新高考數(shù)學專題復習專題04函數(shù)的性質(zhì)專題練習(學生版+解析)

專題04函數(shù)的性質(zhì)一、題型選講題型一、函數(shù)的奇偶性正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之也成立.利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性.填空題，可用特殊值法解答，但取特值時，要注意函數(shù)的定義域．例1、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）函數(shù)是上的奇函數(shù)，當時，，則當時，（）A． B．C． D．例2、（2020·山東省淄博實驗中學高三上期末）已知定義在上的奇函數(shù)，滿足時，，則的值為（）A．-15 B．-7 C．3 D．15例3、（2020屆浙江省臺州市溫嶺中學3月模擬）若函數(shù)是奇函數(shù)，則使的的取值范圍為（）A． B．C． D．例4、【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】設函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為A． B．C． D．題型二、函數(shù)的單調(diào)性已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值或范圍要注意以下兩點：①若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的；②分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值.對于復合函數(shù)y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，且y＝f(t)在區(qū)間(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是單調(diào)函數(shù)，若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相同(同時為增或減)，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)；若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相反，則y＝f[g(x)]為減函數(shù).簡稱：同增異減.例5、（江蘇省如皋市2019-2020學年高三上學期10月調(diào)研）已知函數(shù)在上為單調(diào)増函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為________．例6、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是例7、（2020屆山東師范大學附中高三月考）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，有恒成立，若，則x的取值范圍是________．題型三、函數(shù)的周期性1、若是一個周期函數(shù)，則，那么，即也是的一個周期，進而可得：也是的一個周期2、函數(shù)周期性的判定：（1）：可得為周期函數(shù)，其周期（2）的周期（3）的周期（4）（為常數(shù)）的周期（5）（為常數(shù)）的周期例8、(2019通州、海門、啟東期末）已知函數(shù)f(x)的周期為4，且當x∈(0，4]時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(cos\f(πx,2)，,0<x≤2，,log2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，,2<x≤4.)))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))的值為________．例9、(2017南京三模）已知函數(shù)f(x)是定義在R上且周期為4的偶函數(shù)．當x∈[2，4]時，f(x)＝|log4(x－eq\f(3,2))|，則f(eq\f(1,2))的值為▲．題型四函數(shù)的對稱性函數(shù)的對稱性要注意一下三點：（1）關(guān)于軸對稱（當時，恰好就是偶函數(shù)）（2）關(guān)于軸對稱（3）是偶函數(shù)，則，進而可得到：關(guān)于軸對稱。最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對稱性，則只需要分析一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個函數(shù)的性質(zhì)，主要體現(xiàn)在以下幾點：（1）可利用對稱性求得某些點的函數(shù)值（2）在作圖時可作出一側(cè)圖像，再利用對稱性得到另一半圖像（3）極值點關(guān)于對稱軸（對稱中心）對稱（4）在軸對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱軸對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；在中心對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱中心對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同例10、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學高三下期初）已知是定義在上的奇函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對稱.若當時，，則（）A．0 B．1 C．2 D．4例11、（2018年徐州模擬）已知，方程在內(nèi)有且只有一個，則在區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)為例12、（2019年宿遷中學模擬）已知定義在上的函數(shù)滿足：，當時，，則______________題型五、單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合例13、【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設函數(shù)，則f(x)A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減例14、【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設是定義域為R的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）例15、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)為上的偶函數(shù) D．函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)二、達標訓練1、（2020屆山東省棗莊市高三上學期統(tǒng)考）下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．2、【2020年新高考全國Ⅰ卷】若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是A． B．C． D．3、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設函數(shù)的定義域為R，滿足，且當時，．若對任意，都有，則m的取值范圍是A． B． C． D．4、【2020年高考江蘇】已知y=f(x)是奇函數(shù)，當x≥0時，，則的值是▲．5、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】已知是奇函數(shù)，且當時，.若，則__________．