新高考數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計分章節(jié)特訓(xùn)專題14二項分布專題練習(xí)(原卷版+解析)

專題14二項分布例1．已知隨機變量，那么隨機變量的均值A(chǔ)． B． C．2 D．例2．設(shè)隨機變量滿足，則函數(shù)無零點的概率是A． B． C． D．例3．我們知道，在次獨立重復(fù)試驗（即伯努利試驗）中，每次試驗中事件發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的次數(shù)服從二項分布，事實上，在無限次伯努利試驗中，另一個隨機變量的實際應(yīng)用也很廣泛，即事件首次發(fā)生時試驗進(jìn)行的次數(shù)，顯然，，2，3，，我們稱服從“幾何分布”，經(jīng)計算得．由此推廣，在無限次伯努利試驗中，試驗進(jìn)行到事件和都發(fā)生后停止，此時所進(jìn)行的試驗次數(shù)記為，則，，3，，那么A． B． C． D．例4．已知隨機變量，滿足，若，則，分別是A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6例5．設(shè)隨機變量，滿足：，，若，則A．4 B．5 C．6 D．7例6．已知，并且，則方差A(yù)． B． C． D．例7．設(shè)為隨機變量，，若隨機變量的數(shù)學(xué)期望，則等于A． B． C． D．例8．已知隨機變量服從二項分布．若，，則A． B． C． D．例9．某電子元件生產(chǎn)廠家新引進(jìn)一條產(chǎn)品質(zhì)量檢測線，現(xiàn)對檢測線進(jìn)行上線的檢測試驗：從裝有5個正品和1個次品的同批次電子元件的盒子中隨機抽取出3個，再將電子元件放回．重復(fù)6次這樣的試驗，那么“取出的3個電子元件中有2個正品，1個次品”的結(jié)果恰好發(fā)生3次的概率是A． B． C． D．例10．我國的研發(fā)在世界處于領(lǐng)先地位，到2020年5月已開通基站超過20萬個．某科技公司為基站使用的某種裝置生產(chǎn)電子元件，該裝置由元件和元件按如圖方式連接而成．已知元件至少有一個正常工作，且元件正常工作，則該裝置正常工作．據(jù)統(tǒng)計，元件和元件正常工作超過10000小時的概率分別為和．（Ⅰ）求該裝置正常工作超過10000小時的概率；（Ⅱ）某城市基站建設(shè)需購進(jìn)1200臺該裝置，估計該批裝置能正常工作超過10000小時的件數(shù)．例11．設(shè)有3個投球手，其中一人命中率為，剩下的兩人水平相當(dāng)且命中率均為，，每位投球手均獨立投球一次，記投球命中的總次數(shù)為隨機變量為．（1）當(dāng)時，求數(shù)學(xué)期望及方差；（2）當(dāng)時，將的數(shù)學(xué)期望用表示．例12．某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，求這名射手在10次射擊中，（1）恰有8次擊中目標(biāo)的概率；（2）至少有8次擊中目標(biāo)的概率．例13．一個盒子里有2個黑球和個白球．現(xiàn)舉行摸獎活動：從盒中取球，每次取2個，記錄顏色后放回．若取出2球的顏色相同則為中獎，否則不中．（Ⅰ）求每次中獎的概率（用表示）；（Ⅱ）若，求三次摸獎恰有一次中獎的概率；（Ⅲ）記三次摸獎恰有一次中獎的概率為，當(dāng)為何值時，取得最大值？例14．作為家長都希望自己的孩子能升上比較理想的高中，于是就催生了“名校熱”，這樣擇校的結(jié)果就導(dǎo)致了學(xué)生在路上耽誤的時間增加了．若某生由于種種原因，每天只能騎車從家出發(fā)到學(xué)校，途經(jīng)5個路口，這5個路口將家到學(xué)校分成了6個路段，每個路段的騎車時間是10分鐘（通過路口的時間忽略不計），假定他在每個路口遇見紅燈的概率均為，且該生只在遇到紅燈或到達(dá)學(xué)校才停車．對每個路口遇見紅燈情況統(tǒng)計如下：紅燈12345等待時間（秒6060903090（1）設(shè)學(xué)校規(guī)定后（含到校即為遲到，求這名學(xué)生遲到的概率；（2）設(shè)表示該學(xué)生上學(xué)途中遇到的紅燈數(shù)，求的值；（3）設(shè)表示該學(xué)生第一次停車時已經(jīng)通過路口數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．