2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案73第十章統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)案例高考大題規(guī)范解答系列六-概率與統(tǒng)計(jì)含解析新人教版

高考大題規(guī)范解答系列(六)——概率與統(tǒng)計(jì)1．(2024·江西吉安期中)據(jù)報(bào)道，全國(guó)許多省市將英語(yǔ)考試作為高考改革的重點(diǎn)，一時(shí)間“英語(yǔ)考試該如何改革”引起廣泛關(guān)注，為了解某地區(qū)學(xué)生和包括老師、家長(zhǎng)在內(nèi)的社會(huì)人士對(duì)高考英語(yǔ)改革的看法，某媒體在該地區(qū)選擇了3600人進(jìn)行調(diào)查，就“是否取消英語(yǔ)聽(tīng)力”問(wèn)題進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：看法調(diào)查人群應(yīng)當(dāng)取消應(yīng)當(dāng)保留無(wú)所謂在校學(xué)生2100人120人y人社會(huì)人士600人x人z人(1)已知在全體樣本中隨機(jī)抽取1人，抽到持“應(yīng)當(dāng)保留”看法的人的概率為0.05，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全部參加調(diào)查的人中抽取360人進(jìn)行問(wèn)卷訪談，問(wèn)應(yīng)在持“無(wú)所謂”看法的人中抽取多少人？(2)在持“應(yīng)當(dāng)保留”看法的人中，用分層抽樣的方法抽取6人，再平均分成兩組進(jìn)行深化溝通，求第一組中在校學(xué)生人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)因?yàn)槌榈匠帧皯?yīng)當(dāng)保留”看法的人的概率為0.05，所以eq\f(120＋x,3600)＝0.05，所以x＝60.所以持“無(wú)所謂”看法的人數(shù)共有3600－2100－120－600－60＝720，所以應(yīng)在“無(wú)所謂”看法抽取720×eq\f(360,3600)＝72人．(2)由(1)知持“應(yīng)當(dāng)保留”看法的一共有180人，所以在所抽取的6人中，在校學(xué)生為eq\f(120,180)×6＝4人，社會(huì)人士為eq\f(60,180)×6＝2人，則第一組在校學(xué)生人數(shù)ξ＝1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，即ξ的分布列為：ξ123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)∴E(ξ)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2.2．(2024·江蘇江陰調(diào)研)第23屆冬季奧運(yùn)會(huì)于2024年2月9日至2月25日在韓國(guó)平昌實(shí)行，期間正值我市學(xué)校放寒假，寒假結(jié)束后，某校工會(huì)對(duì)全校教職工在冬季奧運(yùn)會(huì)期間每天收看競(jìng)賽轉(zhuǎn)播的時(shí)間作了一次調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：收看時(shí)間(單位：小時(shí))[0,1)[1,2)[2,3)[3,4)[4,5)[5,6]收看人數(shù)143016282012(1)若將每天收看競(jìng)賽轉(zhuǎn)播時(shí)間不低于3小時(shí)的教職工定義為“體育達(dá)人”，否則定義為“非體育達(dá)人”，請(qǐng)依據(jù)頻數(shù)分布表補(bǔ)全2×2列聯(lián)表：男女合計(jì)體育達(dá)人40非體育達(dá)人30合計(jì)并推斷能否有90%的把握認(rèn)為該校教職工是否為“體育達(dá)人”與“性別”有關(guān)；(2)在全?！绑w育達(dá)人”中按性別分層抽樣抽取6名，再?gòu)倪@6名“體育達(dá)人”中選取2名作冬奧會(huì)學(xué)問(wèn)講座，求抽取的這兩人恰好是一男一女的概率．附表及公式：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解析](1)由題意得下表：男女合計(jì)體育達(dá)人402060非體育達(dá)人303060合計(jì)7050120k2＝eq\f(120×1200－6002,70×50×60×60)＝eq\f(24,7)>2.706.所以有90%的把握認(rèn)為該校教職工是“體育達(dá)人”與“性別”有關(guān)．(2)由題意知抽取的6名“體育達(dá)人”中有4名男職工，2名女職工，記“抽取的這兩人恰好是一男一女”為事務(wù)A，P(A)＝eq\f(C\o\al(1,4)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(8,15).3．(2024·百萬(wàn)聯(lián)考聯(lián)盟聯(lián)考)生活垃圾分類(lèi)工作是一項(xiàng)困難的系統(tǒng)工程，必需堅(jiān)持“政府推動(dòng)、部門(mén)聯(lián)運(yùn)、全面發(fā)動(dòng)、全民參加”原則．某小學(xué)班主任為了讓本班學(xué)生能夠分清干垃圾和濕垃圾，綻開(kāi)了“垃圾分類(lèi)我最行”的有獎(jiǎng)競(jìng)答活動(dòng)．班主任將本班學(xué)生分為A，B兩組，規(guī)定每組搶到答題權(quán)且答對(duì)一題得1分，未搶到答題權(quán)或搶到答題權(quán)且答錯(cuò)得0分，將每組得分分別逐次累加，當(dāng)其中一組得分比另一組得分多3分或六道題目全部答完時(shí)，有獎(jiǎng)競(jìng)答活動(dòng)結(jié)束，得分多的一組的每一位學(xué)生都將獲得獎(jiǎng)品一份．設(shè)每組每一道題答對(duì)的概率均為eq\f(2,3)，A組學(xué)生搶到答題權(quán)的概率為eq\f(1,2).