2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案含解析新人教A版選修2-31

PAGE2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入A，B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表：A機(jī)床次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04B機(jī)床次品數(shù)X20123P0.80.060.040.10試問：由E(X1)和E(X2)的值能比較兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？試想利用什么指標(biāo)可以比較加工質(zhì)量？新知導(dǎo)學(xué)1．隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列如下表.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則__(xi－E(X))2__描述了xi(i＝1,2，…，n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度，而D(X)＝eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,)xi－EX2pi)為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的__平均偏離程度__.我們稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的__標(biāo)準(zhǔn)差__．2．離散型隨機(jī)變量與樣本相比較，隨機(jī)變量的__數(shù)學(xué)期望__的含義相當(dāng)于樣本均值，隨機(jī)變量取各個(gè)不同值，相當(dāng)于各個(gè)不同樣本點(diǎn)，隨機(jī)變量取各個(gè)不同值的__概率__相當(dāng)于各個(gè)樣本點(diǎn)在刻畫樣本方差時(shí)的權(quán)重．3．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量的取值偏離于__均值__的平均程度，方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度__越小__．4．方差的性質(zhì)若a、b為常數(shù)，則D(aX＋b)＝__a2D(X)__．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn由Y＝aX＋b(a，b為常數(shù))知Y也是離散型隨機(jī)變量．Y的分布列為Yax1＋bax2＋b…axi＋b…axn＋bPp1p2…pi…pn由數(shù)學(xué)期望的線性性質(zhì)得E(Y)＝aE(X)＋b，于是D(aX＋b)＝D(Y)＝eq\i\su(i＝1,n,)(axi＋b－E(Y))2pi＝eq\i\su(i＝1,n,)(axi＋b－aE(X)－b)2pi＝eq\i\su(i＝1,n,)(axi－aE(X))2pi＝__a2eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi__＝__a2D(X)__．5．若X聽從兩點(diǎn)分布B(1，p)，則D(X)＝__p(1－p)__．設(shè)隨機(jī)變量X～B(1，p)，則由兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式得E(X)＝p，于是D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p)(p＋1－p)＝p(1－p)．6．若X～B(n，p)，則D(X)＝__np(1－p)__．預(yù)習(xí)自測(cè)1．甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員射擊命中環(huán)數(shù)ξ、η的分布列如下表．其中射擊比較穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員是(B)環(huán)數(shù)k8910P(ξ＝k)0.30.20.5P(η＝k)0.20.40.4A．甲 B．乙C．一樣 D．無法比較[解析]E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56<D(ξ)，乙穩(wěn)定．2．設(shè)隨機(jī)變量X聽從二項(xiàng)分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，則D(X)的值為(C)A．eq\f(4,3) B．eq\f(8,3)C．eq\f(8,9) D．eq\f(1,9)[解析]D(X)＝4×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(8,9)．3．(2024·哈師大附中高二檢測(cè))設(shè)ξ的分布列為P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,5)(eq\f(1,3))k(eq\f(2,3))5－k，(k＝0、1、2、3、4、5)，則D(3ξ)＝(A)A．10 B．30C．15 D．5[解析]由ξ的分布列知ξ～B(5，eq\f(1,3))，∴D(ξ)＝5×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(10,9)，∴D(3ξ)＝9D(ξ)＝10，故選A．4．已知隨機(jī)變量X聽從二項(xiàng)分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，則p＝__eq\f(1,3)__．[解析]依題意可得E(X)＝np＝30且D(x)＝np(1－p)＝20，解得p＝eq\f(1,3)．5．(2024·金華模擬)隨機(jī)變量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則D(ξ)的最大值為(A)A．eq\f(2,3) B．eq\f(5,9)C．eq\f(2,9) D．eq\f(3,4)[解析]∵a，b，c成等差數(shù)列，∴由隨機(jī)變量ξ的分布列，得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤1,0≤b≤1,0≤c≤1,a＋b＋c＝1,2b＝a＋c))，解得b＝eq\f(1,3)，a＝eq\f(1,3)－d，b＝eq\f(1,3)＋d，E(ξ)＝－1×(eq\f(1,3)－d)＋0×eq\f(1,3)＋1×(eq\f(1,3)＋d)＝2d，D(ξ)＝(－1－2d)2×(eq\f(1,3)－d)＋(0－2d)2×eq\f(1,3)＋(1－2d)2×(eq\f(1,3)＋d)＝eq\f(2,3)－4d2．