例15．“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度時，給出的區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)，該數(shù)越接近10表示越滿意，為了解某大城市市民的幸福感，隨機對該城市的男、女各500人市民進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表所示：幸福感指數(shù)，，，，，男市民人數(shù)1020220125125女市民人數(shù)1010180175125根據(jù)表格，解答下面的問題：（Ⅰ）完成頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖估算該城市市民幸福感指數(shù)的平均值；（參考數(shù)據(jù)：（Ⅱ）如果市民幸福感指數(shù)達(dá)到6，則認(rèn)為他幸福．據(jù)此，在該市隨機調(diào)查5對夫婦，求他們之中恰好有3對夫婦二人都幸福的概率．（以樣本的頻率作為總體的概率）例16．德陽中學(xué)數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)共開設(shè)有初等代數(shù)、初等幾何、初等數(shù)論和微積分初步共四門課程，要求初等代數(shù)、初等幾何都要合格，且初等數(shù)論和微積分初步至少有一門合格，則能取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)報名參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，每一位同學(xué)對這四門課程考試是否合格相互獨立，其合格的概率均相同，（見下表），且每一門課程是否合格相互獨立，課程初等代數(shù)初等幾何初等數(shù)論微積分初步合格的概率（1）求甲同學(xué)取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的概率；（2）記表示三位同學(xué)中取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的人數(shù)，求的分布列及期望．例17．甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率是，乙勝的概率是，不會出現(xiàn)平局．（1）如果兩人賽3局，求甲恰好勝2局的概率和乙至少勝1局的概率；（2）如果采用五局三勝制（若甲、乙任何一方先勝3局，則比賽結(jié)束，結(jié)果為先勝3局者獲勝），求甲獲勝的概率．例18．為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．甲一次種植了4株沙柳，根據(jù)以往的經(jīng)驗，這個人種植沙柳時每種植3株就有2株成活，且各株沙柳成活與否是相互獨立的．（Ⅰ）寫出成活沙柳的株數(shù)的分布列，并求其期望值；（Ⅱ）為了有效地防止風(fēng)沙危害，該地至少需要種植24000株成活沙柳．如果參加種植沙柳的人每人種植4株沙柳，問至少需要具有甲的種植水平的多少人來參加種植沙柳，才能保證有效防止風(fēng)沙危害．例19．袋中裝有13個紅球和個白球，這些紅球和白球除了顏色不同之外，其余都相同，若從袋中同時取兩個球，取出的是2個紅球的概率等于取出的是一紅一白兩個球的概率的3倍．（1）試求的值；（2）某公司的某部門有21位職員，公司將進(jìn)行抽獎活動，規(guī)定：每個職員都從袋中同時取兩個球，然后放回袋中，搖勻再給別人抽獎，若某人取出的兩個球是一紅一白時，則中獎（獎金1000元）；否則，不中獎（也發(fā)鼓勵獎金100元）．試求此公司在這次抽獎活動中所發(fā)獎金總額的期望值．例20．為備戰(zhàn)2012年倫敦奧運會，兩家籃球隊分輪次進(jìn)行分項冬訓(xùn)．