2024-2025學年高中數(shù)學第三章概率3.3模擬方法-概率的應用學案含解析北師大版必修3

PAGE3模擬方法——概率的應用考綱定位重難突破1.初步體會模擬方法在概率方面的應用.2.理解幾何概型的定義及其特點，會用公式計算簡潔的幾何概型問題.3.了解古典概型與幾何概型的區(qū)分與聯(lián)系.重點：幾何概型的特點及概念.難點：應用幾何概型的概率公式求概率.授課提示：對應學生用書第48頁[自主梳理]1．幾何概型(1)向平面上有限區(qū)域(集合)G內隨機地投擲點M，若點M落在子區(qū)域G1G的概率與G1的面積成正比，而與G的形態(tài)、位置無關．即P(點M落在G1)＝eq\f(G1的面積,G的面積)，則稱這種模型為幾何概型．(2)幾何概型中的G也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應的概率是體積之比或長度之比．2．幾何概型概率的計算幾何概型的概率公式在幾何概型中，事務的概率的計算公式如下：P(A)＝eq\f(構成事務A的區(qū)域長度（面積或體積）,試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度（面積或體積）)[雙基自測]1．幾何概型與古典概型的區(qū)分是()A．幾何概型的基本領件是等可能的B．幾何概型的基本領件的個數(shù)是有限的C．幾何概型的基本領件的個數(shù)是無限的D．幾何概型的基本領件不是等可能的解析：由幾何概型和古典概型各自的特點對比可得答案C.答案：C2．有四個嬉戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，向嬉戲盤上投擲一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的嬉戲盤是()解析：四個選項中小明中獎的概率分別為eq\f(3,8)，eq\f(1,4)，eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，故應選A中的嬉戲盤．答案：A3．在區(qū)間[－1，3]上隨機取一個數(shù)x，若x滿意|x|≤m的概率為eq\f(1,2)，則實數(shù)m的值為()A．0 B．1C．2 D．3解析：區(qū)間[－1，3]的區(qū)間長度為4.不等式|x|≤m的解集為[－m，m]，區(qū)間長度為2m，由eq\f(2m,4)＝eq\f(1,2)，得m＝1.答案：B授課提示：對應學生用書第49頁探究一與長度、角度有關的幾何概型[典例1]某汽車站每隔15分鐘就有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是隨意的，求一位乘客到達車站后等車時間大于10分鐘的概率．[解析]設上輛車于時刻T1到達，而下一輛車于時刻T2到達，線段T1T2的長度為15，設T是線段T1T2上的點，且T1T＝5，T2T＝10，如圖．記等車事務大于10分鐘為事務A，則當乘客到達車站的時刻t落在線段T1T上時，事務A發(fā)生，區(qū)域T1T2的長度為15，區(qū)域T1T的長度為5.所以P(A)＝eq\f(T1T的長度,T1T2的長度)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).(1)與長度有關的幾何概型概率的求法①與長度有關的幾何概型問題的計算公式假如試驗的結果構成的區(qū)域的集合度量可用長度表示，則其概率的計算公式為：P(A)＝eq\f(構成事務A的區(qū)域長度,試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度).②與長度有關的幾何概型問題的三個解題步驟a．找到幾何區(qū)域D，這時區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，并計算區(qū)域D的長度．b．找到事務A發(fā)生時對應的區(qū)域d，確定d的邊界點是問題的關鍵．c．利用幾何概型概率公式求概率．(2)與角度有關的幾何概型概率的求法①假如試驗的全部結果構成的區(qū)域的幾何度量可用角度表示，則其概率的計算公式為P(A)＝eq\f(構成事務A的區(qū)域角度,試驗的全部結果構成的區(qū)域角度).②解決此類問題的關鍵是事務A在區(qū)域角度內是勻稱的，進而判定事務的發(fā)生是等可能的．1.如圖，有一圓盤，其中陰影部分的圓心角為75°，若向圓內投鏢，假如某人每次都投入圓內，且投到任何位置都有等可能的．那么他投中陰影部分的概率為________．解析：圓盤對應的圓心角為360°，陰影部分對應的圓心角為75°，故投中陰影部分的概率P＝eq\f(75°,360°)＝eq\f(5,24).答案：eq\f(5,24)探究二與面積有關的幾何概型[典例2]一只受傷的丹頂鶴在如圖所示(直角梯形)的草原上飛過，其中AD＝eq\r(2)，DC＝2，BC＝1.它可隨機落在該草原上任何一處，若落在扇形沼澤區(qū)域ADE以外，丹頂鶴能生還，求該丹頂鶴生還的概率．[解析]過點D作DF⊥AB于點F，如圖所示．在Rt△AFD中，因為AD＝eq\r(2)，DF＝BC＝1，所以AF＝1，∠A＝eq\f(π,4)，所以梯形ABCD的面積S1＝eq\f(1,2)×(2＋2＋1)×1＝eq\f(5,2).扇形DAE的面積S2＝π×(eq\r(2))2×eq\f(\f(π,4),2π)＝eq\f(π,4).依據(jù)幾何概型的概率計算公式，得丹頂鶴生還的概率P＝eq\f(S1－S2,S1)＝eq\f(\f(5,2)－\f(π,4),\f(5,2))＝1－eq\f(π,10).在探討射擊、射箭、投中、射門等實際問題時，常借助于區(qū)域的面積來計算概率的值．