課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)5　基本不等式-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)檢測(cè)（新高考）

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(五)(建議用時(shí)：45分鐘)A組全考點(diǎn)鞏固練1．(2020·上海卷)下列不等式恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2≤2abB．a(chǎn)2＋b2≥－2abC．a(chǎn)＋b≥2eq\r(|ab|)D．a(chǎn)＋b≤－2eq\r(|ab|)B解析：對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閍2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)，所以a2＋b2≥2ab，故A錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閍2＋b2＋2ab＝(a＋b)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－b時(shí)取等號(hào)，所以a2＋b2≥－2ab，故B正確．對(duì)于選項(xiàng)C，令a＝－1，b＝2，則a＋b＝－1＋2＝1，2eq\r(|ab|)＝2eq\r(|－1×2|)＝2eq\r(2).因?yàn)?＜2eq\r(2)，所以a＋b＜2eq\r(|ab|)，故C錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)D，令a＝1，b＝0，則a＋b＝1，－2eq\r(|ab|)＝－2eq\r(|1×0|)＝0.因?yàn)?>0，所以a＋b>－2eq\r(|ab|)，故D錯(cuò)誤．2．當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)有()A．最小值1 B．最大值1C．最小值2 D．最大值2B解析：f(x)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2\r(x·\f(1,x)))＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)(x>0)，即x＝1時(shí)取等號(hào)，所以f(x)有最大值1.3．司機(jī)甲、乙加油習(xí)慣不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定錢(qián)數(shù)的油，恰有兩次甲、乙同時(shí)加同單價(jià)的油，但這兩次的油價(jià)不同，則從這兩次加油的均價(jià)角度分析()A．甲合適B．乙合適C．油價(jià)先高后低甲合適D．油價(jià)先低后高甲合適B解析：設(shè)甲每次加m升油，乙每次加n元錢(qián)的油，第一次加油x元/升，第二次加油y元/升．甲的平均單價(jià)為eq\f(mx＋my,2m)＝eq\f(x＋y,2)，乙的平均單價(jià)為eq\f(2n,\f(n,x)＋\f(n,y))＝eq\f(2xy,x＋y).因?yàn)閤≠y，所以eq\f(\f(x＋y,2),\f(2xy,x＋y))＝eq\f(x2＋y2＋2xy,4xy)>eq\f(4xy,4xy)＝1，即乙的兩次平均單價(jià)低，乙的方式更合適．故選B．4．(2020·濱州三校高三聯(lián)考)已知a>0，b>0，若不等式eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋b)恒成立，則m的最大值為()A．10 B．12C．16 D．9D解析：由已知a>0，b>0，若不等式eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(m,a＋b)恒成立，則m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))(a＋b)恒成立，轉(zhuǎn)化成求y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))(a＋b)的最小值．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝5＋eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b)≥5＋2eq\r(\f(4b,a)·\f(a,b))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)，等號(hào)成立，所以m≤9.故選D．5．(2020·咸陽(yáng)高三一模)已知x＋2y＝xy(x>0，y>0)，則2x＋y的最小值為()A．10 B．9C．8 D．7B解析：由x＋2y＝xy得eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝5＋eq\f(2x,y)＋eq\f(2y,x)≥5＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(2y,x))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(2x,y)＝eq\f(2y,x)，即x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)，所以2x＋y的最小值為9.故選B．6．(2020·臨沂高三期末)當(dāng)eq\r(x)＋eq\f(9,\r(x)＋1)取得最小值時(shí)，x＝________.4解析：eq\r(x)＋eq\f(9,\r(x)＋1)＝eq\r(x)＋1＋eq\f(9,\r(x)＋1)－1≥2eq\r(9)－1＝5，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(x)＋1＝eq\f(9,\r(x)＋1)，即x＝4時(shí)，等號(hào)成立．7．(2020·棗莊高三統(tǒng)考)函數(shù)f(x)＝eq\f(2x2－4x＋5,x－1)(x＞1)的最小值是________．2eq\r(6)解析：由于x＞1，故x－1＞0，故f(x)＝2(x－1)＋eq\f(3,x－1)≥2eq\r(2x－1·\f(3,x－1))＝2eq\r(6)，當(dāng)且僅當(dāng)2(x－1)＝eq\f(3,x－1)，即x＝1＋eq\f(\r(6),2)時(shí)，函數(shù)取得最小值2eq\r(6).8．某公司購(gòu)買(mǎi)一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤(rùn)的最大值是________萬(wàn)元．8解析：每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為eq\f(y,x)＝18－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))，而x>0，故eq\f(y,x)≤18－2eq\r(25)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)每臺(tái)機(jī)器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤(rùn)最大，最大值為8萬(wàn)元．9．某廠(chǎng)家擬定在2020年舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)量(即該廠(chǎng)的年產(chǎn)量)x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用m(m≥0)萬(wàn)元滿(mǎn)足x＝3－eq\f(k,m＋1)(k為常數(shù))．如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，那么該產(chǎn)品的年銷(xiāo)量只能是1萬(wàn)件．已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元．廠(chǎng)家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．(1)將2020年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；(2)該廠(chǎng)家2020年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠(chǎng)家利潤(rùn)最大？解：(1)由題意知，當(dāng)m＝0時(shí)，x＝1，所以1＝3－k?k＝2，所以x＝3－eq\f(2,m＋1)(m≥0)．又每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為1.5×eq\f(8＋16x,x)，所以2020年的利潤(rùn)y＝1.5x×eq\f(8＋16x,x)－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(2,m＋1)))－m＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16,m＋1)＋m＋1))＋29(m≥0)．