訓(xùn)練分為甲、乙兩組，根據(jù)經(jīng)驗，在冬訓(xùn)期間甲、乙兩組完成各項訓(xùn)練任務(wù)的概率分別為和假設(shè)每輪訓(xùn)練中兩組都各有兩項訓(xùn)練任務(wù)需完成，并且每項任務(wù)的完成與否互不影響．若在一輪冬訓(xùn)中，兩組完成訓(xùn)練任務(wù)的項數(shù)相等且都不小于一項，則稱甲、乙兩組為“友好組”若求甲、乙兩組在完成一輪冬訓(xùn)中成為“友好組”的概率；設(shè)在6輪冬訓(xùn)中，甲、乙兩組成為“友好組”的次數(shù)為，當(dāng)時，求的取值范圍．例21．已知投資某項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中價格下降的概率都是．設(shè)該項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨立的調(diào)整，記產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為，對該項目每投資十萬元，取0、1、2時，一年后相應(yīng)的利潤為1.6萬元、2萬元、2.4萬元．求投資該項目十萬元，一年后獲得利潤的數(shù)學(xué)期望及方差．

專題14二項分布例1．已知隨機變量，那么隨機變量的均值A(chǔ)． B． C．2 D．【解析】解：隨機變量，．故選：．例2．設(shè)隨機變量滿足，則函數(shù)無零點的概率是A． B． C． D．【解析】解：因為函數(shù)無零點，所以△，所以，所以．故選：．例3．我們知道，在次獨立重復(fù)試驗（即伯努利試驗）中，每次試驗中事件發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的次數(shù)服從二項分布，事實上，在無限次伯努利試驗中，另一個隨機變量的實際應(yīng)用也很廣泛，即事件首次發(fā)生時試驗進(jìn)行的次數(shù)，顯然，，2，3，，我們稱服從“幾何分布”，經(jīng)計算得．由此推廣，在無限次伯努利試驗中，試驗進(jìn)行到事件和都發(fā)生后停止，此時所進(jìn)行的試驗次數(shù)記為，則，，3，，那么A． B． C． D．【解析】解：，，3，，，，2，3，，可得．，，3，，．那么．設(shè)．．．時，．．故選：．例4．已知隨機變量，滿足，若，則，分別是A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6【解析】解：隨機變量，滿足，，，，，．故選：．例5．設(shè)隨機變量，滿足：，，若，則A．4 B．5 C．6 D．7【解析】解：隨機變量，滿足：，，，，解得，，，．故選：．例6．已知，并且，則方差A(yù)． B． C． D．【解析】解：，，又，．故選：．例7．設(shè)為隨機變量，，若隨機變量的數(shù)學(xué)期望，則等于A． B． C． D．【解析】解：隨機變量為隨機變量，，其期望，，．故選：．例8．已知隨機變量服從二項分布．若，，則A． B． C． D．【解析】解：由隨機變量服從二項分布．又，，所以，解得：，故選：．例9．某電子元件生產(chǎn)廠家新引進(jìn)一條產(chǎn)品質(zhì)量檢測線，現(xiàn)對檢測線進(jìn)行上線的檢測試驗：從裝有5個正品和1個次品的同批次電子元件的盒子中隨機抽取出3個，再將電子元件放回．重復(fù)6次這樣的試驗，那么“取出的3個電子元件中有2個正品，1個次品”的結(jié)果恰好發(fā)生3次的概率是A． B． C． D．【解析】解：從裝有5個正品和1個次品的同批次電子元件的盒子中隨機抽取出3個，再將電子元件放回．取出的3個電子元件中有2個正品，1個次品的概率重復(fù)6次這樣的試驗，那么“取出的3個電子元件中有2個正品，1個次品”的結(jié)果恰好發(fā)生3次的概率是：．故選：．例10．我國的研發(fā)在世界處于領(lǐng)先地位，到2020年5月已開通基站超過20萬個．某科技公司為基站使用的某種裝置生產(chǎn)電子元件，該裝置由元件和元件按如圖方式連接而成．已知元件至少有一個正常工作，且元件正常工作，則該裝置正常工作．據(jù)統(tǒng)計，元件和元件正常工作超過10000小時的概率分別為和．