∴當(dāng)d＝0時(shí)，D(ξ)取最大值為eq\f(2,3).故選A．互動(dòng)探究·攻重難互動(dòng)探究解疑命題方向?求離散型隨機(jī)變量的方差典例1袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)．(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值．[思路分析](1)依據(jù)題意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解．(2)運(yùn)用E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)，求a，b．[解析](1)X的分布列為：X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5．D(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75．(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2．又E(Y)＝aE(X)＋b，所以當(dāng)a＝2時(shí)，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；當(dāng)a＝－2時(shí)，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝4)).即為所求．『規(guī)律總結(jié)』1.求離散型隨機(jī)變量X的方差的基本步驟：eq\x(理解X的意義，寫出X可能取的全部值)↓eq\x(寫出X取每個(gè)值的概率)↓eq\x(寫出X的分布列)↓eq\x(由均值的定義求出EX)↓eq\x(利用公式DX＝\i\su(i＝1,n,)xi－EX2pi求值)2．對(duì)于變量間存在關(guān)系的方差，在求解過程中應(yīng)留意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，這樣處理既避開了求隨機(jī)變量η＝aξ＋b的分布列，又避開了繁雜的計(jì)算，簡化了計(jì)算過程．┃┃跟蹤練習(xí)1__■(1)已知隨機(jī)變量X的分布列為X123P0.5xy若E(X)＝eq\f(15,8)，則D(X)等于(B)A．eq\f(33,64) B．eq\f(55,64)C．eq\f(7,32) D．eq\f(9,32)[解析]由分布列的性質(zhì)得x＋y＝0.5，又E(X)＝eq\f(15,8)，所以2x＋3y＝eq\f(11,8)，解得x＝eq\f(1,8)，y＝eq\f(3,8)，所以D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(15,8)))2×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(15,8)))2×eq\f(1,8)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(15,8)))2×eq\f(3,8)＝eq\f(55,64)．(2)(2024·柳州高二檢測(cè))已知X的分布列如下：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,4)a①求X2的分布列；②計(jì)算X的方差；③若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．[解析]①由分布列的性質(zhì)，知eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋a＝1，故a＝eq\f(1,4)，從而X2的分布列為X201Peq\f(1,4)eq\f(3,4)②方法一：由①知a＝eq\f(1,4)，所以X的均值E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4).故X的方差D(X)＝(－1＋eq\f(1,4))2×eq\f(1,2)＋(0＋eq\f(1,4))2×eq\f(1,4)＋(1＋eq\f(1,4))2×eq\f(1,4)＝eq\f(11,16)．方法二：由①知a＝eq\f(1,4)，所以X的均值E(X)＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(1,4)＝－eq\f(1,4)，X2的均值E(X2)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)，所以X的方差D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝eq\f(11,16)．③因?yàn)閅＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11．命題方向?兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差典例2某出租車司機(jī)從某飯店到火車站途中需經(jīng)過六個(gè)交通崗，假設(shè)他在各個(gè)交通崗遇到紅燈這一事務(wù)是相互獨(dú)立的，并且概率是eq\f(1,3)．(1)求這位司機(jī)遇到紅燈次數(shù)X的均值與方差；(2)若遇上紅燈，則需等待30秒，求司機(jī)總共等待時(shí)間Y的均值與方差．[解析](1)由題意知司機(jī)遇上紅燈次數(shù)X聽從二項(xiàng)分布，且X～B(6，eq\f(1,3))，∴E(X)＝6×eq\f(1,3)＝2，D(X)＝6×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(4,3)．(2)由已知得Y＝30X，∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1200．『規(guī)律總結(jié)』1.假如隨機(jī)變量X聽從兩點(diǎn)分布，那么其方差D(X)＝p(1－p)(p為勝利概率)．2．假如隨機(jī)變量X聽從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，那么方差D(X)＝np(1－p)，計(jì)算時(shí)干脆代入求解，從而避開了繁雜的計(jì)算過程．┃┃跟蹤練習(xí)2__■若隨機(jī)變量X～B(3，p)，D(X)＝eq\f(2,3)，則p＝__eq\f(1,3)或eq\f(2,3)__．[解析]∵X～B(3，p)，∴D(X)＝3p(1－p)，由3p(1－p)＝eq\f(2,3)，得p＝eq\f(1,3)或p＝eq\f(2,3)．