(1)若答完三題后，求A組得3分的概率；(2)設(shè)活動(dòng)結(jié)束時(shí)總共答了X道題，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X)．[解析](1)由題意可知每道題A組得1分的概率為eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)，故答完3題后，A組得3分的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(1,27).(2)由A組學(xué)生搶到答題權(quán)的概率為eq\f(1,2)，可知B組學(xué)生搶到答題權(quán)的概率為1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，則每道題的答題結(jié)果有以下三種：①A組得1分，B組得0分，此時(shí)的概率為eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)；②A組得0分，B組得1分，此時(shí)的概率為eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)；③A組得0分，B組得0分，此時(shí)的概率為1－eq\f(1,3)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).由題意可知X的可能取值為3,4,5,6.P(X＝3)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(2,27)，P(X＝4)＝2×Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,27)，P(X＝5)＝2×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(C\o\al(2,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×\f(1,3)＋C\o\al(1,3)×\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4))＝eq\f(2,27)，P(X＝6)＝1－eq\f(2,27)－eq\f(2,27)－eq\f(2,27)＝eq\f(7,9)，則X的分布列為X3456Peq\f(2,27)eq\f(2,27)eq\f(2,27)eq\f(7,9)故E(X)＝3×eq\f(2,27)＋4×eq\f(2,27)＋5×eq\f(2,27)＋6×eq\f(7,9)＝eq\f(50,9).4．(2024·重慶一中期中)某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共有12道選擇題，每道題共有四個(gè)選項(xiàng)，且其中只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每選對(duì)1道題得5分，不選或選錯(cuò)得0分．在這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，考生甲每道選擇題都依據(jù)規(guī)則作答，并能確定其中有9道題能選對(duì)；其余3道題無(wú)法確定正確選項(xiàng)，在這3道題中，恰有2道能解除兩個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)，另1題只能解除一個(gè)錯(cuò)誤選項(xiàng)．若考生甲做這3道題時(shí)，每道題都從不能解除的選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)選項(xiàng)作答，且各題作答互不影響．在本次測(cè)驗(yàn)中，考生甲選擇題所得的分?jǐn)?shù)記為X.(1)求X＝55的概率；(2)求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)能解除2個(gè)選項(xiàng)的試題記為A類(lèi)試題；設(shè)選對(duì)一道A類(lèi)試題為A，則P(A)＝eq\f(1,2)，能解除1個(gè)選項(xiàng)的試題記為B類(lèi)試題；設(shè)選對(duì)一道B類(lèi)試題為B，則P(B)＝eq\f(1,3)，該考生選擇題得55分可以為：①A對(duì)2道，B對(duì)0道，則概率為Ceq\o\al(2,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,12)；②A對(duì)1道，B對(duì)1道，則概率為Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(2,12)；則P(X＝55)＝eq\f(2,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(1,3).(2)該考生所得分?jǐn)?shù)X＝45,50,55,60P(X＝45)＝Ceq\o\al(0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(2,3)＝eq\f(1,6)；P(X＝50)＝Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(2,3)＋Ceq\o\al(0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(5,12)；P(X＝60)＝Ceq\o\al(0,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(1,12)；∴X的分布列為：X45505560Peq\f(1,6)eq\f(5,12)eq\f(1,3)eq\f(1,12)∴E(X)＝45×eq\f(1,6)＋50×eq\f(5,12)＋55×eq\f(1,3)＋60×eq\f(1,12)＝eq\f(155,3).5．(2024·河北省石家莊市質(zhì)檢)某公司為了提高利潤(rùn)，從2012年至2024年每年對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)進(jìn)行投資，投資金額與年利潤(rùn)增長(zhǎng)的數(shù)據(jù)如下表：年份2012201320142015202420242024投資金額x(萬(wàn)元)4.55.05.56.06.57.07.5年利潤(rùn)增長(zhǎng)y(萬(wàn)元)6.07.07.48.18.99.611.1(1)請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的回來(lái)直線方程；假如2024年該公司安排對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的改進(jìn)的投資金額為8萬(wàn)元，估計(jì)該公司在該年的年利潤(rùn)增長(zhǎng)為多少？