此時，只需分清各自區(qū)域特征，分別計算其面積，以公式P(A)＝eq\f(構成事務A的區(qū)域面積,試驗的全部結果構成的區(qū)域面積)計算事務的概率即可．2.一個圓及其內接正三角形如圖所示，某人隨機地向該圓內扎針，則針扎到陰影區(qū)域的概率為()A.eq\f(\r(3),12π) B.eq\f(3\r(3),4π)C.eq\f(\r(3),4) D.eq\f(\r(3),π)解析：設正三角形的邊長為a，圓的半徑為R，則R＝eq\f(\r(3),3)a，所以正三角形的面積為eq\f(\r(3),4)a2，圓的面積S＝πR2＝eq\f(1,3)πa2.由幾何概型的概率計算公式，得針扎到陰影區(qū)域的概率P＝eq\f(\f(\r(3),4)a2,\f(1,3)πa2)＝eq\f(3\r(3),4π)，故選B.答案：B探究三與體積有關的幾何概型[典例3]正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為a，在正方體內隨機取一點M.求點M落在三棱錐B′－A′BC內的概率．[解析]記“點M落在三棱錐B′－A′BC內”為事務E.因為棱長為a的正方體的體積V＝a3，由正方體的性質可知VB′－A′BC＝eq\f(1,3)SB′BC·A′B′＝eq\f(1,6)a3.故P(E)＝eq\f(VB′－A′BC,V)＝eq\f(\f(1,6)a3,a3)＝eq\f(1,6).假如試驗的結果所構成的區(qū)域可用體積來度量，我們要結合問題的背景，選擇好視察角度，精確找出基本領件所占的總的體積及事務A所分布的體積．其概率的計算公式為P(A)＝eq\f(構成事務A的區(qū)域體積,試驗的全部結果構成的區(qū)域體積).3．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，在正方體內隨機取一點M，求使四棱錐M-ABCD的體積不超過eq\f(1,6)(事務A)的概率．解析：設M到平面ABCD的距離為h，則VM-ABCD＝eq\f(1,3)S底面ABCD·h≤eq\f(1,6).又S底面ABCD＝1，所以只要h≤eq\f(1,2)即可．全部滿意h≤eq\f(1,2)的點組成以正方形ABCD為底面，eq\f(1,2)為高的長方體，其體積為eq\f(1,2)，又正方體的體積為1，所以使四棱錐M-ABCD的體積不超過eq\f(1,6)(事務A)的概率為P(A)＝eq\f(\f(1,2),1)＝eq\f(1,2).古典概型與幾何概型的綜合問題[典例](本題滿分12分)已知|x|≤2，|y|≤2，點P的坐標為(x，y)．(1)當x，y∈Z時，求點P滿意(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率；(2)當x，y∈R時，求點P滿意(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．[規(guī)范解答](1)由|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z，得基本領件總數(shù)n＝25，滿意(x－2)2＋(y－2)2≤4的點P的坐標有(0，2)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，共有6個，故所求概率P1＝eq\f(6,25).…………………6分(2)如圖所示，由|x|≤2，|y|≤2，x，y∈R，則構成該事務的總區(qū)域是邊長為4的正方形，其面積為16，其中滿意(x－2)2＋(y－2)2≤4的點構成所求事務的區(qū)域如圖所示的陰影部分，其面積為eq\f(1,4)×π×22＝π，故所求概率P2＝eq\f(π,16).………………12分[規(guī)范與警示]1.本題正確區(qū)分(1)(2)兩問題是古典概型還是幾何概型是解決本題的難點，也是易錯點．2．在問題(1)中，由于|x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z，故其基本領件的個數(shù)是有限的，且是等可能的，明顯屬于古典概型；正確求解基本領件總數(shù)及點P滿意(x－2)2＋(y－2)2≤4，基本領件個數(shù)是求解本題的關鍵．3．在問題(2)中，由于|x|≤2，|y|≤2，x，y∈R，基本領件的個數(shù)是無限的，且是等可能的，故其屬于幾何概型，正確將其轉化為面積之比是解決本題的關鍵．[隨堂訓練]對應學生用書第50頁1．已知集合M＝{x|－2≤x≤6}，N＝{x|0≤2－x≤1}，在集合M中任取一個元素x，則x∈M∩N的概率是()A.eq\f(1,9) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(3,8)解析：因為N＝{x|0≤2－x≤1}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{x|－2≤x≤6}，所以M∩N＝{x|1≤x≤2}，所以所求的概率為eq\f(2－1,6＋2)＝eq\f(1,8).答案：B2.隨意畫一個正方形，再將這個正方形各邊的中點相連得到其次個正方形，依次類推，這樣一共畫了3個正方形，如圖所示．若向圖形中隨機投一點，則所投點落在第三個正方形內的概率是________．解析：利用幾何概型，其測度為面積．設大正方形的邊長為1，面積為1，∵第三個正方形的邊長為eq\f(1,2)，所以面積為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，∴所投點落在第三個正方形內的概率為eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)3．一個路口的紅綠燈，紅燈亮的時間為30秒，黃燈亮的時間為5秒，綠燈亮的時間為40秒(沒有兩燈同時亮)，當你到達路口時，望見下列三種狀況的概率各是多少