(2)因?yàn)閙≥0時(shí)，eq\f(16,m＋1)＋(m＋1)≥2eq\r(16)＝8，所以y≤－8＋29＝21，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(16,m＋1)＝m＋1?m＝3時(shí)，ymax＝21.故該廠(chǎng)家2020年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠(chǎng)家的利潤(rùn)最大為21萬(wàn)元．B組新高考培優(yōu)練10．(多選題)(2020·濰坊高三期中)若x≥y，則下列不等式中正確的是()A．2x≥2y B．eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xyAD解析：由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)x≥y時(shí)，有2x≥2y，故A正確；當(dāng)y<x<0時(shí)，eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)不成立，故B錯(cuò)誤；當(dāng)0≥x≥y時(shí)，x2≥y2不成立，故C錯(cuò)誤；因?yàn)閤2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，從而有x2＋y2≥2xy成立，故D正確．故選AD．11．《幾何原本》中的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題)成為了后世數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)．通過(guò)這一原理，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明．如圖所示，在AB上取一點(diǎn)C，使得AC＝a，BC＝b，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交圓周于點(diǎn)D，連接OD．作CE⊥OD交OD于點(diǎn)E，則下列不等式可以表示CD≥DE的是()A．eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)(a＞0，b＞0)B．eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a＞0，b＞0)C．eq\r(\f(a2＋b2,2))≥eq\f(a＋b,2)(a＞0，b＞0)D．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)A解析：連接DB，因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以∠ADB＝90°.在Rt△ADB中，中線(xiàn)OD＝eq\f(AB,2)＝eq\f(a＋b,2).由射影定理可得CD2＝AC·BC＝ab.所以CD＝eq\r(ab).在Rt△DCO中，由射影定理可得CD2＝DE·OD，即DE＝eq\f(CD2,OD)＝eq\f(ab,\f(a＋b,2))＝eq\f(2ab,a＋b).由CD≥DE得eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b).故選A．12.已知正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a＋b＝2，則eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋1)的最大值為()A．2eq\r(2) B．4C．4eq\r(2) D．16A解析：因?yàn)?eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋1))2＝(a＋1)＋(b＋1)＋2eq\r(a＋1)·eq\r(b＋1)≤(a＋1)＋(b＋1)＋(a＋1)＋(b＋1)＝2(a＋b＋2)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)，所以eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋1)的最大值為2eq\r(2).故選A．13．(2020·湖北省高三模擬)若不等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,1－4x)－m≥0對(duì)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為()A．7 B．8C．9 D．10C解析：將不等式化為eq\f(1,x)＋eq\f(1,1－4x)≥m，只需當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))時(shí)，m≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,1－4x)))min即可．由eq\f(1,x)＋eq\f(1,1－4x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,1－4x)))(4x＋1－4x)＝4＋eq\f(1－4x,x)＋eq\f(4x,1－4x)＋1≥5＋2eq\r(\f(1－4x,x)·\f(4x,1－4x))＝5＋4＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,6)時(shí)取等號(hào)，故m≤9.故m的最大值為9.故選C．14．(多選題)設(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足a＋b＝1，則()A．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4B．eq\r(ab)有最小值eq\f(1,2)C．eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)D．a(chǎn)2＋b2有最小值eq\f(1,2)ACD解析：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，取等號(hào)時(shí)a＝b＝eq\f(1,2)，故A正確.eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)＝eq\f(1,2)，取等號(hào)時(shí)a＝b＝eq\f(1,2)，所以eq\r(ab)有最大值eq\f(1,2)，故B錯(cuò)誤．(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)＝1＋2eq\r(ab)≤2，所以eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，取等號(hào)時(shí)a＝b＝eq\f(1,2)，故C正確．a(chǎn)2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，取等號(hào)時(shí)a＝b＝eq\f(1,2)，故D正確．故選ACD．15．設(shè)x>0，y>0，x＋2y＝4，則eq\f(x＋12y＋1,xy)的最小值為_(kāi)_______．eq\f(9,2)解析：eq\f(x＋12y＋1,xy)＝eq\f(2xy＋x＋2y＋1,xy)＝eq\f(2xy＋5,xy)＝2＋eq\f(5,xy).因?yàn)閤>0，y>0且x＋2y＝4，所以4≥2eq\r(2xy)(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，y＝1時(shí)取等號(hào))，所以2xy≤4，所以eq\f(1,xy)≥eq\f(1,2)，所以2＋eq\f(5,xy)≥2＋eq\f(5,2)＝eq\f(9,2).16．(2020·山東師范大學(xué)附中高三月考)已知某工廠(chǎng)每天固定成本是4萬(wàn)元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元，工廠(chǎng)每件產(chǎn)品的出廠(chǎng)價(jià)定為a元時(shí)，生產(chǎn)x件產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入是R(x)＝－eq\f(1,4)x2＋500x(元)，P(x)為每天生產(chǎn)x件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)(平均利潤(rùn)＝總利潤(rùn)/總產(chǎn)量)．銷(xiāo)售商從工廠(chǎng)每件a元進(jìn)貨后又以每件b元銷(xiāo)售，b＝a＋λ(c－a)，其中c為最高限價(jià)(a＜b＜c)，λ為銷(xiāo)售樂(lè)觀系數(shù)．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，λ是由當(dāng)b－a是c－b，c－a的比例中項(xiàng)時(shí)來(lái)確定．(1)每天生產(chǎn)量x為多少時(shí)，平均利潤(rùn)P(x)取得最大值？求P(x)的最大值．(2)求樂(lè)觀系數(shù)λ的值．(3)若c＝600，當(dāng)廠(chǎng)家平均利潤(rùn)最大時(shí)，求a與b的值．解：(1)依題意，總利潤(rùn)為－eq\f(1,4)x2＋500x－100x－4