（Ⅰ）求該裝置正常工作超過10000小時的概率；（Ⅱ）某城市基站建設(shè)需購進(jìn)1200臺該裝置，估計該批裝置能正常工作超過10000小時的件數(shù)．【解析】解：（Ⅰ）元件至少有一個正常工作超過10000小時的概率，則該裝置正常工作超過10000小時的概率為．（Ⅱ）設(shè)1200臺該裝置能正常工作超過10000小時的有臺，則服從二項分布，這1200臺裝置能正常工作超過10000小時的約有：臺．例11．設(shè)有3個投球手，其中一人命中率為，剩下的兩人水平相當(dāng)且命中率均為，，每位投球手均獨立投球一次，記投球命中的總次數(shù)為隨機變量為．（1）當(dāng)時，求數(shù)學(xué)期望及方差；（2）當(dāng)時，將的數(shù)學(xué)期望用表示．【解析】解：（1）每位投球手均獨立投球一次，當(dāng)時，每次試驗事件發(fā)生的概率相等，，由二項分布的期望和方差公式得到結(jié)果，（2）的可取值為0，1，2，3．；；；．的分布列為0123．例12．某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，求這名射手在10次射擊中，（1）恰有8次擊中目標(biāo)的概率；（2）至少有8次擊中目標(biāo)的概率．【解析】解：（1）某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，則這名射手在10次射擊中恰有8次擊中目標(biāo)的概率為．（2）至少有8次擊中目標(biāo)的概率為．例13．一個盒子里有2個黑球和個白球．現(xiàn)舉行摸獎活動：從盒中取球，每次取2個，記錄顏色后放回．若取出2球的顏色相同則為中獎，否則不中．（Ⅰ）求每次中獎的概率（用表示）；（Ⅱ）若，求三次摸獎恰有一次中獎的概率；（Ⅲ）記三次摸獎恰有一次中獎的概率為，當(dāng)為何值時，取得最大值？【解析】解：（Ⅰ）取出2球的顏色相同則為中獎，每次中獎的概率；（Ⅱ）若，每次中獎的概率，三次摸獎恰有一次中獎的概率為；（Ⅲ）三次摸獎恰有一次中獎的概率為，，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，時，取得最大值，即，即時，取得最大值．例14．作為家長都希望自己的孩子能升上比較理想的高中，于是就催生了“名校熱”，這樣擇校的結(jié)果就導(dǎo)致了學(xué)生在路上耽誤的時間增加了．若某生由于種種原因，每天只能騎車從家出發(fā)到學(xué)校，途經(jīng)5個路口，這5個路口將家到學(xué)校分成了6個路段，每個路段的騎車時間是10分鐘（通過路口的時間忽略不計），假定他在每個路口遇見紅燈的概率均為，且該生只在遇到紅燈或到達(dá)學(xué)校才停車．對每個路口遇見紅燈情況統(tǒng)計如下：紅燈12345等待時間（秒6060903090（1）設(shè)學(xué)校規(guī)定后（含到校即為遲到，求這名學(xué)生遲到的概率；（2）設(shè)表示該學(xué)生上學(xué)途中遇到的紅燈數(shù)，求的值；（3）設(shè)表示該學(xué)生第一次停車時已經(jīng)通過路口數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解析】解：（1）由題意知，當(dāng)1，2，3，5路口同時遇到紅燈時，該同學(xué)會遲到，這名學(xué)生遲到的概率：．（2）由題意知，．（3）由題意知，1，2，3，4，5，，，，，，，隨機變量的分布列：012345．例15．“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度時，給出的區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)，該數(shù)越接近10表示越滿意，為了解某大城市市民的幸福感，隨機對該城市的男、女各500人市民進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下表所示：幸福感指數(shù)，，，，，男市民人數(shù)1020220125125女市民人數(shù)1010180175125根據(jù)表格，解答下面的問題：（Ⅰ）完成頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖估算該城市市民幸福感指數(shù)的平均值；（參考數(shù)據(jù)：（Ⅱ）如果市民幸福感指數(shù)達(dá)到6，則認(rèn)為他幸福．