命題方向3方差的實(shí)際應(yīng)用典例3(2024·日照高二檢測(cè))甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ與η，且ξ，η的分布列為：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3(1)求a，b的值；(2)計(jì)算ξ，η的期望與方差，并以此分析甲、乙技術(shù)狀況．[解析](1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3．同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4．(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6．由于E(ξ)＞E(η)，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)．『規(guī)律總結(jié)』1.解答離散型隨機(jī)變量的實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)注點(diǎn)(1)分析題目背景，依據(jù)實(shí)際狀況抽象出概率模型，特殊留意隨機(jī)變量的取值及其實(shí)際意義．(2)弄清實(shí)際問題是求均值還是方差，在實(shí)際決策問題中，需先計(jì)算均值，看一下誰的平均水平高，然后再計(jì)算方差，分析一下誰的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定．因此，在利用均值和方差的意義去分析解決實(shí)際問題時(shí)，兩者都要分析．2．求分布列時(shí)的關(guān)注點(diǎn)要留意利用等可能事務(wù)、互斥事務(wù)、相互獨(dú)立事務(wù)的概率公式計(jì)算概率，并留意結(jié)合分布列的性質(zhì)簡化概率．┃┃跟蹤練習(xí)3__■為了探討一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“＋”表示未服藥者．(1)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；(2)從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記ξ為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)；(3)試推斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大?。?只需寫出結(jié)論)[解析](1)由題圖知，在服藥的50名患者中，指標(biāo)y的人小于60的有15人，所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)y的值小于60的概率為eq\f(15,50)＝0.3．(2)由題圖可知，A，B，C，D四人中，指標(biāo)x的值大于1.7的有2人：A和C．所以ξ的全部可能取值為0,1,2．P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(2,3)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)．所以ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)故ξ的期望E(ξ)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(2,3)＋2×eq\f(1,6)＝1．(3)在這100名患者中，服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差．學(xué)科核心素養(yǎng)用公式法求離散型隨機(jī)變量的方差若能推斷出離散型隨機(jī)變量聽從常見的分布，則常用公式法求離散型隨機(jī)變量的方差．留意以下三種分布在解題中的應(yīng)用：①當(dāng)X聽從兩點(diǎn)分布，即X～B(1，p)時(shí)，D(X)＝p(1－p)；②當(dāng)X聽從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)時(shí)，D(X)＝np(1－p)；③當(dāng)X聽從超幾何分布，即X～H(N，M，n)時(shí)，D(X)＝eq\f(nM,N)(1－eq\f(M,N))eq\f(N－n,N－1)．典例4(1)若隨機(jī)事務(wù)A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用隨機(jī)變量ξ表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則方差D(ξ)的最大值為__eq\f(1,4)__．(2)一農(nóng)場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02，設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ，則D(ξ)等于__0.196__．[解析](1)隨機(jī)變量ξ的全部可能取值為0,1，并且有P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－p，從而ξ～B(1，p)，故D(ξ)＝p(1－p)＝p－p2＝－(p2－p＋eq\f(1,4))＋eq\f(1,4)＝－(p－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,4)，∵0<p<1，∴當(dāng)p＝eq\f(1,2)時(shí)，D(ξ)取得最大值，最大值為eq\f(1,4).故填eq\f(1,4)．(2)因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～B(10,0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.故填0.196．┃┃跟蹤練習(xí)4__■在對(duì)某漁業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量調(diào)研中，從甲、乙兩地出產(chǎn)的該產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取10件測(cè)量該產(chǎn)品中某種元素的含量(單位：毫克)．如圖所示的是測(cè)量數(shù)據(jù)的莖葉圖.甲地乙地80346812478890245620012規(guī)定：當(dāng)產(chǎn)品中的此種元素含量≥15毫克時(shí)為優(yōu)質(zhì)品．