2).【典例5】如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))的值是()A.44B.22C.24D.72【解析】如圖，取AB中點(diǎn)E，連接EP并延長，交AD延長線于F，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(（\o(AP,\s\up6(→))＋\o(BP,\s\up6(→))）2－（\o(AP,\s\up6(→))－\o(BP,\s\up6(→))）2,4)＝eq\f(（2\o(EP,\s\up6(→))）2－\o(AB,\s\up6(→))2,4)＝2，∴EP＝3eq\r(2)，又∵eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴AE＝2DP，即△FAE中，DP為中位線，AF＝2AD＝10，AE＝eq\f(1,2)AB＝4，F(xiàn)E＝2PE＝6eq\r(2)，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(AF2＋AE2－EF2,2)＝eq\f(100＋16－72,2)＝22.【典例6】若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值為()A.2B.3C.6D.8【解析】如圖，由已知|OF|＝1，取FO中點(diǎn)E，連接PE，由極化恒等式得：eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝|PE|2－eq\f(1,4)|OF|2＝|PE|2－eq\f(1,4)，∵|PE|eq\o\al(2,max)＝eq\f(25,4)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值為6.【典例7】已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動點(diǎn)，則eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))的值為________.【解析】取AE中點(diǎn)O，設(shè)|AE|＝x(0≤x≤1)，則|AO|＝eq\f(1,2)x，∴eq\o(DE,\s\up6(→))·eq\o(DA,\s\up6(→))＝|DO|2－eq\f(1,4)|AE|2＝12＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))eq\s\up12(2)－eq\f(1,4)x2＝1.【典例8】(2018·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)在面積為2的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，則eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2的最小值是________.【解析】取BC的中點(diǎn)為D，連接PD，則由極化恒等式得eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\f(\o(BC,\s\up6(→))2,4)＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\o(PD,\s\up6(→))2＋eq\f(3\o(BC,\s\up6(→))2,4)≥eq\f(\o(AD,\s\up6(→))2,4)＋eq\f(3\o(BC,\s\up6(→))2,4)此時當(dāng)且僅當(dāng)eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))時取等號，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2≥eq\f(\o(AD,\s\up6(→))2,4)＋eq\f(3\o(BC,\s\up6(→))2,4)≥2eq\r(\f(\o(AD,\s\up6(→))2,4)·\f(3\o(BC,\s\up6(→))2,4))＝2eq\r(3).【典例9】已知在△ABC中，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足P0B＝eq\f(1,4)AB，且對于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，則()A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90°C．AB＝AC D．AC＝BC【解析】如圖所示，取AB的中點(diǎn)E，因?yàn)镻0B＝eq\f(1,4)AB，所以P0為EB的中點(diǎn)，取BC的中點(diǎn)D，則DP0為△CEB的中位線，DP0∥CE.根據(jù)向量的極化恒等式，有eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2，eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))＝eq\o(P0D,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2.又eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))≥eq\o(P0B,\s\up6(→))·eq\o(P0C,\s\up6(→))，則|eq\o(PD,\s\up6(→))|≥|eq\o(P0D,\s\up6(→))|恒成立，必有DP0⊥AB.因此CE⊥AB，又E為AB的中點(diǎn)，所以AC＝BC.【典例10】如圖所示，正方形ABCD的邊長為1，A，D分別在x軸，y軸的正半軸(含原點(diǎn))上滑動，