據(jù)此，在該市隨機調(diào)查5對夫婦，求他們之中恰好有3對夫婦二人都幸福的概率．（以樣本的頻率作為總體的概率）【解析】解：（Ⅰ）幸福感指數(shù)在，，，內(nèi)的頻數(shù)分別為和，因為總?cè)藬?shù)為1000，所以，相應(yīng)的頻率組距為：，，據(jù)此可補全頻率分布直方圖如右圖．所求的平均值為；（Ⅱ）男市民幸福的概率是，女市民幸福的概率是，一對夫婦都幸福的概率是，故所求的概率為．例16．德陽中學(xué)數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)共開設(shè)有初等代數(shù)、初等幾何、初等數(shù)論和微積分初步共四門課程，要求初等代數(shù)、初等幾何都要合格，且初等數(shù)論和微積分初步至少有一門合格，則能取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)報名參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，每一位同學(xué)對這四門課程考試是否合格相互獨立，其合格的概率均相同，（見下表），且每一門課程是否合格相互獨立，課程初等代數(shù)初等幾何初等數(shù)論微積分初步合格的概率（1）求甲同學(xué)取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的概率；（2）記表示三位同學(xué)中取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格的人數(shù)，求的分布列及期望．【解析】解：（1）分別記甲對這四門課程考試合格為事件，，，，且事件，，，相互獨立，“甲能能取得參加數(shù)學(xué)競賽復(fù)賽的資格”的概率為：．（2）由題設(shè)知的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，，的分布列為：0123，．例17．甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率是，乙勝的概率是，不會出現(xiàn)平局．（1）如果兩人賽3局，求甲恰好勝2局的概率和乙至少勝1局的概率；（2）如果采用五局三勝制（若甲、乙任何一方先勝3局，則比賽結(jié)束，結(jié)果為先勝3局者獲勝），求甲獲勝的概率．【解析】解：（1）甲恰好勝2局的概率；乙至少勝1局的概率；（2）打3局：；打4局：；打五局：因此甲獲勝的概率為例18．為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物．甲一次種植了4株沙柳，根據(jù)以往的經(jīng)驗，這個人種植沙柳時每種植3株就有2株成活，且各株沙柳成活與否是相互獨立的．（Ⅰ）寫出成活沙柳的株數(shù)的分布列，并求其期望值；（Ⅱ）為了有效地防止風(fēng)沙危害，該地至少需要種植24000株成活沙柳．如果參加種植沙柳的人每人種植4株沙柳，問至少需要具有甲的種植水平的多少人來參加種植沙柳，才能保證有效防止風(fēng)沙危害．【解析】解：（Ⅰ）設(shè)成活沙柳的株數(shù)為，則，1，2，3，4，且有（4分）據(jù)題意，每種植3株就有2株成活，，株數(shù)的分布列為01234的期望值（7分）（Ⅱ）設(shè)參加種植沙柳且具有甲的種植水平的人數(shù)為，則這當(dāng)中的每一個人都種植了4株沙柳．據(jù)（Ⅰ）的結(jié)果，這些人每人都能種植成活的沙柳株，因此，共種植成活的沙柳株．（10分）據(jù)題意，需，解得．所以，估計至少需要具有甲的種植水平的9000人來參加種植沙柳，才能保證有效防止風(fēng)沙危害．例19．袋中裝有13個紅球和個白球，這些紅球和白球除了顏色不同之外，其余都相同，若從袋中同時取兩個球，取出的是2個紅球的概率等于取出的是一紅一白兩個球的概率的3倍．（1）試求的值；（2）某公司的某部門有21位職員，公司將進(jìn)行抽獎活動，規(guī)定：每個職