6、【2019年高考北京理數(shù)】設函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．7、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則不等式的解集為__________．8、（2020屆山東省濱州市三校高三上學期聯(lián)考）已知定義在上的函數(shù)滿足，且圖像關(guān)于對稱，當時，，則________.9、（2020屆浙江省高中發(fā)展共同體高三上期末）函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則____________________，_________________.10、（2020屆山東省九校高三上學期聯(lián)考）已知表示不超過的最大整數(shù)，如，，.令，，則下列說法正確的是__________.①是偶函數(shù)②是周期函數(shù)③方程有4個根④的值域為11、.（江蘇省如皋市2019-2020學年高三上學期10月調(diào)研）設函數(shù)，則不等式的解集為_____________.12、（2020屆江蘇省南通市高三下學期3月開學考試）已知是定義在上的偶函數(shù).當時，，則不等式的解集為_______.專題04函數(shù)的性質(zhì)一、題型選講題型一、函數(shù)的奇偶性正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，必須把握好兩個問題：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要非充分條件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定義域上的恒等式.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，反之也成立.利用這一性質(zhì)可簡化一些函數(shù)圖象的畫法，也可以利用它去判斷函數(shù)的奇偶性.填空題，可用特殊值法解答，但取特值時，要注意函數(shù)的定義域．例1、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）函數(shù)是上的奇函數(shù)，當時，，則當時，（）A． B．C． D．【答案】C【解析】時，.當時，，，由于函數(shù)是奇函數(shù)，，因此，當時，，故選C.例2、（2020·山東省淄博實驗中學高三上期末）已知定義在上的奇函數(shù)，滿足時，，則的值為（）A．-15 B．-7 C．3 D．15【答案】A【解析】因為奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點中心對稱則,解得因為奇函數(shù)當時,則故選:A例3、（2020屆浙江省臺州市溫嶺中學3月模擬）若函數(shù)是奇函數(shù)，則使的的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，可得，則，有，解可得，即函數(shù)的定義域為，設，則，，則在上為增函數(shù)，而在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，若，即，解可得，則，即，解得，又由，則有，即的取值范圍為；故選：A.例4、【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】設函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為A． B．C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，解得，所以，，所以，所以曲線在點處的切線方程為，化簡可得，故選D．題型二、函數(shù)的單調(diào)性已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值或范圍要注意以下兩點：①若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的；②分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值.對于復合函數(shù)y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在區(qū)間(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，且y＝f(t)在區(qū)間(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是單調(diào)函數(shù)，若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相同(同時為增或減)，則y＝f[g(x)]為增函數(shù)；若t＝g(x)與y＝f(t)的單調(diào)性相反，則y＝f[g(x)]為減函數(shù).簡稱：同增異減.例5、（江蘇省如皋市2019-2020學年高三上學期10月調(diào)研）已知函數(shù)在上為單調(diào)増函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】函數(shù)在上為單調(diào)増函數(shù)，需，解得.故答案為：.例6、函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】【解析】思路：先分析的定義域：，再觀察解析式可得可視為函數(shù)的復合函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減的特點，可分別分析兩個函數(shù)的單調(diào)性，對于而言，對是減函數(shù)。所以如要求得增區(qū)間，則中對也應為減函數(shù)。結(jié)合定義域可得的單調(diào)增區(qū)間為例7、（2020屆山東師范大學附中高三月考）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，有恒成立，若，則x的取值范圍是________．【答案】【解析】根據(jù)已知條件：當時，有恒成立，得函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，又因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，故等價于，所以，即.故答案為：.題型三、函數(shù)的周期性1、若是一個周期函數(shù)，則，那么，即也是的一個周期，進而可得：也是的一個周期2、函數(shù)周期性的判定：（1）：可得為周期函數(shù)，其周期（2）的周期（3）的周期（4）（為常數(shù)）的周期（5）（為常數(shù)）的周期例8、(2019通州、海門、啟東期末）已知函數(shù)f(x)的周期為4，且當x∈(0，4]時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(cos\f(πx,2)，,0<x≤2，,log2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，,2<x≤4.)))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))的值為________．【答案】0【解析】因為函數(shù)f(x)的周期為4，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝log22＝1，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))＝f(1)＝coseq\f(π,2)＝0.例9、(2017南京三模）已知函數(shù)f(x)是定義在R上且周期為4的偶函數(shù)．當x∈[2，4]時，f(x)＝|log4(x－eq\f(3,2))|，則f(eq\f(1,2))的值為▲．【答案】eq\f(1,2)【解析】由題意可得：題型四函數(shù)的對稱性函數(shù)的對稱性要注意一下三點：（1）關(guān)于軸對稱（當時，恰好就是偶函數(shù)）（2）關(guān)于軸對稱（3）是偶函數(shù)，則，進而可得到：關(guān)于軸對稱。