(1)試用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)甲、乙兩地該產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率(優(yōu)質(zhì)品件數(shù)/總件數(shù))；(2)從乙地抽取的上述10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，求抽到的3件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品件數(shù)ξ的分布列及方差D(ξ)．[解析](1)甲地抽取的樣本中優(yōu)質(zhì)品有7件，優(yōu)質(zhì)品率為eq\f(7,10).乙地抽取的樣本中優(yōu)質(zhì)品有8件，優(yōu)質(zhì)品率為eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)．(2)ξ的全部可能值為1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,8)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,15)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,8)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,8)·C\o\al(0,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,15)，所以ξ的分布列為：ξ123Peq\f(1,15)eq\f(7,15)eq\f(7,15)所以ξ的方差D(ξ)＝eq\f(8×3,10)×(1－eq\f(8,10))×eq\f(10－3,10－1)＝eq\f(28,75)．易混易錯(cuò)警示要精確理解隨機(jī)變量取值的含義典例5某人有5把鑰匙，其中只有一把能打開某一扇門，今任取一把試開，不能打開者除去，求打開此門所需試開次數(shù)X的均值和方差．[錯(cuò)解]5把鑰匙中只有一把能打開房門，任取一把打開房門的概率為eq\f(1,5)，故試開次數(shù)X～B(5，eq\f(1,5))，由二項(xiàng)分布均值與方差的定義知E(X)＝5×eq\f(1,5)＝1，D(X)＝5×eq\f(1,5)×(1－eq\f(1,5))＝eq\f(4,5)．[辨析]首先這不是五次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，從5把鑰匙中取一把試開房門，若不能打開，則除去這把后，其次次試開就只有4把鑰匙了．其次X＝k的含義是前k－1把鑰匙沒有打開房門，而第k把鑰匙打開了房門．[正解]設(shè)X為打開此門所需的試開次數(shù)，則X的可能取值為1、2、3、4、5．X＝k表示前k－1次沒打開此門，第k次才打開了此門．P(X＝1)＝eq\f(1,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4),C\o\al(1,5))·eq\f(1,4)＝eq\f(1,5)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,5))·eq\f(1,3)＝eq\f(1,5)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,5))·eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(4,4),C\o\al(4,5))·1＝eq\f(1,5)，故隨機(jī)變量X的概率分布列為：X12345Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)E(X)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,5)＋4×eq\f(1,5)＋5×eq\f(1,5)＝3．D(X)＝(1－3)2×eq\f(1,5)＋(2－3)2×eq\f(1,5)＋(3－3)2×eq\f(1,5)＋(4－3)2×eq\f(1,5)＋(5－3)2×eq\f(1,5)＝eq\f(1,5)×(22＋12＋02＋12＋22)＝2．[誤區(qū)警示](1)弄不清隨機(jī)變量X取值的含義是本題解題的易錯(cuò)點(diǎn)，X＝k表示前k－1把鑰匙是從4把打不開房門的鑰匙中取的，故P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k－1,4),C\o\al(k－1,5))·eq\f(1,5－k－1)．(2)本題求分布列時(shí)，可換一個(gè)思維角度思索，把5把鑰匙排成一列，能打開房門的鑰匙排在任一位置是等可能的，因此排在第k個(gè)位置的概率為P(X＝k)＝eq\f(1,5)(k＝1,2,3,4,5)．課堂達(dá)標(biāo)·固基礎(chǔ)1．已知隨機(jī)變量X的分布列為X012Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)設(shè)Y＝2X＋3，則D(Y)＝(A)A．eq\f(8,3) B．eq\f(5,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,3)[解析]∵E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(1,3)＝1，∴D(X)＝(0－1)2×eq\f(1,3)＋(1－1)2×eq\f(1,3)＋(2－1)2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝eq\f(8,3)．2．一批產(chǎn)品中，次品率為eq\f(1,4)，現(xiàn)有放回地連續(xù)抽取4次，若抽取的次品件數(shù)記為X，則D(X)的值為(C)A．eq\f(4,3) B．eq\f(8,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,16)[解析]由題意，次品件數(shù)X聽從二項(xiàng)分布，即X～B(4，eq\f(1,4))，故D(X)＝np·(1－p)＝4×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,4)．3．已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值為(B)A．n＝4，p＝0.6 B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3 D．n＝24，p＝0.1[解析]由E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2，D(3ξ＋2)＝9D(ξ)，設(shè)ξ～B(n，p)時(shí)，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3np＋2＝9.2，,9np1