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第5講數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和高考預(yù)測(cè)一:等差等比公式法求和1.已知等比數(shù)列滿足:,.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)是否存在正整數(shù),使得?若存在,求的最小值;若不存在,說(shuō)明理由.2.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知.(1)若,求的通項(xiàng)公式;(2)若,求使得的的取值范圍.高考預(yù)測(cè)二:裂項(xiàng)相消求和3.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.(Ⅰ)若等差數(shù)列滿足,求,的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若=______,求數(shù)列的前項(xiàng)和.在①;②;③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到第(Ⅱ)問中,并對(duì)其求解.4.為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,.(1)求通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和,若,求整數(shù)值.5.記為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.6.已知數(shù)列為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.7.已知數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足,.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.高考預(yù)測(cè)三:錯(cuò)位相減求和8.已知數(shù)列滿足為實(shí)數(shù),且,,,且,,成等差數(shù)列.(Ⅰ)求的值和的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),,求數(shù)列的前項(xiàng)和.9.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.10.設(shè)等差數(shù)列的公差為前項(xiàng)和為,等比數(shù)列的公比為.已知,,,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)時(shí),記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.高考預(yù)測(cè)四:分組求和11.已知等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是120,前20項(xiàng)的和是440.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若等比數(shù)列的第2項(xiàng)和第5項(xiàng)分別是6和162,求數(shù)列的前項(xiàng)和.12.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和,且,,2,(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列:(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.13.設(shè)是等差數(shù)列,是等比數(shù)列.已知,,,.(Ⅰ)求和的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足,其中.求數(shù)列的通項(xiàng)公式;求第5講數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和高考預(yù)測(cè)一:等差等比公式法求和1.已知等比數(shù)列滿足:,.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)是否存在正整數(shù),使得?若存在,求的最小值;若不存在,說(shuō)明理由.【解析】解:(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的公比為,則由已知可得解得故.(Ⅱ)若,則,故是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,從而.若,則是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,從而故.綜上,對(duì)任何正整數(shù),總有.故不存在正整數(shù),使得成立.2.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知.(1)若,求的通項(xiàng)公式;(2)若,求使得的的取值范圍.【解析】解:(1)根據(jù)題意,等差數(shù)列中,設(shè)其公差為,若,則,變形可得,即,若,則,則,(2)若,則,當(dāng)時(shí),不等式成立,當(dāng)時(shí),有,變形可得,又由,即,則有,即,則有,又由,則有,則有,綜合可得:的取值范圍是,.高考預(yù)測(cè)二:裂項(xiàng)相消求和3.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.(Ⅰ)若等差數(shù)列滿足,求,的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若=______,求數(shù)列的前項(xiàng)和.在①;②;③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充到第(Ⅱ)問中,并對(duì)其求解.【解析】解:(Ⅰ)設(shè)數(shù)列的公比為,則.,,①,,解得(舍負(fù)),代入①得,,;則,,②設(shè)數(shù)列的公差為,,則;(Ⅱ)選擇①:,,則,.選擇②:,,則,,;選擇③:由(Ⅰ)知;...4.為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,.(1)求通項(xiàng)公式;(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和,若,求整數(shù)值.【解析】解:(1),,,,,兩式相減,得.,,.?dāng)?shù)列為常數(shù)列,,所以.(2)由(1)可得,令,則,,,數(shù)列的前項(xiàng)和,,,若,且為整數(shù),當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,,由,可得,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,,由,可得,.5.記為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】解:(1)由題意,當(dāng)時(shí),,整理,得,解得,或(舍去).當(dāng)時(shí),由,可得:,兩式相減,可得,整理,得,,.?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為4,公差為3的等差數(shù)列.?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為,.(2)由(1)知,.故.6.已知數(shù)列為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足.(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】解:由題設(shè)可得:,,;由(Ⅰ)可得:,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,綜上,.7.已知數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足,.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】(1)證明:,,又,,數(shù)列為首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列,,;(2)解:由(1)可得:,即,又,當(dāng)時(shí),,又當(dāng)時(shí),也適合上式,,,.高考預(yù)測(cè)三:錯(cuò)位相減求和8.已知數(shù)列滿足為實(shí)數(shù),且,,,且,,成等差數(shù)列.(Ⅰ)求的值和的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè),,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】解:(Ⅰ)數(shù)列滿足為實(shí)數(shù),且,,,且,,成等差數(shù)列,所以,即.所以,由于,所以,解得.①當(dāng)時(shí),,②當(dāng)時(shí),.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為:.(Ⅱ)由(Ⅰ)得:,所以①,則,②①②得,整理得.9.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】解:(1)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為,由,得解得,.因此.(2)由題意知:所以,,兩式相減得整理得,所以數(shù)列的前項(xiàng)和.10.設(shè)等差數(shù)列的公差為前項(xiàng)和為,等比數(shù)列的公比為.已知,,,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)時(shí),記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】解:(1)由題設(shè)知:,解得:或,當(dāng)時(shí),,;當(dāng)時(shí),,.(2)當(dāng)時(shí),由(1)可得,,,則,,又,兩式相減可得:,整理得:.高考預(yù)測(cè)四:分組求和11.已知等差數(shù)列前10項(xiàng)的和是120,前20項(xiàng)的和是440.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)若等比數(shù)列的第2項(xiàng)和第5項(xiàng)分別是6和162,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題設(shè)條件知:,解得:,,;(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為,由題設(shè)條件知:,解得:,,,,所以其前項(xiàng)和為.12.已知為數(shù)列的前項(xiàng)和,且,,2,(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列:(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解析】證明:當(dāng)時(shí),,整理得,,,,,是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.解:由得,.當(dāng)為偶數(shù)時(shí),;當(dāng)為奇數(shù)時(shí),可得.綜上,,為奇數(shù)),為偶數(shù)).1
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