最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數(shù)具備對稱性，則只需要分析一側(cè)的性質(zhì)，便可得到整個函數(shù)的性質(zhì)，主要體現(xiàn)在以下幾點：（1）可利用對稱性求得某些點的函數(shù)值（2）在作圖時可作出一側(cè)圖像，再利用對稱性得到另一半圖像（3）極值點關(guān)于對稱軸（對稱中心）對稱（4）在軸對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱軸對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；在中心對稱函數(shù)中，關(guān)于對稱中心對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同例10、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學高三下期初）已知是定義在上的奇函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對稱.若當時，，則（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】是定義在上的奇函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對稱，，，是周期為的周期函數(shù)，.故選:C.例11、（2018年徐州模擬）已知，方程在內(nèi)有且只有一個，則在區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)為【答案】2018【解析】，可得關(guān)于軸對稱，因為在內(nèi)有且只有一個零點，所以由對稱性可得在只有兩個零點。所以一個周期中含有兩個零點，區(qū)間共包含1009個周期，所以有2018個零點例12、（2019年宿遷中學模擬）已知定義在上的函數(shù)滿足：，當時，，則______________【答案】-【解析】：由可得：關(guān)于中心對稱，由可得：關(guān)于軸對稱，所以可求出的周期，則題型五、單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合例13、【2020年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設函數(shù)，則f(x)A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【解析】由得定義域為，關(guān)于坐標原點對稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當時，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D．本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點對稱的前提下，根據(jù)與的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.例14、【2019年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】設是定義域為R的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，則A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）【答案】C【解析】是定義域為的偶函數(shù)，．，又在(0，+∞)上單調(diào)遞減，∴，即.故選C．例15、（2020屆山東省日照市高三上期末聯(lián)考）已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A．函數(shù)是周期函數(shù) B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C．函數(shù)為上的偶函數(shù) D．函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)【答案】ABC【解析】因為，所以，即，故A正確；因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于原點成中心對稱，所以B正確；又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，根據(jù)，令代有，所以，令代有，即函數(shù)為上的偶函數(shù)，C正確；因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，又函數(shù)為上的偶函數(shù)，，所以函數(shù)不單調(diào)，D不正確.故選：ABC.二、達標訓練1、（2020屆山東省棗莊市高三上學期統(tǒng)考）下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A． B． C． D．【答案】AD【解析】對于A選項，為偶函數(shù)，且當時，為減函數(shù)，符合題意.對于B選項，為偶函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可知在上遞增，不符合題意.對于C選項，為奇函數(shù)，不符合題意.對于D選項，為偶函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意.故選：AD.2、【2020年新高考全國Ⅰ卷】若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在上也是單調(diào)遞減，且，，所以當時，，當時，，所以由可得：或或.解得或，所以滿足的的取值范圍是，故選：D．3、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】設函數(shù)的定義域為R，滿足，且當時，．若對任意，都有，則m的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，．∵時，；∴時，，；∴時，，，如圖：當時，由解得，，若對任意，都有，則.則m的取值范圍是.故選B.4、【2020年高考江蘇】已知y=f(x)是奇函數(shù)，當x≥0時，，則的值是▲．【答案】【解析】，因為為奇函數(shù)，所以故答案為：【點睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎題.5、【2019年高考全國Ⅱ卷理數(shù)】已知是奇函數(shù)，且當時，.若，則__________．【答案】【解析】由題意知是奇函數(shù)，且當時，，又因為，，所以，兩邊取以為底數(shù)的對數(shù)，得，所以，即．【名師點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，對數(shù)的計算．6、【2019年高考北京理數(shù)】設函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．【答案】【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用可得a的取值范圍.若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，即對任意的恒成立，則，得.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則在R上恒成立，即在R上恒成立，又，則，即實數(shù)的取值范圍是.7、（2020屆山東省濰坊市高三上期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則不等式的解集為__________．【答案】【解析】是定義在上的偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，，，則不等式等價為不等式，即，即不等式