(結(jié)果保留兩位小數(shù))(2)現(xiàn)從2012年～2024年這7年中抽出三年進(jìn)行調(diào)查，記λ＝年利潤(rùn)增長(zhǎng)－投資金額，設(shè)這三年中λ≥2(萬(wàn)元)的年份數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列與期望．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝359.6，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝259.[解析](1)eq\o(x,\s\up6(－))＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝8.3,7eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝348.6，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(359.6－348.6,259－7×36)＝eq\f(11,7)≈1.571，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，那么回來(lái)直線方程為：eq\o(y,\s\up6(^))＝1.57x－1.13，將x＝8代入方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝1.57×8－1.13＝11.43，即該公司在該年的年利潤(rùn)增長(zhǎng)大約為11.43萬(wàn)元．(2)由題意可知，年份2012201320142015202420242024λ1.521.92.12.42.63.6ξ的可能取值為1,2,3，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,7)；P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,7)；P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5),C\o\al(3,7))＝eq\f(2,7).則ξ分布列為ξ123Peq\f(1,7)eq\f(4,7)eq\f(2,7)E(ξ)＝1×eq\f(1,7)＋2×eq\f(4,7)＋3×eq\f(2,7)＝eq\f(15,7).6．(2024·安徽安慶模擬)為了提高生產(chǎn)線的運(yùn)行效率，工廠對(duì)生產(chǎn)線的設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造．為了對(duì)比技術(shù)改造后的效果，采集了生產(chǎn)線的技術(shù)改造前后各20次連續(xù)正常運(yùn)行的時(shí)間長(zhǎng)度(單位：天)數(shù)據(jù)，并繪制了如下莖葉圖：改造前改造后98655866543221054410123482679233456778911223(1)①設(shè)所采集的40個(gè)連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間的中位數(shù)m，并將連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間超過(guò)m和不超過(guò)m的次數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過(guò)m不超過(guò)m改造前ab改造后cd試寫(xiě)出a，b，c，d的值；②依據(jù)①中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為生產(chǎn)線技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d，P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(2)工廠的生產(chǎn)線的運(yùn)行須要進(jìn)行維護(hù)，工廠對(duì)生產(chǎn)線的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)用包括正常維護(hù)費(fèi)、保障維護(hù)費(fèi)兩種，對(duì)生產(chǎn)線設(shè)定維護(hù)周期為T(mén)天(即從開(kāi)工運(yùn)行到第kT天(k∈N*)進(jìn)行維護(hù)．生產(chǎn)線在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個(gè)維護(hù)周期，每個(gè)維護(hù)周期相互獨(dú)立．在一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)，若生產(chǎn)線能連續(xù)運(yùn)行，則不會(huì)產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi)；若生產(chǎn)線不能連續(xù)運(yùn)行，則產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi)．經(jīng)測(cè)算，正常維護(hù)費(fèi)為0.5萬(wàn)元/次；保障維護(hù)費(fèi)第一次為0.2萬(wàn)元/周期，此后每增加一次則保障維護(hù)費(fèi)增加0.2萬(wàn)元．現(xiàn)制定生產(chǎn)線一個(gè)生產(chǎn)周期(以120天計(jì))內(nèi)的維護(hù)方案：T＝30，k＝1,2,3,4.以生產(chǎn)線在技術(shù)改造后一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)能連續(xù)正